動點路徑長專題

1、選擇題（共2小題）1如圖，拋物線y=x2-二拋物線的對稱軸上的某點 的總路徑的長為（）A . ,'ix -2E,動點路徑長專題蘭與直線y=x - 2交于A、B兩點（點A在點B的左側），動點P從A點出發(fā)，先到達2再到達x軸上的某點F,最后運動到點 B若使點P運動的總路徑最短，則點P運動V293-2如圖，半徑為4的O O中，F.當點E從點B出發(fā)順時針運動到點 D時，點F所經過的路徑長為（CD為直徑，弦AB丄CD且過半徑 0D的中點，點E為OO上一動點，CF丄AE于點 ）D A 餡四B 遞兀2二.填空題（共9小題）3. （2013?鄂爾多斯）如圖，直線y= - x+4與兩坐標軸交 A、B兩點

2、，點M,當點P從點0運動到點A時，則點P為線段0A上的動點，連接 BP,過點AM運動路徑的長為圖44如圖，半徑為 2cm，圓心角為90°的扇形OAB的訂、上有一運動的點 P從點P向半徑0A引垂線PH交0A于點H.設厶0PH的內心為I，當點P在AB上從點A運動到點B時，內心I所經過的路徑長為 5（2011?江西模擬）已知扇形的圓心角為60°,半徑為1,將它沿著箭頭方向無滑動滾動到0AB位置, 點0到0的路徑是 001T0102T020' 點0到0的路徑是嚴-'； 點0在0102段上運動路線是線段 0102；q 點0到0的所經過的路徑長為一以上命題正確的是_一

3、，則折疊過程對應點D的路徑長是圖67.如圖，已知 AB=10 ,連接CD，設CD的中點為G,當點P從點A運動到點P是線段AB上的動點，分別以AP、B時,PB為邊在線段 則點G移動路徑的長是AB的同側作等邊 ACP和 PDB ,6. （2013?寧德）如圖，在 Rt ABC紙片中，/ C=90 ° AC=BC=4，點P在AC上運動，將紙片沿 PB折疊，得到 點C的對應點D （ P在C點時，點C的對應點是本身）&（ 2013?湖州）如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為 2二的一個定點，AC丄x軸于點M，交直線y= - x于點N .若 點P是線段ON上的一個動點，/ APB=30 &

4、#176; BA丄PA,則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求 當點P從點0運動到點N時，點B運動的路徑長是 .P從點C運動到點D時，線段092中點G的9. （2013?桂林）如圖，已知線段 AB=10 , AC=BD=2，點P是CD上一動點，分別以 AP、PB為邊向上、向下作正 方形APEF和PHKB，設正方形對角線的交點分別為O1、O2,當點運動路徑的長是 .P, BC d /嘰 / 圖910. （2013?竹溪縣模擬）如圖：已知以AP、PB為邊在線段 AB的同側作等邊 AEP和等邊 PFB，連結EF,設EF的中點為G;當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是.AB=1

5、0，點C、D在線段AB上且AC=DB=1 ; P是線段CD上的動點，分別11 如圖，一根長為 2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時AB的中點P運動的路徑長為 米.BC為1米，當A點下滑至A'處并且A'C=1米時，木棒三.解答題（共1小題）12. （2012?義烏市模擬）如圖，邊長為 4的等邊 AOB 象限.一動點P沿x軸以每秒1個單位長度的速度由點的頂點0向點運動的時間是t秒.在點P的運動過程中，線段 BP的中點為點（1）當點（2）在點O在坐標原點，點 A在x軸正半軸上，點 B在第一 A勻速運動，當點 P到達點A時停止運動，設點 PE,將線段PE繞點P按順時針方向旋轉 60

6、6;得PC .P運動到線段OA的中點時，點P從點O到點A的運動過程中，C的坐標為;用含 t的代數式表示點 C的坐標; 求出點 C所經過的路徑長._42X14拋物線對稱軸方程為：x=選擇題（共2小題）動點路徑長專題參考答案與試題解析1如圖，拋物線 y=x2-二x -與直線y=x - 2交于A、B兩點（點A在點B的左側），動2憶點P從A點出發(fā)，先到達拋物線的對稱軸上的某點E,再到達x軸上的某點F,最后運動到點B 若使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為（）A 小B .C.D232考點：二次函數綜合題.專題：壓軸題.分析：首先根據題意求得點 A與B的坐標，求得拋物線的對稱軸， 然后作點A關

7、于拋物線的對稱軸 X）的對稱點4A '，作點B關于x軸的對稱點B '，連接A B '，則直線A B '與直線x=的交點是E,與x軸的交點是F,而 4解答:且易得AB即是所求的長度. 解：如圖拋物線y=x2- x2解得：x=1當x=1時,當x=時,卩直線y=x- 2交于 A、2=x 2, 或嗚， y=x - 2= - 1,點A的坐標為（y=x - 2=-三），點B的坐標為（B兩點,1,- 1),作點A關于拋物線的對稱軸冗的對稱點A ',作點B關于x軸的對稱點B',連接A B ',則直線A B '與對稱軸（直線-）的交點是E，與x軸的

8、交點是F，x= BF=B 'F, AE=A 'E,點P運動的最短總路徑是 延長BB AA相交于C,1 1+ -4 4AE+EF+FB=A E+EF+FB =A 'B(1丄）=1,B C=1 +,:S- /點P運動的總路徑的長為二2故選A.點評： 此題考查了二次函數與一次函數的綜合應用.注意找到點P運動的最短路徑是解此題的關鍵，還要注意數形結合與方程思想的應用.2.如圖，半徑為 4的O O中，CD為直徑，弦AB丄CD且過半徑 0D的中點，點E為OO上一動點，CF丄AE于點 F.當點E從點B出發(fā)順時針運動到點 D時，點F所經過的路徑長為（）C. 2忑:J1D 爲233B .

9、考點：圓的綜合題.專題：壓軸題.分析：連接AC, AO,由AB丄CD，利用垂徑定理得到 G為AB的中點，由中點的定義確定出0G的長，在直角三角形AOG中，由A0與0G的長，利用勾股定理求出 AG的長，進而確定出 AB的長，由CO+GO求出 CG的長，在直角三角形 AGC中，利用勾股定理求出 AC的長，由CF垂直于AE，得到三角形 ACF始終 為直角三角形，點 F的運動軌跡為以 AC為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當E位于點B時，CG丄AE ,此時F與G重合；當E位于D時，CA丄AE，此時F與A重合，可得出當點 E從點B出發(fā)順時針運動到 點D時，點F所經過的路徑長'.：,在直角三角形 AC

10、G中，利用銳角三角函數定義求出 / ACG的度數，進 而確定出所對圓心角的度數，再由 AC的長求出半徑，禾U用弧長公式即可求出亠的長，即可求出點 F所經過的路徑長.解答：解：連接AC , AO ,/ AB 丄 CD , G 為 AB 的中點，即 AG=BG=-；AB ,/ O O的半徑為4,弦AB丄CD且過半徑 OD的中點， OG=2,在Rt AOG中，根據勾股定理得：AG=,.:，-二=2一；， AB=2AG=4 二又/ CG=CO+GO=4+2=6 ,在Rt AGC中，根據勾股定理得：AC=,廠-“ -=4 ；:,/ CF丄 AE , ACF始終是直角三角形，點 F的運動軌跡為以 AC為直

11、徑的半圓，當E位于點B時，CG丄AE，此時F與G重合；當E位于D時，CA丄AE，此時F與A重合，當點E從點B出發(fā)順時針運動到點 D時，點F所經過的路徑長在 Rt ACG 中，tan/ ACG=_=',CG 3 / ACG=30 ° Z所對圓心角的度數為60°/ 直徑 AC=4 二607T X2V3.1803 AG的長為n,則當點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F所經過的路徑長為_n.3故選C.點評： 此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有:坐標與圖形性質，勾股定理，銳角三角函數定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據題意得到點E從點B出發(fā)順時針運動到點 D時，點F所經

12、過的路徑長”，是解本題的關鍵.二.填空題（共9小題）3. （ 2013?鄂爾多斯）如圖，直線y= - x+4與兩坐標軸交 A、B兩點，點P為線段 上的動點，連接 BP,過點A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當點P從點O 到點A時，則點M運動路徑的長為 血開1A0考點： 分析：一次函數綜合題.根據直線與兩坐標軸交點坐標的特點可得A、B兩點坐標，由題意可得點 M的路徑是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的 ，求出 卜,的長度即可.解答:解：/ AM垂直于直線BP, / BMA=90 °點M的路徑是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的連接ON ,T直線y= - x+4與兩坐標軸

13、交 A、B兩點, OA=OB=4 , ON 丄 AB , / ONA=90 ° AB= .=4 二， ON=2 .:,丘嚮?逅近叫| 1KU故答案為： I兀< v0點評:本題考查了二次函數的綜合題，涉及了兩坐標軸交點坐標及點的運動軌跡，難點在于根據 斷出點M的運動路徑是解題的關鍵，同學們要注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力./ BMC=90 ° 判4.如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的訂上有一運動的點 P.從點P向半徑OA引垂線PH交OA于點比設 OPH的內心為I，當點P在上從點A運動到點B時，內心I所經過的路徑長為£考點： 專題： 分析：

14、弧長的計算；全等三角形的判定與性質; 計算題.三角形的內切圓與內心.-丄(/ HOP+ / OPH)2=135 °并且易證 OPIOAI，得到/ AIO= / PIO=135 °所以點I在以OA為弦，并且所對的圓周角為135。的一段劣弧上；過A、I、O三點作O O',如圖，連OA ,O'O,在優(yōu)弧AO取點P,連PA,PO,可得/ APO=180 ° - 135°=45 ° 得/AOO=90 ° O O=住OA=/><2=應2 _如圖，連 OI , PI, AI，由 OPH 的內心為 I，可得到/PIO=18

15、0。-/IPO - Z IOP=180 °，然后利用弧長公式計算弧 OA的長.解答:解：如圖，連OI,/ OPH的內心為 / IOP= / IOA ,PI, AI ,I,/ IPO= / IPH ,點評: / PIO=180 ° - /IPO- / IOP=180°- ( / HOP+ / OPH),而 PH丄 OA，即 / PHO=90 °, / PIO=180 °- ( Z HOP+ Z OPH) =180°- (180°- 90° =135°2 2又 OP=OA，OI 公共，而 Z IOP= Z I

16、OA， OPI OAI， Z AIO= Z PIO=135 °所以點I在以OA為弦，并且所對的圓周角為 過A、I、O三點作O O',如圖，連O,，OO， 在優(yōu)弧AO取點P，連PA，PO，/ Z AIO=135 ° Z APO=180。- 135 °45 °135 °的一段劣弧上;Z AOO=90 °而 OA=2cm，V2O 'O=OA=22弧OA的長=90XTT ><近 西冗180 1 2(cm),所以內心I所經過的路徑長為故答案為:cm.2本題考查了弧長的計算公式:，其中I表示弧長，n表示弧所對的圓心角的

17、度數.同時考查了三角形點O到O的路徑是內心的性質、三角形全等的判定與性質、圓周角定理和圓的內接四邊形的性質.5. (2011?江西模擬)已知扇形的圓心角為60°,半徑為1,著箭頭方向無滑動滾動到 O'A B位置，點O到O的路徑是 OO1tO1O2tO2O'； 點0在0102段上運動路線是線段 0102； 點0到0的所經過的路徑長為二-以上命題正確的是 3考點：旋轉的性質；弧長的計算.分析：圓心0由0到01的路徑是以A為圓心，以0A為半徑的圓弧；由01到02圓心所經過的路線是線段 0102; 由02到0',圓心經過的路徑是：以 B為圓心，以0B為半徑的圓弧據此即

18、可判斷.解答： 解：圓心0由0到01的路徑是以A為圓心，以0A為半徑的圓弧；由01到02圓心所經過的路線是線段 0102 ；由02到0 '，圓心經過的路徑是：以 B為圓心，以0 B為半徑的圓弧.故正確的是：.故答案為：點評：本題主要考查了圖形的旋轉，正確確定圓心0經過的路線是解決本題的關鍵.6. （2013?寧德）如圖，在 Rt ABC 紙片中，/ C=90 ° AC=BC=4，點 沿PB折疊，得到點C的對應點D （ P在C點時，點C的對應點是本身） 的路徑長是P在AC上運動，將紙片，則折疊過程對應點 D考點：翻折變換（折疊問題）；弧長的計算.分析：根據翻折變換的性質以及 A

19、BC是等腰直角三角形判斷出點 D的路徑是以點B為圓心，以BC的長為半徑的扇形，然后利用弧長公式列式計算即可得解.解答:解：/ Z C=90 ° AC=BC , ABC是等腰直角三角形，如圖，點D的路徑是以點 B為圓心，以BC的長為半徑的扇形,90 兀=2 n180故答案為：2 n路徑長=A*|!B 點評:本題考查了翻折變換的性質，弧長的計算，判斷出點D的路徑是扇形是解題的關鍵.7如圖, 側作等邊 時，則點已知 AB=10 , P是線段AB上的動點，分別以 ACP和厶PDB，連接CD，設CD的中點為G移動路徑的長是考點：三角形中位線定理；等邊三角形的性質；平行四邊形的判定與性質.專題：

20、壓軸題.分析： 分別延長AC、BD交于點H，易證四邊形CPDH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡 HAB 的中位線 MN，運用中位線的性質求出 MN的長度即可.解答： 解：如圖，分別延長 AC、BD交于點H ,/ Z A= Z DPB=60 ° AH / PD,/ Z B= Z CPA=60 ° BH / PC,四邊形CPDH為平行四邊形， CD與HP互相平分. G為CD的中點， G正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以 G的 運行軌跡為 HAB的中位線 MN .2A PJ MN=AB=5，即G的移動路徑長為 5.故答案為：5.解答本題的關

21、鍵是作出輔助線，找到點G移動的規(guī)律,點評：本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質，判斷出其運動路徑，綜合性較強.3考點： 專題： 分析：解答:一次函數綜合題.壓軸題.（1） 首先，需要證明線段 BoBn就是點B運動的路徑（或軌跡），如答圖所示利用相似三角形可以證 明；（2） 其次，如答圖 所示，利用相似三角形 ABoBns AON，求出線段BOBn的長度，即點B運動的路 徑長.解：由題意可知， OM=：. 一；，點N在直線 y - x 上, AC丄x軸于點M，則 OMN為等腰直角三角形， on=*； om= 一=;.：.如答圖 所示，設動點P在O點（起點）時，點 B的位置為Bo,動點P在

22、N點（終點）時，點 B的位置為Bn,連接B0Bn./ AO 丄 ABo, AN 丄 ABn, / OAC= / BoAB n,又 ABo=AO ?tan30° ABn=AN ?tan30° AB0： AO=AB n： AN=tan30 ABoBnsAON，且相似比為 tan30°-"丄'3 BoBn=ON?tan30°Oy=-x1/亂YOC壬答圖現在來證明線段 BoBn就是點B運動的路徑（或軌跡）.如答圖 所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP , AB i, BoBi./ AO 丄 ABo, AP 丄 AB

23、i, / OAP= / BoABi,又 AB o=AO ?ta n30° AB i =AP ?ta n30° ABo： AO=AB i： AP , ABoBiAOP , / ABoBi = Z AOP .又 ABoBns AON , / AB oBn= / AOP , / ABoBi = Z ABoBn,點Bi在線段BoBn上，即線段BoBn就是點B運動的路徑（或軌跡）綜上所述，點 B運動的路徑（或軌跡）是線段BoBn,其長度為-:.故答案為：:."A答圖8.（ 2013?湖州）如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為 祈的一個定點，AC丄x 軸于點M，交直線y= -

24、x于點N .若點P是線段ON上的一個動點，/ APB=30 ° BA丄PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求當點 P從點 O運動到點N時，點B運動的路徑長是 .C點評:本題考查坐標平面內由相似關系確定的點的運動軌跡，難度很大.本題的要點有兩個：首先，確定點 B的 運動路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力； 其次，由相似關系求出點 B 運動路徑的長度，可以大幅簡化計算，避免陷入坐標關系的復雜運算之中.9. （2013?桂林）如圖，已知線段 AB=10, AC=BD=2，點P是CD上一動點，分別 以AP、PB為邊向上、向下作正方形 APEF

25、和PHKB ,設正方形對角線的交點分別為01、02,當點P從點C運動到點D時，線段092中點G的運動路徑的長是考點：正方形的性質；軌跡. 專題：壓軸題.分析:解答:根據正方形的性質以及勾股定理即可得出正方形對角線的長，進而得出線段解：如圖所示：當 P移動到C點以及D點時，得出G點移動路線是直 利用正方形的性質即線段 0102中點G的運動路徑的長就是 020的長,線段AB=10 , AC=BD=2，當P與C重合時，以AP、PB為邊向上、向下作正方形 APEF和PHKB , AP=2 , BP=8 ,則 01P=；.：02P=4 二 . 02P=02B=4 .弓當P與D重合，則 P'B=2

26、，貝U AP=8 , 0 卩=4應：,0P'= I:, H 0=B0 " 厲, 02O=4嘟一 工=3'.故答案為：3.點評:此題主要考查了正方形的性質以及勾股定理等知識，根據已知得出XP、 EC0i02中點G的運動路徑的長.G點移動的路線是解題關鍵.10. （2013?竹溪縣模擬）如圖：已知 AB=10，點C、D在線段 AB上且AC=DB=1 ;P是線段CD上的動點，分別以 AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊 AEP和等邊 PFB，連結EF，設EF的中點為G;當點P從點C運動到點D時，則點G移動路 徑的長是考點： 分析：解答:三角形中位線定理；等邊三角形的性質；平

27、行四邊形的判定與性質.分別延長AE、BF交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出 角形HCD的中位線MN .再求出CD的長，運用中位線的性質求出 解：如圖，分別延長 AE、BF交于點H ,/ / A= / FPB=60 ° AH / PF,/ / B= / EPA=60 ° BH / PE,四邊形EPFH為平行四邊形， EF與HP互相平分. G為EF的中點， G正好為PH中點，即在P的運動過程中， 所以G的運行軌跡為三角形 HCD的中位線G為PH中點，貝U G的運行軌跡為三 MN的長度即可./ CD=10 - 1 - 1=8, MN=4，即G的移動路徑長為 4. 故答

28、案為：4.點評：本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質，解答本題的關鍵是作出輔助線，找到點G移動的規(guī)律,判斷出其運動路徑，綜合性較強.11. 如圖，一根長為 2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時 BC為1米，當A點下滑至A處并且 I JTA'C=1米時，木棒AB的中點P運動的路徑長為 _一米.考點：勾股定理的應用；弧長的計算.專題：壓軸題.分析：先根據三角函數求出 / BAC的度數，再根據直角三角形的性質得到 / ACP的度數，同理求出/ B'CP'的度數, 可得/ PCP的度數，再根據弧長的計算公式求解即可.AB的中點P運動的路徑為半徑為 1的扇形解答：解：連接CP

29、, CP'./ / ACB=90 ° BC=1 米，A B=2 米, / BA C=30 °/ P是木棒AB的中點， PC=PA=1 米， / PCA=30 °同理求出/ B CP =30 °貝U / PCP=30 °木棒AB的中點P運動的路徑長為: 故答案為： 米.點評：考查了三角函數，直角三角形的性質和弧長的計算公式，木棒 的弧長.三.解答題(共1小題)12. (2012?義烏市模擬)如圖，邊長為 4的等邊 AOB的頂點0在坐標原點，點 A在x軸正半軸上，點B在第一象限.一動點P沿x軸以每秒1個單位長度的速度 由點0向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒. 點P的運動過程中，線段 BP的中點為點E,將線段PE繞點P按順時針方向旋轉60 °得