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1、64基本不等式及其應(yīng)用一、選擇題1設(shè)a0,b0.若是3a與3b的等比中項(xiàng),則的最小值為()A8B4C1 D.解析:由題意有()23a·3bab1,又a0,b0,()(ab)11224,的最小值為4.答案:B2若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值,則a()A1 B1C3 D4解析:當(dāng)x2時,x20,f(x)(x2)2224,當(dāng)且僅當(dāng)x2(x2),即x3時取等號,即當(dāng)f(x)取得最小值時,x3,即a3,選C.答案:C3設(shè)x,yR,a1,b1.若axby3,ab2,則的最大值為()A2 B.C1 D.解析:由axby3,得xloga3,ylogb3,log3(ab)log3()21,故
2、選C.答案:C4當(dāng)x2時,不等式xa恒成立,則實(shí)數(shù)a的()A最小值是8 B最小值是6C最大值是8 D最大值是6解析:x(x2)2426,又xa恒成立,故a6,所以a的最大值為6.答案:D5已知x0,y0,且1,若x2ym22m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()Am4,或m2 Bm2,或m4C2m4 D4m2解析:x0,y0,且1,x2y(x2y)()4428,當(dāng)且僅當(dāng),即4y2x2,x2y時取等號,又1,此時x4,y2.(x2y)min8,要使x2ym22m恒成立,只需(x2y)minm22m成立,即8m22m,解得4m2.答案:D6某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元若每批生產(chǎn)
3、x件,則平均倉儲時間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元,為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A60件 B80件C100件 D120件解析:若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品,則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是,存儲費(fèi)用是,總的費(fèi)用是220,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即x80.答案:B二、填空題7已知log2alog2b1,則3a9b的最小值為_解析:log2alog2blog2(ab)log2alog2b1,ab2且a0,b0.3a9b3a32b222218,當(dāng)且僅當(dāng)a2b,即a2,b1時等號成立3a9b的最小值為18.答案:188若實(shí)數(shù)x、y滿足x2y2xy1,則xy的最大值是_解析:x
4、y(xy)2,1x2y2xy(xy)2xy(xy)2(xy)2(xy)2,(xy)2,xy,當(dāng)xy時,xy取得最大值.答案:9在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)的圖象交于P,Q兩點(diǎn),則線段PQ長的最小值是_解析:由題意知:P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,不妨設(shè)P(m,n)為第一象限中的點(diǎn),則m0,n0,n,所以|PQ|24|OP|24(m2n2)4(m2)16(當(dāng)且僅當(dāng)m2),即m時,取等號),故線段PQ長的最小值是4.答案:4三、解答題10設(shè)(1,2),(a,1),(b, 0),a0,b0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A、B、C三點(diǎn)共線,求的最小值解析:(a1,1),(b1,2),與
5、共線,2(a1)b10,即2ab1.a0,b0,()(2ab)4448,當(dāng)且僅當(dāng),即b2a時等號成立的最小值為8.11如圖所示,要設(shè)計(jì)一張矩形廣告,該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分),這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位:cm)能使矩形廣告面積最小?解析:方法一:設(shè)矩形欄目的高為acm,寬為bcm,則ab9000.廣告的高為a20,寬為2b25,其中a0,b0.廣告的面積S(a20)(2b25)2ab40b25a5001850025a40b18500218500224500.當(dāng)且僅當(dāng)
6、25a40b時等號成立,此時ba,代入式得a120,從而b75,即當(dāng)a120,b75時,S取得最小值24500,故廣告的高為140cm,寬為175cm時,可使廣告的面積最小方法二:設(shè)廣告的高和寬分別為xcm,ycm,則每欄的高和寬分別為x20,.其中x20,y25.兩欄面積之和為2(x20)18000,由此得y25,廣告的面積Sxyx(25)25x,整理得S25(x20)18500.因?yàn)閤200,所以S21850024500.當(dāng)且僅當(dāng)25(x20)時等號成立,此時有 (x20)214400(x20),解得x140,代入y25,得y175.即當(dāng)x140,y175時,S取得最小值24500,故當(dāng)廣告的高為140cm,寬為175cm時,可使廣告的面積最小12在銳角ABC中,已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,向量m(2sin(AC),),n,且向量m、n共線(1)求角B的大??;(2)如果b1,求ABC的面積SABC的最大值解析:(1)mn,2sin(AC)cos2B0.又ACB,2sinBcosBcos2B,即sin2Bcos2B.tan2B,又ABC是銳角三角形,0B,02B,2B,故B.(2)由
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