選修2-2第二章《推理與證明》綜合檢測(cè)題

1、選修2-2第二章推理與證明綜合檢測(cè)題(時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分1自然數(shù)是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)以上“三段論”推理(A正確 B推理形式不正確 C兩個(gè)“自然數(shù)”概念不一致 D“兩個(gè)整數(shù)”概念不一致2用反證法證明命題“已知x，yN*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一個(gè)能被7整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是(Ax，y都不能被7整除 Bx，y都能被7整除Cx，y只有一個(gè)能被7整除 D只有x不能被7整除3下列代數(shù)式(其中kN*能被9整除的是(A66×7k B27k1 C2(27k1 D3(27k4用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3(nN*

2、時(shí)，第一步驗(yàn)證n1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是(A1 B12 C123 D12345已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為(Aa1a2a3a929 Ba1a2a929 Ca1a2a3a92×9 Da1a2a92×96已知abc0，則abbcca的值(A大于0 B小于0 C不小于0 D不大于07已知f(xsin xcos x，定義f1(xf(x，f2(xf1(x，fn1(xfn(x(nN*，經(jīng)計(jì)算，f1(xcos xsin x，f2(xsin xcos x，f3(xcos xsin x，照此規(guī)律，則f100(x(Acos xsi

3、n x Bcos xsin x Csin xcos x Dsin xcos x8下列各圖中線段的條數(shù)用an表示，如a11，a25，若如此作下去，則第8個(gè)圖中的線段條數(shù)a8(A508 B509 C511 D5129觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10(A28 B76 C123 D19910.如圖所示，半徑為1的圓O內(nèi)有n個(gè)半徑相等的圓依次相切且都與圓O相切，若n10，則這些等圓的半徑為(A. B. C. D.11請(qǐng)閱讀下列材料：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2滿足aa1，求證：a1a2.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x(xa12(xa222x22(a1a2x1，因?yàn)閷?duì)

4、一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x0，所以0，即4(a1a2280，所以a1a2.根據(jù)上述證明方法，若n個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2，an滿足aaan時(shí)，你能得到的結(jié)論是(Aa1a2an2n Ba1a2ann2 Ca1a2ann Da1a2an12.如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，Pi(i1，2，3，分別是所在線段的中點(diǎn)，則線段P7P8的長(zhǎng)為(A. B. C. D.二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上13“因?yàn)锳C，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，所以AC，BD互相垂直且平分”補(bǔ)充以上推理的大前提是_14我們知道，圓的面積的導(dǎo)數(shù)為圓的周長(zhǎng)，即：若圓的半徑為r，則圓的面積S(rr2

5、，S(r2r為圓的周長(zhǎng)通過(guò)類比，有以下結(jié)論：正方形面積的導(dǎo)數(shù)為正方形的周長(zhǎng) 正方體體積的導(dǎo)數(shù)為正方體的表面積；球體的體積的導(dǎo)數(shù)為球體的表面積其中正確的是_(填序號(hào)15數(shù)列an的前六項(xiàng)是2，1，6，13，22，33，則a20_. 16非零自然數(shù)有一個(gè)有趣的現(xiàn)象：123；45678；9101112131415；.按照這樣的規(guī)律，則108在第_個(gè)等式中三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17(本小題滿分10分把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立(1如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交；(2如果兩條直線同時(shí)垂

6、直于第三條直線，則這兩條直線互相平行18(本小題滿分12分已知AB，且A，Bk(kZ求證：(1tan A(1tan B4.19(本小題滿分12分已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)，求證：(1cos A是有理數(shù)；(2對(duì)任意正整數(shù)n，cos nA和sin A·sin nA是有理數(shù)20(本小題滿分12分已知a，b，c都是不為零的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2(abbcca21(本小題滿分12分(2015·陜西卷如圖所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到圖中A1BE的位置，得到四棱錐A1­BCDE.圖圖(

7、1證明：CD平面A1OC；(2當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí)，四棱錐A1­BCDE的體積為36，求a的值22(本小題滿分12分已知函數(shù)f(x，如果數(shù)列an滿足a12，an1f(an，求證：當(dāng)n2時(shí)，恒有an2成立選修2-2第二章推理與證明綜合檢測(cè)題參考答案1A 2A 3解析：用特值法：當(dāng)k1時(shí)，顯然只有3(27k能被9整除D 4D5.解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，有a1a9a2a82a5.易知選項(xiàng)D正確答案：D6.解析：因?yàn)閍bc0，所以a2b2c22ab2ac2bc0，所以abbcca0.答案：D7.解析：根據(jù)題意，f4(xf3(xsin xcos x，f5(xf4(xcos xsin x，

8、f6(xf5(xsin xcos x，觀察知fn(x的值呈周期性變化，周期為4，所以f100(xf964(xf4(xsin xcos x. 答案：C8.解析：由題圖知，a11，a2122，a312223，a41222324，所以a81222328(222232811509.答案：B9.解析：記anbnf(n，則f(3f(1f(2134；f(4f(2f(3347；f(5f(3f(411.通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)f(nf(n1f(n2(nN*，n3，則f(6f(4f(518；f(7f(5f(629；f(8f(6f(747；f(9f(7f(876；f(10f(8f(9123.所以a10b10123.答案：C

9、10.解析：如圖所示，設(shè)相鄰兩圓的圓心分別為O1，O2，圓半徑為r，連接OO1，OO2，O1O2，作OAOO2于點(diǎn)A，則A為OO2的中點(diǎn)，因?yàn)檫@樣的圓有10個(gè)，所以O(shè)1OO2，所以O(shè)1OA，在RtO1OA中，sinO1OA 即sin ，解得r.答案：B11.解析：構(gòu)造函數(shù)f(x(xa12(xa22(xan2nx22(a1a2anxn，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x0，所以0，即4(a1a2an24n20，所以a1a2ann. 答案：C12.解析：因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，又P1，P2，P3分別是BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以P1P2P2P3，且P1P2P2P3，所以P2P5，連接P3P5，則P

10、3P5，連接P7P8，因?yàn)镻7，P8分別是P3P4，P4P5的中點(diǎn)，所以P7P8P3P5，且P7P8P3P5.答案：A14.解析：每個(gè)式子中的數(shù)依次列出成等差數(shù)列，第一個(gè)式子中有3個(gè)數(shù)，第二個(gè)式子中有5個(gè)數(shù)，第n個(gè)式子中有2n1個(gè)數(shù)，則第一個(gè)式子到第n個(gè)式子共有n(n2個(gè)數(shù)當(dāng)n9時(shí)，第一個(gè)式子到第9個(gè)式子共有9×1199個(gè)數(shù)，當(dāng)n10時(shí)，第一個(gè)式子到第10個(gè)式子共有10×12120個(gè)數(shù)，而108是第108個(gè)數(shù)，所以108在第10個(gè)等式中15.解析：由數(shù)列的前五項(xiàng)知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann23，所以a202023397.16.解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則正方形的面積為S(aa

11、2，而S(a2a正方形的周長(zhǎng)；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為V(aa3，而V(a3a2正方體的表面積；設(shè)球體的半徑為r，則V(rr3，而V(r4r2球體的表面積所以只有正確17解：(1類比為：如果一個(gè)平面和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必和另一個(gè)相交結(jié)論是正確的，證明如下：設(shè)，且a，則必有b，若與不相交，則必有.又，所以，與矛盾，所以必有b.(2類比為：如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行，結(jié)論是錯(cuò)誤的，這兩個(gè)平面也可能相交18.證明：由AB得tan (ABtan ，即，所以tan Atan Btan Atan B.所以(1tan A(1tan B1(tan Atan B

12、3tan Atan B1(tan Atan A3tan Atan B4.故原等式成立19.證明：(1由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知cos A是有理數(shù)(2用數(shù)學(xué)歸納法證明cos nA和sin A·sin nA都是有理數(shù)當(dāng)n1時(shí)，由(1知cos nA是有理數(shù)，從而有sin A·sin nA1cos2 A也是有理數(shù)假設(shè)當(dāng)nk(k1時(shí)，cos kA和sin A·sin kA都是有理數(shù)當(dāng)nk1時(shí)，sin A·(sin A·cos kAcos A·sin kA(sin A·sin A·cos kA(sin A·

13、;sin kA·cos A，由和歸納假設(shè)，知cos (k1A和sin A·sin(k1A都是有理數(shù)即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立綜合、可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cos nA和sin A·sin nA都是有理數(shù)20.證明：要證a2b2c2(abbcca ，只需證5(a2b2c24(abbcca，只需證5a25b25c2(4ab4bc4ca0，只需證(a24ab4b2(b24bc4c2(c24ca4a20，只需證(a2b2(b2c2(c2a20.因?yàn)?a2b20，(b2c20，(c2a20 ，且這三個(gè)不等式中等號(hào)不可能同時(shí)成立(若同時(shí)成立等號(hào)，則必有abc0，所以(a2b2(b2

14、c2(c2a20，所以原不等式成立21.(1證明：在圖中，因?yàn)锳BBCADa，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以BEAC，即在圖中，BEA1O，BEOC，從而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2解：由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱錐A1­BCDE的高由圖知，A1OABa，平行四邊形BCDE的面積SBC·ABa2.從而四棱錐A1­BCDE的體積V×S·A1Oa2·aa3.由a336，得a6.22.證明：法一(直接證明由an1f(an得an1，所以11，所以an10或an11；(1若an10，則an102，所以結(jié)論“當(dāng)n2時(shí)，恒有an2”成立；(2若