第六章萬有引力與航天復習(自編)(學生版)

1、第六章萬有引力與航天復習共10 頁第六章萬有引力與航天復習一、 開普勒三定律：1、開普勒第一定律（軌道定律）：；2、開普勒第二定律（面積定律）：；由開普勒第二定律可知，近地點速度遠地點速度； 當行星由近地點向遠地點運動時，行星的線速度大??；3、開普勒第三定律（周期定律）：；表達式：。（注： k 是只與有關的常量；表達式的推導（以圓周運動為例）：二、 萬有引力定律及應用：1、 萬有引力定律：（1）內容：；（2）公式：（3）萬有引力常量G=，物理意義：；該常量是由英國的物理學家利用實驗測出；2、 與萬有引力有關的問題的研究對象：可分為兩類：一類是：地上物，包括地表物和高空物，這類物體有時除萬有引力

2、外還會受到其他的力的作用，這類物體的運動情況也比較復雜，可以是自由落體運動、豎直上拋運動、平拋運動，還可以是其他的運動，比如火箭在發(fā)射升空過程中的運動是勻加速直線運動。對于地表物，在忽略地球自轉的情況下物體的重力等于它所受的萬有引力；而高空物的重力就是它所受的萬有引力。解決此類問題所用關系式就是GMmF引mg2r，解題的關鍵一般是重力加速度 r 的確定和 g，的求解，而g，的求解一般要結合地面物體的運動規(guī)律來求。另一類是天上星：這類問題主要研究兩大系統(tǒng)，一類是繞太陽等恒星運行的行星系統(tǒng)；一類是繞地球等行星運行的衛(wèi)星系統(tǒng)。天上星只受萬有引力的作用，所做運動一般都簡化為勻速圓周運動。求解此類問題所

3、用的規(guī)律一般是F引Fma向向即G2Mmv2222mrm() rmgm2rrT,注：g,就是恒星在行星的軌道處產生的重力加速度，或行星在衛(wèi)星軌道處產生的重力加速度，也就是行星或衛(wèi)星1第六章萬有引力與航天復習共10 頁繞行的向心加速度?！纠?1】某物體在地面上受到的重力為160 N，將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度a.g 隨火箭加速上升的過程中，當物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為90 N 時，求此時衛(wèi)星距地球表面有多遠？（地球半徑R6.432）10 km,g 取 10m/s3、 萬有引力定律的應用：應用一：求解中心天體的質量（有兩種方法）：方法一：取地上物為研究對象，由GMm，F(xiàn)引mg得2rMg,

4、rG2，為地表重力加速度，若式中 g則 r 就是中心天體的半徑；這種方法有時需要先根據(jù)地上物體的運動規(guī)律求出g,。2Mmv222方法二：取天上星為研究對象，由2mmrm() r求出中心天體的質量，一般G2rrTMm22多由rG2()求得mrT234rM。2GT應用二：求中心天體的密度：方法同應用一，先求出中心天體的質量，再由V=和MV求出中心天體的密度為：3GT3r23R注意：r 與 R 的區(qū)別， r 是引力距離，是繞行天體與中心天體之間的距離，即繞行天體的軌道半徑，而R 是中心天3體自身的半徑，若T 是近中心天體的繞行天體的繞行周期，則r=R,GT近2【例 2】中子星是恒星演化過程的一種可能

5、結果，它的密度很大。 現(xiàn)有一中子星， 觀測到它的自轉周期為T=130s。問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。(引力常1132數(shù) G=6.6710m/kg.s)2第六章萬有引力與航天復習共10 頁點評： 在應用萬有引力定律解題時，經常需要像本題一樣先假設某處存在一個物體再分析求解是應用萬有引力定律解題慣用的一種方法。應用三：求行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）表面重力加速度：GMmGMmgg002R2R軌道重力加速度：GMmRhGMmgghh2Rh2【例 3】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運動，已知行星表面的重力加速

6、度為g0，行星的質量M 與衛(wèi)星的質量m之比 M/m=81，行星的半徑R0與衛(wèi)星的半徑R 之比 R0/R3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r 與行星的半徑R0之比 r/R0GMm60。設衛(wèi)星表面的重力加速度為g，則在衛(wèi)星表面有mg2r 經過計算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結果。應用四：天體的運動：(1)、天體運行的線速度、角速度、周期、宇宙速度：基本思路：把天體的運動簡化為勻速圓周運動，天體繞行的向心力等于其所受的萬有引力（重力）即F引F向G重亦即G2Mmv222,2m)2mrm(rmgrrT可得：由2MmvGm

7、可得：2r2rGMvr 越大， v 越小。rMm2由mrG2rGMr 越大， 越小?？傻茫?r2Mm2由rGm2rT可得：T2r3GMr 越大， T 越大。3第六章萬有引力與航天復習共10 頁Mm由Gma向2r可得：GMa向r 越大， a2r向越小。vg,r或gr,注意，因M,gG也與 r有關，所以不能說vr等2rT2rg,點評： 需要說明的是，萬有引力定律中兩個物體的距離，對于相距很遠因而可以看作質點的物體就是指兩質點的距離；對于未特別說明的天體，都可認為是均勻球體，則指的是兩個球心的距離。人造衛(wèi)星及天體的運動都近似為勻速圓周運動。該類問題還經常用到圓周運動的關系式，如v2Tr,2T，v=r

8、 等【例 4】我國自行研制的“風云一號”、“風云二號”氣象衛(wèi)星運行的軌道是不同的?！耙惶枴笔菢O地圓形軌道衛(wèi)星。其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h；“二號”是地球同步衛(wèi)星。兩顆衛(wèi)星相比號離地面較高；號觀察范圍較大；號運行速度較大。若某天上午8 點“風云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時刻將是?！纠?5】可發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，使其圓軌道滿足下列條件（）A、與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓B、與地球表面上某一經度線是共面的同心圓C、與地球表面上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地面是運動的D、與地球表面上的赤道線是共面同心圓,且衛(wèi)星相對地面是靜止的【例 6】偵察

9、衛(wèi)星在通過地球兩極上的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時間內將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉的周期為T。4第六章萬有引力與航天復習共10 頁【例 7】在地球（看作質量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（）A它們的質量可能不同B它們的速度可能不同C它們的向心加速度可能不同D它們離地心的距離可能不同點評：需要特別提出的是：地球同步衛(wèi)星的有關知識必須引起高度重視，因為在高考試題中多次出現(xiàn)。所謂地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜

10、止的且和地球有相同周期、角速度的衛(wèi)星。其運行軌道與赤道平面重合?！纠?8】地球同步衛(wèi)星到地心的距離r 可由22a b c3r求出，已知式中a 的單位是 m，b 的單位是 s，c 的24單位是 m/s2，則：Aa 是地球半徑， b 是地球自轉的周期，C 是地球表面處的重力加速度；Ba 是地球半徑。 b 是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，C 是同步衛(wèi)星的加速度；Ca 是赤道周長， b 是地球自轉周期，C 是同步衛(wèi)星的加速度Da 是地球半徑， b 是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，C 是地球表面處的重力加速度?！纠?9】我國自制新型“長征”運載火箭，將模擬載人航天試驗飛船“神舟三號”送入預定軌道，飛船繞地球遨游

11、太空 t7 天后又順利返回地面。飛船在運動過程中進行了預定的空間科學實驗，獲得圓滿成功。設飛船軌道離地高度為h，地球半徑為R，地面重力加速度為g.則“神舟三號”飛船繞地球正常運轉多少圈?(用給定字母表示)若 h600 km，R6400 km，則圈數(shù)為多少?（2）、雙星、三星問題：“雙星”問題的分析思路質量 m1，m2；球心間距離L；軌道半徑r1，r2；周期 T1，T2；角速度1，2線速度 V1V2；周期相同：（參考同軸轉動問題）T1=T2角速度相同：（參考同軸轉動問題）1=2向心力相同： Fn1=Fn2（由于在雙星運動問題中，忽略其他星體引力的情況下向心力由雙星彼此間萬有引力提供，可理解為一對

12、作用力與反作用力）軌道半徑之比與雙星質量之比相反：（由向心力相同推導）5第六章萬有引力與航天復習共10 頁r1：r2=m2：m1m12r1=m22r2m1r1=m2r2r1:r2=m2:m1線速度之比與質量比相反：（由半徑之比推導）V1:V2=m2:m1V1=r1V2=r2V1:V2=r1:r2=m2:m1兩顆質量可以相比的恒星相互繞著旋轉的現(xiàn)象，叫雙星。雙星問題是萬有引力定律在天文學上的應用的一個重要內容，現(xiàn)就這類問題的處理作簡要分析?！纠?10】兩個星球組成雙星， 它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為R，其運動周期為T，求兩星的總質量。

13、“三星”問題：【例 11】宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R 的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設每個星體的質量均為m。（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期。（2）假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少6第六章萬有引力與航天復習共10 頁“暗物質”問題：【例題 12】用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過

14、對它們的研究，使我們對宇宙中物質存在的形式和分布有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)是由兩個星體構成，其中每個星體的線度都小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠，可以當做孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是M ，兩者相距 L ，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動。（1）計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T計算。（2）若實驗上觀測到的運動周期為T觀測，且 T觀測：T計算=1：N(N1) ，為了解釋 T觀測與 T計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質，作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體邊線為直徑的球體內均勻分布著暗物

15、質，而不考慮其它暗物質的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度。（4） 、衛(wèi)星的發(fā)射、變軌、對接、回收問題：,起飛過程：做勻加速直線運動，規(guī)律：FNmgma，Mm,mgG，2rMmmgG0R2入軌后：做勻速圓 周運動 或沿橢 圓軌道 運動， 對于圓 周運動 ，利用2Mmv222,G2mrm() rmg求解m2rrT變軌過程：由內軌道往外軌道變，要點火加速同意軌道上的兩個衛(wèi)星要碰撞（或對接），應該后面的先減速制動做近心運動進入內軌道，再加速做離心運動與前面的衛(wèi)星碰撞【例 13】 、 2009 年 5 月，航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后，在A 點從圓形軌道進入橢

16、圓軌道，B 為軌道上的一點，如圖所示，關于航天飛機的運動，下列說法中正確的有（）（A）在軌道上經過A 的速度小于經過B 的速度（B）在軌道上經過A 的速率小于在軌道上經過A 的速率7第六章萬有引力與航天復習共10 頁（C）在軌道上運動的周期小于在軌道上運動的周期（D）在軌道上經過A 的加速度小于在軌道上經過A 的加速度【變式 13-1】、發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2 運動，最后再次點火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道 2 與軌道 1 相切于近地點Q，軌道 2 與軌道 3 相切于遠地點P，如圖所示。設衛(wèi)星在圓軌道1 運動的速率為 V1 ，在圓軌道 3

17、 運行的速率為V3，在橢圓軌道2 的近地點的速率為V2，在遠地點的速率為V4 ，則：它們的速度大小關系為_ _；加速度大小關系為_。【變式13-2】如圖所示 .衛(wèi)星由地面發(fā)射后 ,經過發(fā)射軌道進入停泊軌道,然后在停泊軌道經過調速后進入地月轉移軌道,再次調速后進入工作軌道,衛(wèi)星開始對月球進行探測.已知地球與月球的質量之比為 a,衛(wèi)星的停泊軌道與工作軌道的半徑之比為b,衛(wèi)星在停泊軌道與工作軌道上均可視為做勻速圓周運動,則()A.衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運行的速度之比為(a/b)1/2B.衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運行的周期之比為(b/a)1/2C.衛(wèi)星從停泊軌道進入地月轉移軌道時,衛(wèi)星必須加速D.衛(wèi)

18、星在停泊軌道運行的速度大于地球的第一宇宙速度應用五：重力與萬有引力的關系：1.地球表面物體的重力是萬有引力的一個分力，物體隨地球自轉的向心力是萬有引力的另一個分力。a.在赤道上：萬有引力的兩個分力F 與 mg 在同一直線上，但兩者大小不同，有；Mm2mgFFGm R2引向R如 此 則 有 ， 若 地 球 自 轉 角 速 度 增 大 ， 則 重 力 減 小 ， 當時，物體甚至飄起來。在兩極：0F，F(xiàn)引mg向重力與萬有引力大小、方向都相同在緯度為 處：物體隨地球自轉所需向心力為Fm2r向，r=Rcos,利用矢量運算法則可計算重力G。8第六章萬有引力與航天復習共10 頁【例 14】質量為 1kg 的

19、物體，在兩極與赤道的重力之差為：解：2.一般情況下，由于向 mg，故認為mg =引，Mma.地面附近：得Gmg2RgGM2RMmGMGmggb.離地面高 h 處：得22（()R h)R h三、針對訓練RRh)2所以g(g1利用下列哪組數(shù)據(jù)，可以計算出地球質量：（）A已知地球半徑和地面重力加速度B已知衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運動的軌道半徑和周期C已知月球繞地球作勻速圓周運動的周期和月球質量D已知同步衛(wèi)星離地面高度和地球自轉周期2“探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發(fā)現(xiàn)A、B 兩顆天體各有一顆靠近表面飛行的衛(wèi)星，并測得兩顆衛(wèi)星的周期相等，以下判斷錯誤的是A天體 A、B 表面的重力加速度與它們的半

20、徑成正比B兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等C天體 A、B 的質量可能相等D天體 A、B 的密度一定相等3已知某天體的第一宇宙速度為8 km/s，則高度為該天體半徑的宇宙飛船的運行速度為A22km/sB4 km/sC42km/sD8 km/s4探測器探測到土星外層上有一個環(huán).為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度 v 與該層到土星中心的距離R 之間的關系來確定9第六章萬有引力與航天復習共10 頁2R，則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群A若 vR，則該環(huán)是土星的一部分B若 v21/R，則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群C若 v1/R，則該環(huán)是土星的一部分D若 v52002 年 12 月 30 日凌晨，我國的“神舟”四號飛船在酒泉載人航天發(fā)射場發(fā)射升空，按預定計劃在太空飛行了 6 天零 18 個小時，環(huán)繞地球 108 圈后，在內蒙古中部地區(qū)準確著陸，圓滿完成了空間科學和技術試驗任務，為最終實現(xiàn)載人飛行奠定了堅實基礎.若地球的質量、半徑和引力常量G 均已知，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可估算出“神舟”四號飛船的A.離地高度B.環(huán)繞速度C.發(fā)射速度D.所受的向心力6航天技術的不斷發(fā)展，為人類探索宇