用放縮法證明不等式的方法與技巧(共29頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上用放縮法證明不等式的方法與技巧一常用公式1 23( 4()5（待學(xué)） 6 （待學(xué)）二放縮技巧所謂放縮的技巧：即欲證，欲尋找一個（或多個）中間變量，使，由到叫做“放”，由到叫做“縮”.常用的放縮技巧（1）若（2） ，（3）（4）（5）若，則（6）（7）（因為）（7） 或（8）等等。三常見題型（一）先求和再放縮: 1設(shè)，求證：2設(shè)（），數(shù)列的前項和為，求證：（二）先放縮再求和:3證明不等式：4設(shè)（1）求證：當(dāng)時，；（2）試探究：當(dāng)時，是否有？說明理由.5設(shè)，求證：（1） （2）6設(shè)， 求證（1） （2）7 設(shè)， 求證: 8 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以

2、近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖. 其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第個圖的蜂巢總數(shù).（1）試給出的值，并求的表達(dá)式（不要求證明）；（2）證明：.9（10廣州）設(shè)為數(shù)列的前項和，對任意的N，都有為常數(shù)，且（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足 ，N，求數(shù)列的通項公式；（3）在滿足（2）的條件下，求證：數(shù)列的前項和10（010深圳）在單調(diào)遞增數(shù)列中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，（1）分別計算，和，的值；（2）求數(shù)列的通項公式（將用表示）；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：，2證： .3證明：2 4解：（1）當(dāng)時， 又當(dāng)

3、時，.（2） 當(dāng)時,要只需 即需，顯然這在時成立 而,當(dāng)時 顯然 即當(dāng)時也成立綜上所述：當(dāng)時，有. 5證法一： .10分證法二：，下同證法一. 10分證法三：（利用對偶式）設(shè)，則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即 10分證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時, ,命題成立; 假設(shè)時,命題成立,即, 則當(dāng)時, 即即故當(dāng)時，命題成立.綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式成立. 10分 由于，所以，從而.也即14分6 證明：（法一） 12分 （法二）（1）當(dāng)，顯然成立 5分 （2）假設(shè)時， 7分即當(dāng)時，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分6 證明：（法一） 12分 （法二）（1）當(dāng)，顯然成立 5

4、分 （2）假設(shè)時， 7分即當(dāng)時，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分7證明: 當(dāng)時， 當(dāng)時. 故 綜上，原不等式成立 8解： 由于因此，當(dāng)時，有所以.又，所以. （注：直接給出結(jié)果也給分）當(dāng)時，. 所以. 9（1）證明：當(dāng)時，解得 當(dāng)時， 即為常數(shù)，且， 數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列 （2）解：由（1）得， ， ，即 是首項為，公差為1的等差數(shù)列 ，即（N）（3）證明：由（2）知，則所以 ， 當(dāng)時， 所以 10解：（1）由已知，得，. （2）（證法1），；，.猜想,， 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明之當(dāng)時，猜想成立；假設(shè)時，猜想成立，即,，那么,.時，猜想也成立由，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對

5、任意的，猜想成立 當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，即數(shù)列的通項公式為 （注：通項公式也可以寫成）（證法2）令，則，從而（常數(shù)），又，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，解之，得，即， ，從而（余同法1）（注：本小題解法中，也可以令，或令，余下解法與法2類似）（3）（法1）由（2），得顯然，； 當(dāng)為偶數(shù)時，； 當(dāng)為奇數(shù)（）時，.綜上所述， （解法2）由（2），得以下用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，；當(dāng)時，時，不等式成立假設(shè)時，不等式成立，即，那么，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時， 時，不等式也成立由，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對任意的，不等式成立14例1已知數(shù)列a滿足：a=1且.（1） 求數(shù)列a的通項公式；（2） 設(shè)mN，mn

6、2，證明（a+）（m-n+1） 分析：這是06年河北省高中數(shù)學(xué)競賽的一道解答題（1）大家都知道數(shù)列的遞推公式往往比通項公式還重要.這就引導(dǎo)我們要重視數(shù)列的遞推公式由已知有a=,學(xué)生對形如, A，B是常數(shù)）形式的一次線性遞推關(guān)系的數(shù)列通過構(gòu)造新數(shù)列求通項公式的方法已不陌生，本題中的遞推關(guān)系顯然不是此類型.那么我們能否也可通過待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列呢?不妨設(shè)即與比較系數(shù)得c=1.即又,故是首項為公比為的等比數(shù)列，故(2) 這一問是數(shù)列、二項式定理及不等式證明的綜合問題.綜合性較強(qiáng).即證，當(dāng)m=n時顯然成立。易驗證當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時，等號成立。設(shè)下面先研究其單調(diào)性。當(dāng)>n時，即數(shù)列是遞減數(shù)列.

7、因為n2，故只須證即證。事實上，故上不等式成立。綜上，原不等式成立。無獨(dú)有偶，在不到1個月的06年全國一卷高考題22中恰出現(xiàn)了本例中構(gòu)造數(shù)列求通項公式的模型。有興趣的同學(xué)可找做一做。例2設(shè)數(shù)列滿足（1） 求的通項公式；（2） 若求證：數(shù)列的前n項和分析：（1）此時我們不妨設(shè)即與已知條件式比較系數(shù)得又是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。.（3） 由（1）知. 當(dāng)時,當(dāng)n=1時，=1也適合上式，所以，故方法一：，(這步難度較大,也較關(guān)鍵,后一式縮至常數(shù)不易想到.必須要有執(zhí)果索因的分析才可推測出.) .方法二 :在數(shù)列中,簡單嘗試的方法也相當(dāng)重要.很多學(xué)生做此題時想用裂項相消法但是發(fā)現(xiàn)此種處理達(dá)不到目的

8、.但是當(dāng)n3時,我們看:易驗證當(dāng)n=1，2時 . 綜上下面我們再舉一個數(shù)列中利用放縮法證明不等式的問題.例3已知正項數(shù)列滿足（1） 判斷數(shù)列的單調(diào)性；（2） 求證：分析：（1），即 故數(shù)列為遞增數(shù)列.(2) 不妨先證再證：原解答中放縮技巧太強(qiáng)，下面給出另一種證法.當(dāng)時，.易驗證當(dāng)n=1時,上式也成立.綜上,故有成立.例 4 已知  ,求證： 分析 由可想到二項式系數(shù)的和為，由可想到二項式定理，利用放縮法把轉(zhuǎn)化成構(gòu)造出二項式定理公式，從而得出結(jié)論。證明   設(shè)且。對任意，有  將上述各式疊加：例 5 求證：  分析 

9、 左式是n個因式連乘的形式，應(yīng)把各因式化為分式，通過放縮，使之能交替消項，達(dá)到化簡的目的。由于右式是，因此所放縮后的因式應(yīng)與有關(guān)。 證明     例 6    分析  左式很難求和，可將右式拆成n項相加的形式，然后證明右式各項分別大于左式各項，疊加得出結(jié)論。 證明     高考專題放縮法一先求和后放縮例1正數(shù)數(shù)列的前項的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項的和為，求證：解：（1）由已知得，時，作差得：，所以，又因為為正數(shù)數(shù)列，所以，即

10、是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析數(shù)列的通項公式如果此數(shù)列的前項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列滿足條件）求和或者利用分組、裂項、倒序相加等方法來求和二先放縮再求和1放縮后成等差數(shù)列，再求和例2已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1) 求證：；(2) 求證：解：（1）在條件中，令，得， ，又由條件有，上述兩式相減，注意到得 所以， ， 所以（2）因為，所以，所以；2放縮后成等比數(shù)列，再求和例3（1）設(shè)a，nN*，a2，證明：；（2）等比數(shù)列an中，前n項的和為

11、An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列設(shè)，數(shù)列bn前n項的和為Bn，證明：Bn解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，ana，于是， 當(dāng)n為偶數(shù)時，a11，且ana2，于是 （2），公比 3放縮后為差比數(shù)列，再求和例4已知數(shù)列滿足：，求證：證明：因為，所以與同號，又因為，所以，即，即所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得4放縮后為裂項相消，再求和例5在m（m2）個不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1ijm時PiPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)（

12、1）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；（2）令，證明，n=1,2,.解（1）由已知得，.（2）因為，所以.又因為，所以 =. 綜上，.注：常用放縮的結(jié)論：（1）（2）練習(xí)1已知數(shù)列a滿足：a=1且.（1） 求數(shù)列a的通項公式；（2） 設(shè)mN，mn2，證明（a+）（m-n+1） 分析：這是06年河北省高中數(shù)學(xué)競賽的一道解答題（1）大家都知道數(shù)列的遞推公式往往比通項公式還重要.這就引導(dǎo)我們要重視數(shù)列的遞推公式由已知有a=,學(xué)生對形如, A，B是常數(shù)）形式的一次線性遞推關(guān)系的數(shù)列通過構(gòu)造新數(shù)列求通項公式的方法已不陌生，本題中的遞推關(guān)系顯然不是此類型.那么我們能否也可通過待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列呢?不妨設(shè)

13、即與比較系數(shù)得c=1.即又,故是首項為公比為的等比數(shù)列，故(2) 這一問是數(shù)列、二項式定理及不等式證明的綜合問題.綜合性較強(qiáng).即證，當(dāng)m=n時顯然成立。易驗證當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時，等號成立。設(shè)下面先研究其單調(diào)性。當(dāng)>n時，即數(shù)列是遞減數(shù)列.因為n2，故只須證即證。事實上，故上不等式成立。綜上，原不等式成立。2設(shè)數(shù)列滿足（1） 求的通項公式；（2） 若求證：數(shù)列的前n項和分析：（1）此時我們不妨設(shè)即與已知條件式比較系數(shù)得又是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。.（3） 由（1）知. 當(dāng)時,當(dāng)n=1時，=1也適合上式，所以，故方法一：，(這步難度較大,也較關(guān)鍵,后一式縮至常數(shù)不易想到.必須要有執(zhí)果

14、索因的分析才可推測出.) .方法二 :在數(shù)列中,簡單嘗試的方法也相當(dāng)重要.很多學(xué)生做此題時想用裂項相消法但是發(fā)現(xiàn)此種處理達(dá)不到目的.但是當(dāng)n3時,我們看:易驗證當(dāng)n=1，2時 . 綜上下面我們再舉一個數(shù)列中利用放縮法證明不等式的問題.3已知正項數(shù)列滿足（1） 判斷數(shù)列的單調(diào)性；（2） 求證：分析：（1），即 故數(shù)列為遞增數(shù)列.(2) 不妨先證再證：原解答中放縮技巧太強(qiáng)，下面給出另一種證法.當(dāng)時，.易驗證當(dāng)n=1時,上式也成立.綜上,故有成立.4求證：證明：此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好

15、處。5已知求證：證明：6 已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn=2an +(-1)n,n1（）寫出求數(shù)列an的前3項a1,a2,a3；（）求數(shù)列an的通項公式；（）證明：對任意的整數(shù)m>4，有.解；數(shù)列的通項公式為：.由已知得：.故( m>4).用放縮法證明不等式一. “添舍”放縮通過對不等式的一邊進(jìn)行添項或減項以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。例1. 設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3b3a2b2，求證。證明：由題設(shè)得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2.

16、 已知a、b、c不全為零，求證：證明：因為，同理，。所以二. 分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。例3. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+ca，則為真分?jǐn)?shù)，則，同理，故.綜合得。三. 裂項放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。 例4. 已知nN*，求。證明：因為，則，證畢。例5. 已知且，求證：對所有正整數(shù)n都成立。證明：因為，所以，又，所以，綜合知結(jié)論成立。四. 公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。例6. 已知函數(shù)，證明：對于且都有。證明：由題意知又因為且，所以只須證，又因為所以。例7. 已知，求證：當(dāng)時。證明：證畢。五.