利用空間向量解決立體幾何的向量方法

1、利用向量解決空間角問(wèn)龜要要題 重主問(wèn) 類課角 一節(jié)間 的本空 何。決 幾一解 體之法 立點(diǎn)辦 是熱的 離的量 距考向 與高用 角是樣 間也么求販論 問(wèn)討 的是1若a = （ava2,a 5 =（勺厶，伏），則：數(shù)量積：a-b =a-b I - cos =a”、+ a2b2 + a3b3夾角公式:cos爲(wèi)坊=了扁 如+叢+也aAb Joj +a22 +3pj +b22 +b322 若4（兀1,知）,3（兀22憶2），則:AB = （x2-xl9y2-yl9z2-z1）g題型一：線線角異面直線所成角的范圍:O麗，殛與&的關(guān)系?與&的關(guān)系?結(jié)論：COS0 = Icos |題型一：線線角例一：R們AB

2、C中,乙804 = 90。,現(xiàn)將WC沿著 平面ABC的法向量平移到AA1B1C1位置，已知 BC = CA = CCP取妨、AG的中點(diǎn)卩、片, 求Bq與AF所成的角的余弦值.C廠題型一：線線角所以:解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz 如圖所示，設(shè)CG二1則：A(1,O,O),B(O,1,O),Ft(,1)2 2 2 -1CBy5畫*冊(cè)=3 1054耳-(-,0,1),所以30與AF所成角的余弦值為勢(shì)直線與平面所成角的范圍：g0,-O0O n,BA與&的關(guān)系?結(jié)論：sin 0 I cos P2a/5T題型二：線面角例二:在長(zhǎng)方體ABCD-A/CQ 中，AB二5, AD = 8,A

3、=4, M為EC】上的一點(diǎn)，且BM = 2,點(diǎn)N在線段上, 丄 AN. (1)求證：AQ 丄 AM.(2)求AD與平面ANM所成的角.A(0,0,0), (0,0,4), 0(0,8,0), 而二(0,8,0), 麗=(0,&-4), 2/5cos -二一練習(xí)1：正方體ABCD-AXBXCXDX的棱長(zhǎng)為1. 求QG與面4QC所成的角.題型三：二面角二面角的范圍： 3 E 0,71COs0 = lcOSM21cos&= lcos 2任取兀2 =(121).cos =I nx II n21=T即所求二面角得余弦值是孚練習(xí)2:如圖，PA丄平面ABC, ACBC, PA二AC=,BC二血,求二面角A-

4、PB-C的余弦值.XBEJ練習(xí)2：如圖,E4丄平面ABC, AC丄BC=2，求二面角A-PB-C的余弦值.分析：若用幾何法本題不太好處 理,注意到適當(dāng)建立空間直角坐 標(biāo)系后各點(diǎn)坐標(biāo)容易處理，可考 慮嘗試用向量法處理，從而把問(wèn) 題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問(wèn)題.m AP = 0m AB = 0，令 x=l,則m =(1,-5/2,0),nCB = Qn-CP = O(x；y,z(o,-i,i)=ocos (帀血=mn.如圖,丄平面 ABCt AC丄BC, PA=AC=BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.解:建立坐標(biāo)系如圖，則A(0,0,0),B(V2,l,0),C(0,1,0),p(0,0,1), AA

5、?=(0, 0, 1), AB = (aJ2,1,0), CB = (/2,0,)fcP = (0,1,1), 設(shè)平面PAB的法向量為萬(wàn)#,y,z),則y = -y/2xZ = 0 | (x,j,z) (0,0,l) = 0(x, J,z) (a/2,1,0) = 0設(shè)平面PBC的法向量為$ = 3y,z),則回(0,0) = 0.5令3),u , ,VZ面角為銳角.二面角A-PBP的余弦值為一廠 ihn 33小偌:1 異面直線所成角：cos 6 =|cos 2直線與平面所成角： sin 6 = |cos|3二面角：cos6 = lcosl cos =一 I cos l 觀察二而命的范園當(dāng)解空間圖形問(wèn)題幾何法難進(jìn)行時(shí)，可以嘗試運(yùn)用空間向量（或坐標(biāo)）來(lái)處理（三步曲）（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量 表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題（還常建立坐標(biāo)系來(lái)輔助）;（化為向量問(wèn)題或向量的坐標(biāo)問(wèn)題）（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離