分法與線性方程組求解全主元線性方程的直接解法試驗報告

1、數(shù)值分析實驗報告二分法與線性方程組求解班級：11級計本二班組號:組長:第一組狄永鋒組員：聶嘉俊范中義許君晉王浩陳廣清時間：2014年6月13日實驗報告題目：非線性方程求解摘要：非線性方程的解析解通常很難給出，因此線性方程的數(shù)值解法就尤為重要。本實驗 采用最常見的求解方法二分法。算法說明：對于二分法，其數(shù)學實質(zhì)就是說對于給定的待求解的方程f(x)，其在a,b上連續(xù)，f(a)f(b)<0，且f(x)在a,b內(nèi)僅有一個實根x*，取區(qū)間中點d，若，則d恰為其根，否則根 據(jù)f(a)f(d)<0是否成立判斷根在區(qū)間a,d和c,b中的哪一個，從而得出新區(qū)間，仍稱為 a,b。重復運行計算，直至滿足

2、精度為止。這就是二分法的計算思想。程序設計：#i nclude <stdio.h>#in elude <math.h>void fun (double x1,double x2,double(*f)(double)double x;int k=0;while(f(x1)*f(x2)>0)printf("請重新輸入：n");scan f("%f,%f", &x1, &x2);while(fabs(f(x)>5e-6)x=(x2+x1)/2;if(f(x)*f(x1)<0)x2=x;elsex1=x;

3、k+;prin tf("%15.14fn",x);prin tf("%15.14fn",f(x);prin tf("%dn",k);/例一double t(double x)return (12-3*x+2*cos (x);/*/ 例二：double t(double x)return sin( x)-x*x/3;/例三double t(double x)return (x*x*x-x-1);/例四double t(double x)return (x*x-x-1);/例五double t(double x)return x*x-3*

4、x -11;*/int mai n() double x1,x2;prin tf("e nter x1,x2:");scan f("%lf,%lf", &x1, &x2);fun (x1,x2,t);return 0;實例分析和討論：1.用二分法計算方程 12-3*x+2*cos (x)=0在2 , 4內(nèi)的根。(；=0.0001,下同) 運行結(jié)果為：en ter x1,x2:2,43.34740447998047-0.0000042413694118計算結(jié)果為x= 3.34740447998047;f(x)= -0.00000424136

5、941；k=18;迭代次數(shù)為：17由f(x)知結(jié)果滿足要求。2xsinx =02.用二分法計算方程3 在1，3內(nèi)的根。運行結(jié)果為：en ter x1,x2:1,31.722122192382810.0000037921943817實際意義為：x= 1.72212219238281 ；f(x)=0.00000379219438 ；k=17；由f(x)知結(jié)果滿足要求。3.用二分法計算方程x3-x-1=0在1 ,1.5內(nèi)的根。 運行結(jié)果為：en ter x1,x2:1,1.51.324718475341800.0000022094948517計算結(jié)果為x=1.32471847534180；f(x)=

6、 0.00000220949485 ；k=17 ；由f(x)知結(jié)果滿足要求4.用二分法計算方程x*x-x-1=0在1 , 2內(nèi)的根。 運行結(jié)果為：en ter x1,x2:1,21.618034362792970.0000008363858817計算結(jié)果為x= 1.61803436279297；f(x)= 0.00000083638588 ； k=17 ；由f(x)知結(jié)果滿足要求。5.用二分法計算方程x2 3x-10在0,3內(nèi)的根 運行結(jié)果為：en ter x1,x2:0,32.140044179595950.0000017105032821 實際意義為：x=2.14004417959595

7、； f(x)=0.00000171050328 ； k=21;由f(x)知結(jié)果滿足要求。結(jié)論：當時收斂的速度和對于二分法，只要能夠保證在給定的區(qū)間內(nèi)有根，使能夠收斂的,給定的區(qū)間有關，二且總體上來說速度比較慢。5 / 16實驗報告二題目：全主元線性方程的直接解法摘要：求解線性方程組的方法很多，主要分為直接法和間接法。本實驗運用直接法的Guass 消去法，并采用選主元的方法對方程組進行求解。算法說明：本次試驗是n階線性代數(shù)方程組 Ax=b，其中A=(aij)是方程組的系數(shù)aij構(gòu)成的nx n 階矩陣，叫做系數(shù)矩陣。B= (ai (n+1), x為所求的解。主元素消去法是為控制舍入誤 差而提出來的

8、一種算法，在Gauss消去法的消元過程中，若出現(xiàn)akk(k)=O,則消元無法進行，即使akk(k)工0,但很小，把它作為除數(shù)，就會導致其他元素量級的巨大增長和舍入 誤差的擴散，最后使計算結(jié)果不可靠，而全主元消去法正式解決這種問題的算法。抑制舍入誤差的增長，通常有兩個途徑，一是增加參加計算的數(shù)字位數(shù)，從而使最后結(jié)果中積累起來的誤差隨之減小。但這樣做會使計算的時間增加，我們這里要講的是另一種途徑，在做除法運算時，分母的絕對值越小，舍入誤差影響就越大，因此在做除法運算時，要選取 絕對值比較大的做分母，這就是主元素消去法的基本思想。程序設計：#i nclude "stdio.h"#

9、in clude "math.h"struct Cxi nt n, m;double *x;i nt *p;templatevtype name T> void LtoL(T a,i nt n ,i nt m,i nt t,i nt s)T d;int k, i;for(i=0;i<m;i+)d=at*m+i;at*m+i=as*m+i;as*m+i=d;templatevtype name T> void CtoC(T a,i nt n ,i nt m,i nt t,i nt s)T d;int k, i;for(i=O;i< n;i+)d=ai*

10、m+t;ai*m+t=ai*m+s;ai*m+s=d;void swap RC(double a,double b,i nt b1,i nt n,i nt k,i nt t,i nt s)LtoL(a, n,n ,k,t);LtoL(b, n,1,k,t);CtoC(a, n,n ,k,s);LtoL<i nt>(b1, n,1,k,s);/*int i;double d;for(i=0;i< n;i+)d=ak* n+i;ak* n+i=at* n+i;at* n+i=d; d=bk;bk=bt;bt=d;for(i=0;i< n;i+) d=ai* n+k;ai*

11、n+k=ai* n+s;ai* n+s=d;int d1;d仁 b1k;b1k=b1s;b1s=d1;*/voidmaxRC(double a,i nt n,i nt k,i nt &t,i nt &s)t=k;s=k;for(i nt i=k;i <n ;i+)for(i nt j=k;j <n ;j+)if(abs(at* n+s)<abs(ai* n+j)t=i;s=j;void Rns(double a,double b,int n,int i)/ 消元 i 列for(i nt j=i+1;j <n ;j+)double m=-aj* n+i/a

12、i* n+i;aj*n+i=0;for(i nt k=i+1;k< n;k+) aj* n+k=aj* n+k+ai* n+k*m; bj=bj+bi*m;void gsT(double a,double b,double y,i nt n ,i nt m)int i,j;ym-1=bm-1/a(m-1)* n+m-1;for(i=m-2;i>=0;i-)double s=0;for(j=i+1;j<m;j+)s+=ai* n+j*yj;yi=(bi-s)/ai* n+i;double* gsTm(double a,double b,i nt n ,i nt m)int i,

13、k;double *x=new double n*(n-m+1),*b仁 new doublem,*y=new doublem;for(i=m;i< n*( n-m+1);i+) xi=0;gsT(a,b,y, n, m);for(k=0;k<m;k+)xk*( n-m+1)=yk;for(i=m;i< n;i+)xi*( n-m+1)+i-m+1=1;for(k=0;k<m;k+) b1k=-ak* n+i;gsT(a,b1,y, n,m);for(k=0;k<m;k+) xk*( n-m+1)+i-m+1=yk;delete y;delete b1;retur

14、n x;void PtoP(double x,i nt p,i nt n,i nt m)int i,j;for(i=0;i< n;i+)if(pi!=i)LtoL<double>(x, n, m,i,pi);LtoLvi nt>(p ,n ,1,i,pi);Cx gaAII(double a,double b ,int n) 解 Ax=b,n 元 double *x=NULL;int *p=new in t n;i nt m=n ,i,j,t,s;Cx cx= n,n-m+1,NULL,p;for(i=0;i< n;i+) pi=i;for(i=0;i< n

15、;i+)maxRC(a, n,i,t,s);/*if(at* n+s=0) m=i;for(j=m;j <n ;j+) if(bj!=0) return cx;break;else swapRC(a,b,p, n,i,t,s);Rn s(a,b, n,i);/ */cx.m=n-m+1;cx.x=gsTm(a,b, n,m);PtoP(cx.x,cx.p, n,n-m+1);return cx;void prin t(double a,double b,i nt n)int i,j;for(i=0;i< n;i+)for(j=0;j< n;j+) pri ntf("

16、%-15.6f",ai* n+j);prin tf("%-15.6fn",bi);prin tf("n");void prin tx(Cx ex)int i,j;if(cx.x=NULL) retur n;for(i=0;i<ex. n;i+)prin tf("%-3d:",cx.pi);for(j=0;j<cx.m;j+)prin tf("%15.6f",cx.xi*cx.m+j);prin tf("n");void test(double a,double b,Cx c

17、x)int i,j;for(i=0;i<cx. n;i+)double s=0;for(j=0;j<cx .n ;j+)s+=ai*cx. n+j*cx.xj*cx. n;prin tf("%f",bi-s);void copyAb(double a,double b,i nt n ,double a1,double b1)for(i nt i=0;i< n;i+)for(i nt j=0;j <n ;j+)a1i* n+j=ai* n+j;b1i=bi;void main()int i,j;double a=1, 1,1 ,2,2, 2, 2 ,4

18、,3, 3, 3, 6,1, 1, 1,2,b=1,2, 3, 1;9 / 16prin t(a,b,4);Cx cx=gaAII(a,b,4);prin t(a,b,4);prin tx(cx); getchar();實例分析和討論:例1、求解方程：葛:訂:氣;運行結(jié)果為：24.00000046.00000062.00000083.00000019.00000038.00000024.00000046.00000062.00000083.00000019.00000038.0000000 :-1.2500001 :2.000000計算結(jié)果為：X = -1.250000, x?=2.00000

19、0;驗證：數(shù)據(jù)代入原方程結(jié)果滿足要求運行結(jié)果為:3.000000-1.0000004.0000003.000000-1.0000004.0000000 :1 :2 :-1.0000002.000000-3.000000-1.0000002.000000-3.0000002.166667-0.5000000.0000004.000000-2.0000001.0000004.000000-2.0000001.0000007.000000-1.0000000.0000007.000000-1.0000000.000000_3-14x1/I例2、求解方程-1 2 -2x2J14 -3 1 一M3 一1

20、。J15 / 16計算結(jié)果為:Xi = 2.166667X2= -0.500000X3=0.000000驗證：數(shù)據(jù)代入原方程結(jié)果滿足要求-258 3 r-xjI468 9 3x4例3、求解方程：4315 2X36020 1 2X45-000 0 0'X5 一j0 一運行結(jié)果為：2.0000005.0000008.0000003.0000001.0000002.0000004.0000006.0000008.0000009.0000003.0000004.0000004.0000003.0000001.0000005.0000002.0000006.0000000.0000002.000

21、0000.0000001.0000002.0000005.0000000.0000000.0000000.0000000.0000001.0000000.0000002.0000005.0000008.0000003.0000001.0000002.0000004.0000006.0000008.0000009.0000003.0000004.0000004.0000003.0000001.0000005.0000002.0000006.0000000.0000002.0000000.0000001.0000002.0000005.0000000.0000000.0000000.0000000

22、.0000001.0000000.0000000 :23.2500001 :18.5000002 :-19.0000003 :5.0000004 :0.000000計算結(jié)果為：X1=23.250000，X2= 18.500000， x3=-19.000000 ， X4 =5.000000 ， x5= 0.000000驗證：數(shù)據(jù)代入原方程結(jié)果滿足要求1.0000001.0000001.0000002.0000001.0000002.0000002.0000004.0000003.0000002.0000003.0000006.0000001.0000001.0000003.0000002.000

23、0003.0000004.0000006.0000001.0000002.0000003.0000004.0000005.0000006.000000運行結(jié)果為:2.0000003.0000001.0000003.0000006.0000001 2 2-X1*4 33x221 1 1x3=34 63x414 56_-x5 一6 一1 12 2例4、求解方程3 623231.0000001.0000001.0000002.0000002.0000001.0000002.0000002.0000004.0000003.0000003.0000002.0000003.0000006.0000001.

24、0000001.0000001.0000003.0000002.0000003.0000004.0000006.0000003.0000001.0000002.0000003.0000004.0000005.0000006.0000006.0000000 :2.0000001 : -4.6666672 :2.3333333:-0.3333334 :1.000000計算結(jié)果為：X1 = 2.000000,X2 = -4.666667， X3 =2.333333， X4 =-0.333333， X5 =1.000000驗證：數(shù)據(jù)代入原方程結(jié)果滿足要求9 3 6 2 7 1 6 8 10jx1 -3

25、1 2 5 9 13 4 6 12 27 6x227 21 2591 3541x396 18 27631728x471 19 10 23 7 6 1 1 0 1x561 774278352x650393865351x77| 3 5 1 0 3 4 3 6 3 5x844489791321x9972 10 8167097_x1011 _例5、求解方程:其中£ =8。運行結(jié)果為:8.0000009.0000003.0000006.0000002.0000007.0000001.0000006.0000008.00000010.0000003.0000001.0000002.0000005

26、.0000009.00000013.0000004.0000006.00000012.00000027.0000006.0000002.0000007.00000021.0000002.0000005.0000009.0000001.0000003.0000005.0000004.0000001.0000009.0000006.00000018.0000002.0000007.0000006.0000003.0000001.0000007.0000002.0000008.0000007.0000001.00000019.00000010.00000023.0000007.0000006.000

27、0001.0000001.0000000.0000001.0000006.0000001.0000007.0000007.0000004.0000002.0000007.0000008.0000003.0000005.0000002.0000005.0000000.0000003.0000009.0000003.0000008.0000006.0000005.0000003.0000005.0000001.0000007.0000003.0000005.0000001.0000000.0000003.0000004.0000003.0000006.0000003.0000005.0000004

28、.0000004.0000004.0000008.0000009.0000007.0000009.0000001.0000003.0000002.0000001.0000009.0000007.0000002.00000010.0000008.0000001.0000006.0000007.0000000.0000009.0000007.0000001.0000008.0000009.0000003.0000006.0000002.0000007.0000001.0000006.0000008.00000010.0000003.0000001.0000002.0000005.0000009.00000013.0000004.0000006.00000012.00000027.0000006.0000002.0000007.00000021.0000002.0000005.0000009.0000001.0000003.0000005.0000004.0000001.0000009.0000006.00000018.0000002.0000007.0000006.0000003.0000001.0000007