基于粒子群算法的數(shù)值積分方法研究

1、26卷第7期2009年7月微電子學(xué)與計(jì)算機(jī)MICROELECTRONICS&COMPUTERVol.26No.7July2009基于粒子群算法的數(shù)值積分方法研究韋杏瓊,周永權(quán)(廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,廣西南寧530006)摘要:提出了一種基于粒子群算法的不等距節(jié)點(diǎn)數(shù)值積分方法.該方法初始時(shí)在積分區(qū)間內(nèi)任意選取一定的節(jié)點(diǎn),通過粒子群算法優(yōu)化這些節(jié)點(diǎn),最后得出比較精確的積分結(jié)果.本算法計(jì)算精度高,對(duì)被積函數(shù)要求低.數(shù)值積分算例驗(yàn)證了本算法的有效性和正確性,因此在工程實(shí)際中具有一定的參考和應(yīng)用價(jià)值.關(guān)鍵詞:粒子群算法;不等距節(jié)點(diǎn);優(yōu)化;數(shù)值積分中圖分類號(hào):TP31文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1

2、000-7180(2009)07-0117-03NumericalIntegralMethodResearchBasedonPSOWEIXing-qiong,ZHOUYong-quan(CollegeofMathematicsandComputerScience,GuangxiUniversityforNationalities,Nanning530006,China)Abstract:AnapproachforsolvingnumericalintegralmethodbasedonParticleSwarmOptimization(PSO)waspresent-ed.PSOisusedto

3、optimizethenodepointsontheintegralrangeinordertogetamorepreciseresult.Thisalgorithmislowdemandofintegrandandhasahighprecision.Simulationexamplesofintegralvalidatethealgorithm.Theresultsshowthepresentednumericalintegralalgorithmhasvalueinengineeringpractice.Keywords:PSOalgorithm;unequalnodepoints;opt

4、imization;numericalintegral1引言在工程實(shí)踐和科學(xué)計(jì)算中,常常需要求出函數(shù)的積分,比如調(diào)節(jié)就涉及積分計(jì)算.數(shù)值積分的計(jì)算方法很多、如矩形法、梯形法、Simpson方法、Newton方法(八分之三法)、Remberg方法、Gauss方法等1-2.這些方法是在選好的等距節(jié)點(diǎn)的基礎(chǔ)上繼續(xù)等距分割,求積公式并不能根據(jù)被積函數(shù)的形狀來劃分,要想得到較高的精度必須要更多的節(jié)點(diǎn).最理想的方法就是根據(jù)被積函數(shù)的形狀來決定分割點(diǎn),函數(shù)值變化較大的區(qū)間分割成較多且較小的子區(qū)間,而函數(shù)值變化不明顯的部分則分割成較少且較大的子區(qū)間,這樣分割求和所得到的被積函數(shù)的積分比傳統(tǒng)的數(shù)值積分精度要高.

5、文中提出一種基于粒子群算法的不等距節(jié)點(diǎn)數(shù)值積分方法,該方法初始時(shí)在積分區(qū)間內(nèi)任意選取收稿日期:2008-08-28一定的節(jié)點(diǎn),通過粒子群算法優(yōu)化這些節(jié)點(diǎn),最后得出比較精確的積分結(jié)果.該算法的特點(diǎn)對(duì)被積函數(shù)要求無任何限制,該方法除了能計(jì)算通常的定積分外,還能計(jì)算奇異積分和振蕩積分.通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文提出方法的有效性、正確性.2基本粒子群優(yōu)化算法原理假設(shè)在一個(gè)D維的目標(biāo)搜索空間中,有N個(gè)粒子組成一個(gè)群落,其中第i個(gè)粒子的位置表示為一個(gè)D維的向量Xi=(xi1,xi2,xid);第i個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置為Pi(pi1,pi2,pid);整個(gè)粒子群迄今為止搜索到的最好位置記為Pg=(pg1,p

6、g2,pgd);第i個(gè)粒子的“飛翔”速度也是一個(gè)D維向量Vi=(vi1,vi2,vid),決定粒子在搜索空間單位迭代次數(shù)的位移.PSO是一種基于迭代的工具.粒子按如下式(1)和式(2)來調(diào)整自己的位置:基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60461001);廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(0542048,0832082)118微電子學(xué)與計(jì)算機(jī)2009年vid(t+1)=wvid(t)+c1r1(pid(t)-xid(t)+c2r2(pgd(t)-xid(t)vid=vmax,vidvmaxvid=-vmax,vid-vmaxxid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)(2)式中,1iN,1dD,t為迭代

7、次數(shù),(t0).加速常數(shù)c1和c2是非負(fù)數(shù);r1和r2是(0,1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù).粒子在解空間內(nèi)不斷跟蹤個(gè)體極值與全局極值進(jìn)行搜索,直到達(dá)到規(guī)定的迭代次數(shù)或滿足規(guī)定的誤差標(biāo)準(zhǔn)為止.粒子在每一維飛行的速度不能超過算法所規(guī)定的最大速度vmax.vmax較大時(shí),粒子的飛行速度大,有利于全局搜索,但有可能飛過最優(yōu)解;較小時(shí),粒子的局部搜索能力加強(qiáng).(1)適應(yīng)度越趨近于0,表明該個(gè)體越優(yōu)良.終止條件設(shè)定為選擇一個(gè)很接近0的值,當(dāng)最小適應(yīng)度小于時(shí)程序運(yùn)行終止.(4)如果滿足條件,終止,選出最優(yōu)解.否則,繼續(xù)往下進(jìn)行.(5)根據(jù)粒子群算法,按照下述操作更新群體.對(duì)于第i個(gè)粒子,其速度和位置分別按照下面的式子更

8、新:vidk+1=wvkpidk-xidk)+ik+c1r1(c2r2(pgdk-xidk);+1+1xkid=xkid+vkid.其中,d=1,2,D+1,加速常數(shù)c1和c2是非負(fù)常數(shù);慣性權(quán)重為0.4和0.9之間的常數(shù).計(jì)算新個(gè)體適應(yīng)度.(6)反復(fù)執(zhí)行(5),直到達(dá)到終止條件,選擇最佳個(gè)體作為結(jié)果.(7)算法結(jié)束時(shí),所求積分值就近似等于:D+13粒子群求積分算法(1)確定個(gè)體的表達(dá)方式:表達(dá)式中個(gè)體由粒子位置X和粒子速度V兩部分組成,每部分有個(gè)D分量,即(X,V)=(x1,x2,xd),(v1,v2,vd)式中,D為積分區(qū)間內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù);(x1,x2,xd)積分區(qū)間內(nèi)的節(jié)點(diǎn);(v1,v2,v

9、d)各個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度,用來調(diào)整各個(gè)節(jié)點(diǎn)的變化.(2)在搜索空間內(nèi)隨機(jī)生成初始群體:粒子群中初始群體由N個(gè)個(gè)體組成,每個(gè)個(gè)體(X,V)內(nèi)包含xi個(gè)xi、vi分量.(3)計(jì)算適應(yīng)度:將隨機(jī)產(chǎn)生的每一個(gè)個(gè)體分別置于積分區(qū)間的左端點(diǎn)和右端點(diǎn)之間,各自按照升序排列.這樣,對(duì)應(yīng)每個(gè)個(gè)體積分區(qū)間總共有個(gè)D+2節(jié)點(diǎn)和D+1個(gè)小段,分別計(jì)算這D+2個(gè)節(jié)點(diǎn)相鄰節(jié)點(diǎn)之間的距離dj,j=1,2,D+1,再計(jì)算出這D+2個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值和D+1個(gè)小段中間節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值.對(duì)比每小段左端點(diǎn),中間節(jié)點(diǎn)和右端點(diǎn)函數(shù)值,函數(shù)值最小的記為wj,最大的記為Wj,j=1,2,D+1,該個(gè)體的適應(yīng)度定義為f(i)=2f(x)精確值粒子

10、群法梯形法Simpson方法d+1j=1mjdjj=1(4)式中,(m1,m2,mD+1)由積分區(qū)間的左端點(diǎn)、最優(yōu)個(gè)體和右端點(diǎn)劃分成的D+1個(gè)小段的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值;(d1,d2,dD+1)由積分區(qū)間的左端點(diǎn),最優(yōu)個(gè)體和右端點(diǎn)劃分成的D+1個(gè)小段對(duì)應(yīng)的距離.4數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)文中選取了參考文獻(xiàn)3-7中給出的一些實(shí)例計(jì)算,與傳統(tǒng)的矩形法、梯形法、simpson方法、Compositesimpson方法和Romberg方法進(jìn)行了比較.本實(shí)驗(yàn)用Matlab6.5編寫的仿真程序,其中算法的參數(shù)設(shè)計(jì)如下:加速常數(shù)c1和c2取1.2,粒子慣性權(quán)重w取0.5.例1:在文獻(xiàn)3中,用了梯形法和Simpson方法在

11、0,2積分區(qū)間分別計(jì)算x2,x4,1+x,1/(1+x),sinx,ex六個(gè)函數(shù)的積分.在本文用粒子群算法求積分的方法中,取N=15,D=60,表1列出了文獻(xiàn)3中的結(jié)果和本文算法的結(jié)果.dj|Wjx22.6672.6664.0002.667-wj|(3)表1幾種數(shù)值積分方法對(duì)應(yīng)各函數(shù)的計(jì)算結(jié)果x46.4006.39816.0006.6671+x2.9582.95783.3262.9641/(1+x)1.0991.09851.3331.111sin(x)1.4161.4160.9091.425ex6.3896.38878.3896.421e-x0.7468240.7465660.74620.74

12、683第7期韋杏瓊,等:基于粒子群算法的數(shù)值積分方法研究(11):1942-1948.1195結(jié)束語文中提出了一種基于粒子群算法求解數(shù)值積分的方法8,通過典型的數(shù)值積分算例,計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)表明該方法具有計(jì)算精度較高且自適應(yīng)性強(qiáng),對(duì)被積函數(shù)要求低等特點(diǎn),不但可以計(jì)算原函數(shù)不易求得的被積函數(shù)的積分,還可以計(jì)算奇異積分和振蕩積分.在工程實(shí)際中有一定的應(yīng)用價(jià)值.改進(jìn)粒子群算法提高此方法收斂速度和計(jì)算精度是今后的主要研究工作.參考文獻(xiàn):1薛密.數(shù)值數(shù)學(xué)和計(jì)算M.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1991.2劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義M.北京:高等教育出版社,1992.3KennedyJ,EberhartRC.Pa

13、rticleswarmoptimizationJ.InstituteofElectricalandElectronicsEngineers,19954EberhartRC,KennedyJ.AnewoptimizerusingparticleswarmtheoryJ.InstituteofElectricalandElectronicsEn-gineers,1995(10):39-43.5楊勛,王江晴.求解聚類問題的混合PSO算法設(shè)計(jì)J.微電子學(xué)與計(jì)算機(jī),2007,24(10):43-45.6王小華,何怡剛,曾昭.三角基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法在數(shù)值積分中的應(yīng)用研究J.電子與信息學(xué)報(bào),2004,26(

14、3):394-399.7FabriceRouillier,PaulZimmermann.EfficientisolationofpolynomialsrealrootsJ.JournalofComputationalandAppliedMathematics,2004(162):33-50.8高尚,孫玲芳.求最平坦的三次樣條插值的粒子群優(yōu)化算法J.微電子學(xué)與計(jì)算機(jī),2007,24(6):201-203.作者簡(jiǎn)介:韋杏瓊女,(1983-),碩士.研究方向?yàn)橛?jì)算智能及其應(yīng)用.周永權(quán)男,(1962-),博士,教授.研究方向?yàn)橛?jì)算智能、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及應(yīng)用.(上接第116頁)制機(jī)制,對(duì)其中關(guān)鍵模塊PWM比較

15、器進(jìn)行了改進(jìn).通過引入兩路電流反饋,使其遲滯具有動(dòng)態(tài)的特點(diǎn).在同等分辨率下,抗噪聲能力遠(yuǎn)好于傳統(tǒng)遲滯固定的比較器,從而確保輸出信號(hào)在接近或處于100%占空比狀態(tài)下,比較器能夠穩(wěn)定工作.參考文獻(xiàn):1EricHaber.DesigningwithclassDamplifierICsJ.Elec-tronicEngineering&ProductWorld,2006(20):16-17.2ChoiSoochang,LeeJunwoo,JinWookang,etal.Adesignofa10-Wsingle-chipclassDaudioamplifierwithveryhighefficiencyu

16、singCMOStechnologyJ.IEEETransac-tionsonConsumerElectronics,1999(45):465-473.3周小爽,何樂年.基于-調(diào)制的閉環(huán)D類放大器的系統(tǒng)分析J.微電子學(xué)與計(jì)算機(jī),2006,23(5):124-127.4LiSimonCimin,VincentChiaChangLin.Newhigh-effi-ciency2.5V/0.45WRWDMclass-DaudioamplifierforportableconsumerelectronicsJ.IEEETransactionsonCircuitsandSystems,2005(52):1767-1774.5徐景,莫亭亭,方樂章,等.用于D類放大器的調(diào)制器系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)J.微電子學(xué)與計(jì)算機(jī),2008,25(11):164-167.6劉簾曦,朱樟明,楊銀堂,等.基于0.18mBCD工藝的20W2集成D類音頻功放設(shè)計(jì)J.半導(dǎo)體學(xué)報(bào),2008(29):988-992.7SalahddineKrit,HafidAmrani,HassanQjidaa,etal.ClassDaudioamplifierdesigntheoryanddesignimplemen-tationforportableapplicationsC/ComputationalIntelli-ge