6.4 基本不等式及其應用

1、64基本不等式及其應用一、選擇題1設a0，b0.若是3a與3b的等比中項，則的最小值為()A8B4C1 D.解析：由題意有()23a·3bab1，又a0，b0，()(ab)11224，的最小值為4.答案：B2若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a()A1 B1C3 D4解析：當x2時，x20，f(x)(x2)2224，當且僅當x2(x2)，即x3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x3，即a3，選C.答案：C3設x，yR，a1，b1.若axby3，ab2，則的最大值為()A2 B.C1 D.解析：由axby3，得xloga3，ylogb3，log3(ab)log3()21，故

2、選C.答案：C4當x2時，不等式xa恒成立，則實數(shù)a的()A最小值是8 B最小值是6C最大值是8 D最大值是6解析：x(x2)2426，又xa恒成立，故a6，所以a的最大值為6.答案：D5已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()Am4，或m2 Bm2，或m4C2m4 D4m2解析：x0，y0，且1，x2y(x2y)()4428，當且僅當，即4y2x2，x2y時取等號，又1，此時x4，y2.(x2y)min8，要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m成立，即8m22m，解得4m2.答案：D6某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元若每批生產(chǎn)

3、x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品()A60件 B80件C100件 D120件解析：若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是，存儲費用是，總的費用是220，當且僅當時取等號，即x80.答案：B二、填空題7已知log2alog2b1，則3a9b的最小值為_解析：log2alog2blog2(ab)log2alog2b1，ab2且a0，b0.3a9b3a32b222218，當且僅當a2b，即a2，b1時等號成立3a9b的最小值為18.答案：188若實數(shù)x、y滿足x2y2xy1，則xy的最大值是_解析：x

4、y(xy)2，1x2y2xy(xy)2xy(xy)2(xy)2(xy)2，(xy)2，xy，當xy時，xy取得最大值.答案：9在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)f(x)的圖象交于P，Q兩點，則線段PQ長的最小值是_解析：由題意知：P、Q兩點關于原點O對稱，不妨設P(m，n)為第一象限中的點，則m0，n0，n，所以|PQ|24|OP|24(m2n2)4(m2)16(當且僅當m2)，即m時，取等號)，故線段PQ長的最小值是4.答案：4三、解答題10設(1，2)，(a，1)，(b, 0)，a0，b0，O為坐標原點，若A、B、C三點共線，求的最小值解析：(a1,1)，(b1,2)，與

5、共線，2(a1)b10，即2ab1.a0，b0，()(2ab)4448，當且僅當，即b2a時等號成立的最小值為8.11如圖所示，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)能使矩形廣告面積最??？解析：方法一：設矩形欄目的高為acm，寬為bcm，則ab9000.廣告的高為a20，寬為2b25，其中a0，b0.廣告的面積S(a20)(2b25)2ab40b25a5001850025a40b18500218500224500.當且僅當

6、25a40b時等號成立，此時ba，代入式得a120，從而b75，即當a120，b75時，S取得最小值24500，故廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最小方法二：設廣告的高和寬分別為xcm，ycm，則每欄的高和寬分別為x20，.其中x20，y25.兩欄面積之和為2(x20)18000，由此得y25，廣告的面積Sxyx(25)25x，整理得S25(x20)18500.因為x200，所以S21850024500.當且僅當25(x20)時等號成立，此時有 (x20)214400(x20)，解得x140，代入y25，得y175.即當x140，y175時，S取得最小值24500，故當廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最小12在銳角ABC中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量m(2sin(AC)，)，n，且向量m、n共線(1)求角B的大小；(2)如果b1，求ABC的面積SABC的最大值解析：(1)mn，2sin(AC)cos2B0.又ACB，2sinBcosBcos2B，即sin2Bcos2B.tan2B，又ABC是銳角三角形，0B，02B，2B，故B.(2)由