導(dǎo)數(shù)練習題(含答案)精編版

1、最新資料推薦導(dǎo)數(shù)練習題1,已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x= 土處取得極值，在 x=0處的切線與直線 3x+ y=0平 行.(1)求f(x)的解析式；(2)已知點A(2, m),求過點A的曲線y=f(x)的切線條數(shù).解 (i)f，(x)= 3ax2+2bx+ c,T (1 尸 3a + 2b+c= 0,匕=1,由題意可得 7(1尸3a-2b+c=0, 解得，b=0,If (0 尸 c=3,、c= 3.所以 f(x)=x33x.(2)設(shè)切點為(t, t33t),由(1)知f' (x)=3x2 3,所以切線斜率k= 3t2-3,切線方程為 y-(t3-3t)=(3t2-3)(x-

2、t).又切線過點 A(2, m),代入得 m-(t3-3t)= (3t2-3)(2-t),解得 m = 2t3 + 6t26.設(shè) g(t)=2t3+6t26,令 g' (t)=0,即一6t2+12t=0,解得 t=0 或 t = 2.當t變化時，g' (t)與g(t)的變化情況如下表：t(一 00 , 0)0(0,2)2(2, + 8)g' (t)一0十0一g(t)極小值一 / 一極大值所以g(t)的極小值為g(0)= 6,極大值為g(2) = 2.作出函數(shù)草圖(圖略)，由圖可知：當m>2或m< 6時，方程m= 2t3+6t2 6只有一解，即過點 A只有一條

3、切線；當m=2或m=6時，方程m= 2t3+6t26恰有兩解，即過點 A有兩條切線；當6<m<2時，方程m=2t3 + 6t2 6有三解，即過點 A有三條切線.2.已知函數(shù) f(x)= aln x bx211當a=2, b =弋時，求函數(shù)f(x)在，e上的取大值； 2e(2)當b=0時，若不等式f(x)>m + x對所有的aC0, 1, xC(1, e2都成立，求實數(shù) m的取 值范圍.解(1)由題意知，f(x) = 2ln x-1x2, f (x)=2-x= 2一, 2x x當ewxw e時，令，(x)>0 得ewx<<2；令 f' (x)<0

4、,得 J2<xwe,f(x)在1, m)上單調(diào)遞增，在(42, e上單調(diào)遞減，.f(x)max=f(V2)=ln 2-1.e32 ,(2)當b=0時，f(x)= aln x,右不等式f(x)> m+ x對所有的aC0, 5, xC(1, e 都成立，則 3 一 23 一aln x> m+x 對所有的 a C 0,5, xC (1, e 都成立，即 mwaln x x,對所有的 aC 0 ,-5, x (1, e2都成立，令 h(a)= aln x-x,則 h(a)為一次函數(shù)，m< h(a)min. . x (1, e2,，In x>0, ，h(a)在0, |上單調(diào)

5、遞增，.-.h(a)min=h(0) = -x, /. m<-x 對所有的 xC(1, e2都成立.,1xWe2,- e2< x< 1, . mw (x)min = e2.即實數(shù) m 的取值范圍為(一°°, 一 e2.3.設(shè)函數(shù) f(x)= ln(1 + x), g(x)=xf' (x), x>0,其中 f' (x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù).*令 g1(x) = g(x), gn+1(x) = g(gn(x), nCN ,求 gn(x)的表達式；(2)若f(x)> ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；設(shè)nC N*,比較g(1) +

6、 g(2)+ - + g(n)與n f(n)的大小，并加以證明. x解 由題設(shè)得，g(x) = -(x> 0).1 + x，.一x(1)由已知，g1(x) = 1，g2(x)=g(g1(x) =I 1 xxx，g3(x) = ,1 + 2x 1 + 3x，可得gn(x) =x1+ nx5卜面用數(shù)學歸納法證明.當n= 1時，g1（x） = *,結(jié)論成立.x加n=k時結(jié)論成立，即9必=言.那么，當n=k+1時,gk+1(x)=g(gk(x)=r?rx1+ kx1+恐 1+(k+1x,即結(jié)論成立.由可知，結(jié)論對nCN*成立. 一ax(2)已知f(x)>ag(x)恒成立，即ln(1 + x

7、)>7恒成乂.設(shè)、1 十xax(Xx)=ln(1 +x)-(x>0),1 十 x、ax+1a1 + x (1 + x(1 + x 廣當aW1時，/（x）>0（當且僅當x=0, a=1時等號成立）,&x）在0, + 8）上單調(diào)遞增.又 4(0)= 0,(f)(x)>0 在0, + 8)上恒成立,a< 1 時,ln(1+x)>-a恒成立(當且僅當x=0, a=1 1 +x時等號成立）.當a>1時,對 xC(0, a1有 力(x)<0,&x)在(0, a1)上單調(diào)遞減.a 1)<(f)(0) = 0.即a>1時,ax 存在x

8、>0,使 ©x）<0,故知ln（1 + x）>-一不恒成立, 1十x綜上可知，a的取值范圍是（, 1. 1 2 n由題設(shè)知 g(1) + g(2)+ - +g(n) = 2+§+ . +nl，nf(n) = nln(n+1),比較結(jié)果為 g(1)+ g(2)+ g(n)>n ln(n+ 1).證明如下：方法一：上述不等式等價于+ -<ln(n+1),2 3n+1在(2)中取 a=1,可得 ln(1 +x)>x, x>0.令 x=1, nC N*,則一1<inn+ 11 + xnn+1 n ,下面用數(shù)學歸納法證明.1當n= 1時

9、，2<ln 2 ,結(jié)論成立.假設(shè)當n= k時結(jié)論成立，即1+1+1<ln(k+1). 2 3 k +1那么，當 n=k+1 時，1+1+H1I<ln(k+ 1) + -<ln( k+ 1)+ ln-= ln(k+2),2 3k+1 k+2k+2k+1即結(jié)論成立.由可知，結(jié)論對n C N成立.1 11方法一：上述不等式等價于 工+石+;<ln( n+ 1),2 3n+1在(2)中取 a=1,可得 ln(1 +x)> x , x>0.令 x=1, nC N *,則 lnn+ > > 1+xnn n+1故有 ln 2 ln 1>1, ln

10、3 ln 2>1,，ln(n+1)ln n>-, 23''、' n+11 11上述各式相加可得 ln(n+1)>彳+ 結(jié)論得證.!4,21 i的圖像上至少存 ,22 3n+1D121-已知函數(shù) f (x )= x +m與函數(shù) g(x )=-ln-3x. xwxV在一對關(guān)于x軸對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍是（A、B、52-ln2,- ln 2_4C、5 ln 2,2 - ln 2D、 2 - ln 2,2 1_43 2B2、已知函數(shù)f（x）=ax -3x +1,若f（x）存在唯一的零點x。，且X0>0，則a 的取值范圍，為（）。A、（2*）B、（-

11、00,2）C、（-00,1） D、（1尸）A3、定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f (x)>1 f <x), f(0)=0, fx)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式exf (x)>ex-1 (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()。A、(0,也) B、(-°°,-1 卜(0,收)C、(-°°,0 卜(1,y) D、(-1,收).一124、已知函數(shù)f(x)=-x +4x-3ln x在H,t+1上不單調(diào)，那么頭數(shù)t的取值沱圍是。 (0,1)UQ,3)C5、若函數(shù)f(x)=*-ax2+x+1在區(qū)間口,3 i內(nèi)有極值點，則實數(shù)a的取值范圍 322是()

12、。A、f”】B、；20C、12D、；2,2_ ，2,3_ ， 3，一，一 1 324B6、已知函數(shù)f(x)= x +x +x+,右函數(shù)y = f (x + a) + b為奇函數(shù)，貝U a + b的 33值為()。A、-5B、-2C、0 D、2D7、已知函數(shù)f(x)=ex+x2+(3a+2), x在區(qū)間(-1,0)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是(A、DA8、設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且2f (x)+xf'(x)Ax2,下面的不等式在R 上包成立的是()。A、 f (x) >0 B、 f (x) <0C、f (x) > x D、f (x) <

13、 xA9、已知函數(shù)f (x) =(2 -x)ex -ax-a ,若不等式f(x) a0恰有兩個正整數(shù)解，則a 的取值范圍是()。A、!|-1e3,0 I B、-e,0 IC、e3,- j D、卜后？IL 41 IL 2 1 IL 4 2_ 4D10、若函數(shù)f(x)=lnx與函數(shù)g(x) =ax2(a >0)有兩條公切線，則實數(shù)a的取值范 圍是()°1 1八 11A、(0,-)B、(0)C、(-，)D、(丁尸)e2ee2e1 011、已知函數(shù)g(x)酒足g(x) =g<1)e - g(0)x + /x ,且存在頭數(shù)X0使得不等式2m 1至g(X0)成立，則m的取值范圍是?！?, +無窮】12、已知x = 1,x=3是函數(shù)f(x) =sinx +平) >0,愀<n)相鄰的兩個極值點，且f(x)在x=3處的導(dǎo)數(shù)f/3)<0,則f 口】=。(二分之一)2 2313、已知函數(shù) f (x) =x -, g(x) = x2 -2ax + 4 ,若任意 x1 w 10,1 1存在x2 w11,2 】, x 1使