勾股定理難題+提高

1、評卷人得分1 下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A. 4， 5， 6 B 3， 4， 5 C 2， 3， 4 D 1， 2， 32 .給出下列命題：在直角三角形ABC中，已知兩邊長為 3和4,則第三邊長為5;2 丄 2.2三角形的三邊 a、b、c滿足a c b，則/ C=90°厶ABC中，若/ A：Z B：ZC=1: 5: 6，則厶ABC是直角三角形；厶 ABC中，若a : b: c=1: 2: 、3，則這個三角形是直角三角形.其中，假命題的個數(shù)為（）A. 1個 B . 2個 C . 3個 D . 4個3 .如圖，如果把厶ABC的頂點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A點(diǎn)，

2、連接A B, 則線段A B與線段AC的關(guān)系是（） 如果三角形三個內(nèi)角的比是1 : 2 : 3，那么這個三角形是直角三角形； 如果三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內(nèi)角，則這么三角形是直角三角形； 若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個頂點(diǎn)，那么這個三角形是直角三角形；1 如果/ A=Z B= / C,那么 ABC是直角三角形；2 若三角形的一個內(nèi)角等于另兩個內(nèi)角之差，那么這個三角形是直角三角形； 在 ：ABC中,若/ A+Z B=Z C,則此三角形是直角三角形。A 3個 B 4 個 C 5 個 D 6 個5. 如圖， ABC中，AB=AC=5,BC=6 M為 BC的中點(diǎn)，MNL AC于 N點(diǎn)

3、，貝U MN=（）BCA.6B912.9C. 12D1655556.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是 （）A.14， 36， 39B.8， 24， 25C.8， 15， 17D.10， 20， 267. （2013貴州安順）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行（）A. 8米B. 10 米C. 12 米D. 14 米8. 女口圖，四邊形 ABCD中, AB=AD AD/ BC / ABC=60 , / BCD=30 , BC=6 那么 ACD.2.3A. .3 B評卷人得分、新添加的題型評卷人得分、解答題第II卷(非選擇題)

4、請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明9. 在 Rt ABC中，/ CAB=90 , AB=AC(1)如圖，過點(diǎn)A在厶ABC外作直線 MN BML MN于M, CNL MN于 N判斷線段 MN BM CN之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明；若AM=a , BM=d , AB=c，試?yán)脠D驗(yàn)證勾股定理 a 如果AC= 6cm, BC= 8cm,可求得 ACD的周長為 ; 如果/ CAD:/ BAD=4:7,可求得/ B的度數(shù)為 ;操作二：如圖2,小王拿出另一張 Rt ABC紙片，將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊 AB上，且與 AE重合，若 AC= 9cm, BC= 12cm,請求出 CD的長.11 .如圖

5、，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC= 5cm, BC= 12cm,現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它恰好落在斜邊 AB上，且與AE重合，求CD的長. b2 = c2 ；(2)如圖，過點(diǎn) A在厶ABC內(nèi)作直線 MN BML MN于M, CNL MN于N,判斷線段 MN(直接寫出答案)10 . (6分)小王剪了兩張直角三角形紙片，進(jìn)行了如下的操作：操作一：如圖1,將Rt ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點(diǎn)A與B重合， 折痕為DEA12 .如圖，學(xué)校B前面有一條筆直的公路，學(xué)生放學(xué)后走AB, BC兩條路可到達(dá)公路,經(jīng)測量 BC= 6km, BA= 8km, AC= 10km,現(xiàn)需修建一條路使

6、學(xué)校到公路距離最短，請你 幫助學(xué)校設(shè)計一種方案，并求出所修路的長.13 .如圖， ABC中，/ ACB= 90° AC= 9, BC= 12,求 Rt ABC中斜邊 AB上的高 CDA DB114 .閱讀理解題：如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，且 ADBC.2求證：/ BAC=9015如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形(兩直角邊長分別是 a、b，斜邊長為c)和一個正方形(邊長為c) 請你將它們拼成一個能驗(yàn)證勾股定理的圖形.(1) 畫出拼成的這個圖形的示意圖；(2) 用(1)中畫出的圖形驗(yàn)證勾股定理.16 課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖.(1

7、) 求證： AD3A CEB(2) 從三角板的刻度可知 AC=25cm請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小(每塊 磚的厚度相等)ADCE17 . （10 分）如圖，在 ABC中，AB= 13, BC= 10, BC 邊上的中線 AD= 12 . ABD C(1) AD平分/ BAC嗎？請說明理由.2)求： ABC的面積.評卷人得分18 直角三角形兩邊長分別為3厘米、4厘米，則第三邊的長為 。19 .一個直角三角形的兩邊長分別為9和40,則第三邊長的平方是 20 若一個直角三角形的兩邊的長分別為m、n，且滿足Jm_3+| n-4=0，則第三邊的長為21 已知x -6 +|y -8 +(z -10

8、)2 = 0 ,則由此x,y,z為三邊的三角形是 三角形22 ABC的三邊長分別為 m 1 , 2m 卅+ 1，則最大角為 23 在長方形紙片 ABCD中, AD= 3cm AB= 9cm,按如圖方式折疊， 使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則DE=24 .如圖，在 Rt ABC中，/ ABC是直角，AB=3 BC=4 P是BC邊上的動點(diǎn)，設(shè) BP=X若能在AC邊上找到一點(diǎn) Q使/ BQP=90，則x的取值范圍是 25 .如圖，0P= 1，過P作PR丄0P且PR= 1,得OR = J2 ;再過P1作PP丄0P且PR=1,得0F2；又過P2作P2P3丄0P且F2P3= 1 ,得0P= 2依此法繼續(xù)作

9、下去，得0012=評卷人得分參考答案1. B.【解析】試題分析：A. 42+52工62,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；B. 32+42=52，能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；C. 22+32工42,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D. 12+22工32,不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意.故選B.考點(diǎn)：勾股數(shù).2. B【解析】試題分析：命題中若 4是直角邊，則第三邊長為 5,若4為斜邊，則第三邊長為7，故錯誤；命題中應(yīng)該是/ B=90°,故錯誤；命題、均正確；故假命題有2個；故選B.考點(diǎn)：真命題與假命題3. D【解析】試題分析：先根據(jù)題意畫出圖形，再利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)即可判斷

10、線段A B與線段AC的關(guān)系：如圖，將點(diǎn)A先向下平移3格，再向左平移1格到達(dá)A'點(diǎn)，連接A' B,與線段AC交于點(diǎn)0.A' 0=0B= 2 , A0=0C=2 2 ,線段A' B與線段AC互相平分，又/ A0A =45° +45° =90° , A' B丄 AC線段A' B與線段AC互相垂直平分.故選D.【解析】試題分析：三角形三個內(nèi)角的比是1 : 2： 3,設(shè)三角形的三個內(nèi)角分別為x, 2x, 3x , x+2x+3x=180 °，解得 x=30° , 3x=3 X 30° =90

11、76; ,此三角形是直角三角形，故本小題正確； T三角形的一個外角與它相鄰的一個內(nèi)角的和是180° ,若三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內(nèi)角，則此三角形是直角三角形， 故本小題正確； 直角三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個頂點(diǎn)，若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個頂點(diǎn)，那么這個三角形是直角三角形，故本小題正確；1 / A=Z B= / C,2設(shè)/ A=Z B=x，則/ C=2x, x+x+2x=180 °，解得 x=45° ， 2x=2 X 45° =90° ，此三角形是直角三角形，故本小題正確； 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)

12、角之和，三角形的一個內(nèi)角等于另兩個內(nèi)角之差，三角形一個內(nèi)角也等于另外兩個內(nèi)角的和，這個三角形中有一個內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，有一個內(nèi)角一定是 90°，故這個三角形是直角三角形，故本小題正確； T三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，又一個內(nèi)角也等于另外兩個內(nèi)角的和，由此可知這個三角形中有一個內(nèi)角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)， 有一個內(nèi)角一定是 90°，故這個三角形是直角三角形，故本小題正確.故選D.考點(diǎn)：1.三角形內(nèi)角和定理；2.三角形的外角性質(zhì).5. C.【解析】試題分析：連接 AM AB=AC點(diǎn)M為BC中點(diǎn)， AM

13、I CM BM=CM/ AB=AC=5 BC=6 BM=CM=3在 Rt ABM中，AB=5, BM=3根據(jù)勾股定理得：AM= AB2 - BM 2二加52 - 33 =4，又 Saamc= 1 MACn1 AM?MC2 2MN=AM ?CM12AC故選C.考點(diǎn)：1.勾股定理；2.等腰三角形的性質(zhì).6. C【解析】滿足 a2 + b2= c2的三個正整數(shù) a, b, c是勾股數(shù)，因?yàn)?82 + 152= 289, 172 = 289, 所以82 + 152= 172,即卩8、15、17為勾股數(shù).同理可判斷其余三組數(shù)均不是勾股數(shù).7. B【解析】如圖，設(shè)大樹高為 AB= 10米，小樹高為CD=

14、4米，過C點(diǎn)作CEL AB于E,則四邊形 EBDC是矩形.連接 AC,貝U EB= CD= 4 米，EC= 8 米，AE= AB- EB= 10 -4= 6 (米).在 Rt AEC中, ACAE2 EC2 -10米.A卜*EBD8. A.【解析】試題分析：如圖，過點(diǎn) A作AE! BC于E,過點(diǎn)D作DFL BC于F.設(shè) AB=AD=x又 AD/ BC四邊形AEFD是矩形形， AD=EF=x在 Rt ABE中，/ ABC=60，則/ BAE=30 ,1 1 BE=AB=x,在 Rt CDF中，/FCD=30，貝U CF=DFcot30=x.又 BC=61 3 BE+EF+CF=6 即 x+x+

15、x=6,2 2解得x=2ACD的面積是:1 AD?DF=1 x X 上3 x= 3故選A.考點(diǎn)：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形.9. ( 1)證明見解析；(2) MN=BM-CN.【解析】試題分析：(1)利用已知得出/ MAB=/ ACN進(jìn)而得出厶MAB2A NCA進(jìn)而得出 BM=AN AM=CN即可得出線段MN BM CN之間的數(shù)量關(guān)系；利用11 2 1S 梯形 mbc=Samab+Saabc+Sanc/= ab+ c + ab,22 21梯形MBC=2(BM+C)x MN=! (a+b) 2,2進(jìn)而得出答案;(2)利用已知得出/ MAB=/ ACN進(jìn)而得出厶MABA NCA進(jìn)而得出

16、 BM=A, AM=C,即可得出線段MN BM CN之間的數(shù)量關(guān)系.試題解析：(1)MN=BM+CN理由：/ MAB社 NAC=90，/ ACN+Z NAC=90 ,/ MAB=Z ACN 在厶MABHA NCA中.BMA - ANCI.MAB - NCA ,AB 二 AC MABA NCA( AAS , BM=AN AM=CN MN=AM+AN=BM+CN由知厶MABA NCA CN=AM=a AN=BM=b AC=BC=c MN=a+b(BM+CNX MN=1 ( a+b) 2,21 1 2 1 1 S 梯形 mbc=Samab+sabc+Sanc= ab+ c + ab, S 梯形 mb

17、cn=2 2 2 2 11 2 1 1 / 2ab+ c + ab= (a+b),22 2 2 a2+b2=C2；(2) MN=BM-C；理由：MAB-Z NAC=90 , Z ACN+Z NAC=90 , / MAB=Z ACN在厶MABHA NCA中BMAANCMAB = NCA ,AB 二 AC A MABA NCA( AAS , BM=AN AM=CN MN=AN-AM=BM-CN考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).10. 操作一(1) 14cm(2) 35 ° 操作二 CD=4 . 5【解析】試題分析：操作一利用對稱找準(zhǔn)相等的量：BD=AD Z BADZ B,然后分別利用周長及三

18、角形的內(nèi)角和可求得答案；操作二利用折疊找著 AC=AE利用勾股定理列式求出AB,設(shè)CD=x表示出BD, AE,在Rt BDE中，利用勾股定理可得答案試題解析：操作一 (1) 14cm(2) 35 °操作二 由折疊知：AE=AC=9 DEI AB 設(shè) CD=DE=X 則 BD=12-X,/ AB2 二 AC2BC2 =81 + 144=225, AB=15 BE=15-9=6,又 BD = DWBE2 , (12 -x)2=x2+36,9x=,2即 CD=4 5cm考點(diǎn)：軸對稱，線段的垂直平分線1011. CD的長為3 cm.進(jìn)而利用勾股定理【解析】試題分析：利用翻折變換的性質(zhì)得出DE

19、=CD AC=AE=5cm/ DEB=90 ,得出x的值.試題解析：T有一塊直角三角形紙片兩直角邊AC=5cm BC=12cm AB=13cm將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊 AB上，且與AE重合， DE=CD AC=AE=5cm/ DEB=90 ,設(shè) CD=xcm 貝V BD= (12 - x) cm,故 d+bE2=bcj,即 x2+ (13- 5) 2= (12- x) 2,解得:x=®則CD的長為cm3考點(diǎn)：勾股定理12. 4.8km.【解析】解：過 B作AC的垂線，垂足為 D,線段BD就是要修的路.1AC_BD ,2在厶 ABC中，T AB" + BC=

20、82+ 62= 100,而 AC= 102= 100, AB2+ BC=人6,即厶 ABC是直角三角形，且/ ABC= 90°.由 1 ABLIbC2得 AbLbC 6 8得 BD4.8 (km),AC 10即所修路長為4.8km.365【解析】解：在 Rt ABC中，AB =魯AC2 BC2 二92 122 =15.11由三角形的面積公式得 一AC BC = AB CD ,22-acLbcAB9 121536即斜邊AB上的高CD是 3614. ( 1)如果一個三角形的一邊上的中線的長等于這條邊長的一半，那么這個三角形是直1角三角形.(2) _穢3。2【解析】試題分析：根據(jù)題目的已知

21、條件和結(jié)論寫出判斷方法即可.試題解析：(1)如果一個三角形的一邊上的中線的長等于這條邊長的一半，那么這個三角 形是直角三角形。(2)因?yàn)檫@個三角形的一條邊上的中線長是這條邊長的一半，所以這個三角形是直角三角 形。設(shè)這個直角三角形的兩條直角邊的長分別為a、b，則a+b=1+、. 3根據(jù)勾股定理，得2.2 2a +b =22 2a +b =4因?yàn)椋╝+b） =a +b +2 ab即（1+ ''3 ） 2=4+2 ab所以ab = 31ab、32 2所以這個三角形的面積為 1 i 32考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線.15. (1)(答案不唯一)如圖. 驗(yàn)證：大正方形的面積可表示為(a

22、+ b)2,一 2 1又大正方形的面積也可表示為c 4 ab ,21(a b) = c2 4 ab ,2即 a2 + b2 + 2ab= c2 + 2ab.2.2 2 a + b c .即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.【解析】(1)(答案不唯一)如圖.(2)驗(yàn)證：大正方形的面積可表示為 (a + b)2,2 1又大正方形的面積也可表示為 c24 ab ,22 2 1 (a b) = c2 4 ab ,2即 a2 + b2 + 2ab= c2 + 2ab.2.2 2 a + b c .即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.16. (1)證明見解析；(2 )砌墻磚塊的厚度 a為5

23、cm【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意可知 AC=BC / ACB=90 , AD丄DE, BEX DE進(jìn)而得到/ ADC2CEB=90，再根據(jù)等角的余角相等可得/BCE=/ DAC從而得到結(jié)論；(2)根據(jù)題意得：AD=4a BE=3a根據(jù)全等可得 DC=BE=3a由勾股定理可得(4a) 2+ (3a)2 2=25，再解即可.試題解析：(1)根據(jù)題意得：AC=BC / ACB=90 , AD丄DE BEX DE / ADC=z CEB=90 , / ACD+Z BCE=90 , / ACDf DAC=90 , / BCE玄 DAC在厶 ADCn CEB中，ADC 二CEBdDAC =nbce ,

24、AC =BC ADCA CEB( AAS ;(2)由題意得：AD=4a BE=3a由(1)得： ADCA CEB- DC=BE=3a在 Rt ACD中: AD2+Cd=AC2 ,( 4a) 2+ (3a) 2=252,/ a > 0,解得a=5,答：砌墻磚塊的厚度 a為5cm.考點(diǎn)1.:全等三角形的應(yīng)用 2.勾股定理的應(yīng)用.17. (1)平分，理由詳見解析；(2) 60【解析】試題分析：(1) AD平分/ BAC理由為：/ BC邊上的中線AD BD=5在 ABC中, AB=13, AD=12 BD=5 25 =24 +7, 即: AB=AD+BD/ ADB=90 ,即 AD丄 BC, A

25、D垂直平分BC AB=AC AD 平分/ BAC由(1)得AB=AC AD垂直平分BCBC AD abc=2=60.考點(diǎn):1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形面積的計算方法18. 5cm或.7 cm.【解析】試題分析：題中沒有指明哪個是直角邊哪個是斜邊，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析.試題解析：(1)當(dāng)兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為5cm(2)當(dāng)4為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為 .7 cm；故直角三角形的第三邊應(yīng)該為5cm或7 cm.考點(diǎn)：勾股定理.19. 1681 或 1519.【解析】設(shè)第三邊為 x(1 )若40是直角邊，則第三邊 x是斜邊，由勾股定理，得：92+402=x2，所以x2=1681.(2)若40是斜邊，則第三邊 x為直角邊，由勾股定理，得：92+x2=402，所以x2=1519.所以第三邊的長為 1681或1519.20. 5或.7 .【解析】試題分析：t Jm 3 + n4=0，二 m- 3=0, n - 4=0,. m=3 n=4,即這個直角三角形的兩邊長分別為3和4.當(dāng)4是此直角三角形的斜邊時， 設(shè)另一直角邊為x,則由勾股定理得到：x= *2 _3? = .7 ；當(dāng)4是此直