專題23：函數(shù)中一類求和問題的研究與拓展

1、 專題2.3：函數(shù)中一類求和問題的研究與拓展 【問題提出】 問題1：等差數(shù)列的前項和公式如何推導(dǎo)？問題2：為何會用倒序求和而不是奇偶分析？能否給出圖形證明？問題3：若，則變式1：設(shè)，則= 變式2：（2003年上海春季高考題）設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法可求得的值是 變式3：（2012年全國新課標(biāo)文科高考題）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則Mm_【探究拓展】探究1：求和：解：考慮到，將以上兩式相加得：所以拓展1：（2013年南通高三數(shù)學(xué)二模23題）設(shè)b>0，函數(shù)，記（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），且當(dāng)x = 1時，取得極小值2（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）證明（有點像二項式系數(shù)和的形

2、式）【解】（1）由題于是，若，則，與有極小值矛盾，所以令，并考慮到，知僅當(dāng)時，取得極小值所以解得故，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為（2）因為，所以記因為， 所以，故拓展2：（2013年宿遷、徐州高三數(shù)學(xué)三模）已知函數(shù),（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值和極小值；（2）是否存在等差數(shù)列，使得對一切都成立？并說明理由 解：（1） =，=，令得，因為，所以當(dāng)為偶數(shù)時的增減性如下表：無極值極大值極小值所以當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)為奇數(shù)時的增減性如下表：極大值極小值無極值所以時，；當(dāng)時，（2）假設(shè)存在等差數(shù)列使成立，由組合數(shù)的性質(zhì)，把等式變?yōu)?，兩式相加，因為是等差?shù)列，所以，故，所以 再分別令，得且，進(jìn)一步可得滿足題設(shè)的等

3、差數(shù)列的通項公式為 探究2：設(shè)函數(shù)，若成等差數(shù)列（公差不為零），則 變式1：已知函數(shù)，則 為了方便起見，記，由于，所以，故變式2：設(shè),則的值為 ，故倒序相加得和為500變式3：已知函數(shù)，則_，故，令得：變式4：已知是上的奇函數(shù)，則數(shù)列的通項公式為_.拓展：將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱這一性質(zhì)進(jìn)行拓廣，有下面的結(jié)論： 函數(shù)滿足的充要條件是的圖像關(guān)于點成中心對稱 函數(shù)滿足為奇函數(shù)的充要條件是的圖像關(guān)于點成中心對稱（注：若不屬于的定義域時，則不存在）利用上述結(jié)論完成下列各題：（1）寫出函數(shù)的圖像的對稱中心的坐標(biāo)，并加以證明（2）已知（）為實數(shù)，試問函數(shù)的圖像是否關(guān)于某一點成中心對稱？若是，求出對稱中心

4、的坐標(biāo)并說明理由；若不是，請說明理由（3）若函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱，求的值解：（1）函數(shù)的圖像的對稱中心的坐標(biāo)為（） 當(dāng)（）時，；當(dāng)（）時，得證（2）由，得的圖像的對稱中心的坐標(biāo)為，由結(jié)論得，對實數(shù)()，函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱（3）由結(jié)論 為奇函數(shù)，其中為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)（證明略），于是，由可得，因此，解得為所求變式1：（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷）已知真命題：“函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù) 是奇函數(shù)”.（1）將函數(shù)的圖像向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)圖像對稱中心的坐標(biāo);（2）求函數(shù) 圖像對稱中

5、心的坐標(biāo);（3）已知命題：“函數(shù) 的圖像關(guān)于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù) 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題，請說明理由,并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改,使之成為真命題(不必證明).【答案】(1)平移后圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為, 整理得, 由于函數(shù)是奇函數(shù), 對稱中心的坐標(biāo)是. (2)設(shè)的對稱中心為,由題設(shè)知函數(shù)是奇函數(shù). 設(shè)則,即. 由不等式的解集關(guān)于原點對稱,得. 此時. 任取,由,得, 所以函數(shù)圖像對稱中心的坐標(biāo)是. (3) 此命題是假命題. 舉反例說明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對稱圖像,但是對任意實數(shù)和,函數(shù),即總不是偶函數(shù).

6、 修改后的真命題: “函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對稱圖像”的充要條件是“函數(shù)是偶函數(shù)”. 變式2：已知函數(shù)，若對于滿足Î(- a，4 - a)的一切x恒成立，則(a，b)為_分析：不難發(fā)現(xiàn)，這道題目改編于前文中的高考試題. 如果直接利用題中條件，得到. 化簡得：，當(dāng)時，上式左邊與無關(guān)，則有，.上述解法雖可行，但是難以體現(xiàn)本質(zhì). 事實上，條件等價于函數(shù)的對稱中心為. 因為：，其中. 從而本題就轉(zhuǎn)化為求對稱中心坐標(biāo)，同上，此處不再贅述.變式3： 對于三次函數(shù)，定義是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”. 有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心.

7、 根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)，則的值為_.分析：由題意知，；當(dāng)時，則.因此有，那么；利用倒序相加法得到：，共有4025對，那么，則=4025. 上述解法中，在解方程時，本質(zhì)上不止有一個根，因此該題的解法中略有不足. 故仍需要利用文首高考題中構(gòu)造奇函數(shù)的方法才能完美地解決此題.另解：， 當(dāng)時，則為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，那么可知函數(shù)的對稱中心為. 余下部分同上解法，此處略去.變式4：函數(shù)的所有零點之和為 分析：首先，有，畫出圖像，如果能觀察到圖像關(guān)于(1,0)中心對稱，那么4個零點中分為兩對且每對和為2，則其總和為4.然而，如果看不出來對稱中心的話，能否換個角度審視問題，即如何用更一般地方法去分

8、析這一問題呢？事實上，研究一個函數(shù)，無非是從單調(diào)性、奇偶性、圖像等幾方面入手. 在奇函數(shù)的習(xí)題中，有零點之和的問題，主要是用到這個結(jié)論. 那么本題中，定義域不關(guān)于原點對稱，怎么辦？左移一個單位后變成，則令，有，得到. 等式兩邊的函數(shù)都是奇函數(shù)，且，因此這個方程的4個根之和為0，那么，即有.本解法中對函數(shù)定義域所做的一點調(diào)整，足以讓問題簡化，真可謂“退一步海闊天空”，這種處理方式同樣適用于如下試題：變式5：方程在區(qū)間內(nèi)所有根之和等于_ 變式6： 蘇州市2013年6月高二數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題13 已知函數(shù)的圖像的對稱中心為，函數(shù)的圖像的對稱中心為，函數(shù)的圖像的對稱中心為，由此推測函數(shù)的圖像的對稱中心為

9、 分析：這題學(xué)生能做出來的不多，但“猜對”的不少！很多學(xué)生都是歸納猜想去做，講不清楚個中緣由. 那么本題到底該怎么分析才能讓學(xué)生理解其本質(zhì)呢？首先，還是回到研究函數(shù)的幾個性質(zhì)上去，即定義域、單調(diào)性、奇偶性(1) 若函數(shù)，定義域為，值域為R，單調(diào)性為每個單調(diào)區(qū)間上的減函數(shù)，非奇非偶. 如果去作圖，先要解出零點，然后再去觀察，可行！但是，也不能永遠(yuǎn)都這樣下去，后面如果項數(shù)多了就束手無策. 那么能嘗試去考慮定義域關(guān)于原點對稱的情形嗎？容易得到圖像右移個單位后變成函數(shù)：. 這樣定義域關(guān)于原點對稱，由表達(dá)式自然地想到了這個是奇函數(shù)，關(guān)于原點中心對稱，故原函數(shù)中心為.(2) 函數(shù)，定義域為，值域為R，圖像右移1個單位后，變成，也是奇函數(shù)，故原來的函數(shù)對稱中心為.(3) 由此類推，圖像右移個單位后，變?yōu)椋海衫?證明函數(shù)為奇函數(shù)，因此對稱中心為.探究3：設(shè)函數(shù)，是公差不為0的等差數(shù)列，則_. 21 解析是公差不為0的等差數(shù)列，且點評本小題考查的知識點較為綜合，既考查了高次函數(shù)的性質(zhì)又考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解決此類問題必須要敢于嘗試，并需要