圓錐曲線中的四心之歐陽(yáng)地創(chuàng)編

1、圓錐曲線中的“四心”時(shí)間：2021.03. 04創(chuàng)作：歐陽(yáng)地云南省會(huì)澤縣菊旺高級(jí)中學(xué)楊順式摘要：通過(guò)對(duì)三角形四心與圓錐曲線的有機(jī)結(jié)合，達(dá)到訓(xùn) 練學(xué)生的思維，提升學(xué)生的解題能力。同時(shí)起到培養(yǎng)學(xué)生 的說(shuō)思路、練本領(lǐng)、強(qiáng)素質(zhì)的作用.關(guān)鍵詞：思維流程內(nèi)心外心重心垂心解題能力正文：圓錐曲線是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，從近幾 年的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)又注重能力，既突出圓錐曲 線的本質(zhì)特征，又體現(xiàn)傳統(tǒng)內(nèi)容的橫向聯(lián)系和新增內(nèi)容的 縱向交匯，而三角形在圓錐曲線中更是如魚得水，面積、 弦長(zhǎng)、最值等成為研究的常規(guī)問(wèn)題?！八男摹弊哌M(jìn)圓錐曲 線，讓我們更是耳目一新。因此，在高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 中，通過(guò)讓學(xué)生研究三角形的

2、“四心”與圓錐曲線的結(jié)合 問(wèn)題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心, 從而戰(zhàn)勝高考.例1、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)4(一2,0)、B(2,0) >三點(diǎn).(I )求橢圓E的方程:(II )若點(diǎn)D為橢圓£上不同于A、的任意一點(diǎn)，F(xiàn)(-1,0),H(l,0),當(dāng) DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求 DFH內(nèi)心的坐標(biāo)；思維押程：得到加M的方程(| )由內(nèi)切圓面積最大 _> 轉(zhuǎn)化為DFH而積最大4川=t119 解得7 = _,舁=_ m + -n = 4 3、4由橢圓經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為=i橢圓E的方程蘭+ £ = 143(II ) I

3、F/7 1= 2 ,設(shè)邊上的高為 =-x2xh = h2當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，力最大為亦，所以孔”的最大 值為血.設(shè) DFH的內(nèi)切圓的半徑為/?,因?yàn)?DFH的周長(zhǎng)為定值6.所以，Sqfh 氣Rx6所以的最大值為或.所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為().£)點(diǎn)石成金：孔的內(nèi)切倜=-x的周kX乙的內(nèi)切倜例2、橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且af fb = 9 |of| = i.（I ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II ）記橢圓的上頂點(diǎn)為M ,直線/交橢圓于兩點(diǎn), 問(wèn)：是否存在直線/,使點(diǎn)F恰為AP0M的垂心？若存在， 求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程:（a + c）（d

4、-c） = l, c = （I ）由 AFFB = , |5f| = 1-| 由F為ATOM 的重【71?四縉PQ 丄 MF、MP 丄 FQk pqy = x mat2 +2y2 = 2解/兩根之和，；f 兩根之積-kMP F<2 = 0, -（丨）如圖建系【設(shè)橢圓另程為匚+二 a b得出關(guān)于m的方程=1（。> b > 0）,解出m又 V= 卩（a + cy（a-c） = l = a2-c2故橢圓方程為y+r = i（II ）假設(shè)存在直線/交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為AP0M的 垂心，則設(shè)P（西切）,0（兀,兒），* M（0,l）,F（l,0）,故 =1 ,于是設(shè)直線/為y

5、= x + m9由得X + 2y" = 2游豆=0 =西（花一1） +旳（必一1）又牙=兀+說(shuō)=1，2）得 X (x2 -1) + (x2 + 7)(X + in -1) = 0即2xx2 + (Xj + x2)(/?-Y) + m2 -m = 0由韋達(dá)定理得解得m =-或加=1 (舍)經(jīng)檢驗(yàn)m =-符合條件.點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然 后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零.例3、在橢圓c： r+zi=i中，仟、化分別為橢圓c的43-左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的且在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)， HPF'F?的重心為G,內(nèi)心為I .(I )求證：75 =幾斥可；(II )已知A

6、為橢圓C上的左頂點(diǎn)，直線/過(guò)右焦點(diǎn)竹與橢 圓C交于M,N兩點(diǎn),若AM, AN的斜率燈滿足冏+為=-丄,2求直線/的方程.思維流程:由已知得斥(70),坊(1,0)設(shè)P(如,兒)重心G(匹，衛(wèi)) 3亠 由人+匕=一丄，可知/的斜率一定存在且不為0,設(shè)為kI詞L怦聲m)y = k(x-l)x2 y2 _ 消去y v = 1 143得(3 + 4£2 -加x + 4R2 一12 =02k38k2x. + x, =r3 + "24Z:2 -12 X Y 33利斑+&=-*得k的方程解出R3 +4k2心JoTor屮丄1| 丁卜2| +閃巧|)“切冏1 2 2 s“時(shí)2=%內(nèi)切

7、圓=兒-內(nèi)心I的縱坐標(biāo)為¥/. IG/ fxf2即 7g = aff.(II )若直線/斜率不存在，顯然kl+k2=o不合題意； 則直線I的斜率存在.設(shè)直線/為y = k(x-),直線I和橢交于N(x2>y2) o 將 y = k(x-)代入3x2 +4y2 =12中得到:8k2'3+ZF汕=由韋達(dá)定理可知:依題意：=加一9 > 0得k > 1或k <-1又 k.g + kAN =比+比=饑林一1 +七1)£ + 2 x2 +2xJ +2 x2 +242123 +4k2而11_ xx + x2 + 4£ + 2 x2 + 2 xx2

8、 + 2( + x2) + 4從而仏M +kAN =R(2_3 _U)= _1 = _g求得£ = 2符合"1.故所求直線MN的方程為：y = 2(x-).點(diǎn)石成金：重心的特點(diǎn)為坐標(biāo)卜)1+兒+兀I 3'3 丿例4、已知雙曲線c以橢圓r+r=i的焦點(diǎn)為頂點(diǎn), 43以橢圓的左右頂點(diǎn)為焦點(diǎn).(I )求雙曲線C的方程；(II )若仟,尸2為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線C上任 意一點(diǎn)，M為PFxF2的外心，且ZF,PF, =60°,求點(diǎn)M的坐標(biāo).思維流程:(I由已知易得雙曲線中d = l,c = 2" = Ji寫出雙曲線的方程(II)M是APF,的外心

9、M在y軸上，且ZFWF? = 2乙阿2方程為%2 - = 13(II )因?yàn)镸為外心，所以|M用=|M場(chǎng)則點(diǎn)M在線段片耳的垂直平分線上即在y軸上又同弧上的圓心角是圓周角的2倍，.ZFMF2 =2么片卩耳貝U ZF'MF? =120°,ZMF/2 =30°在 RfAMF、O 中，|O| = 2,ZAfO = 30°貝» MO =即 M(0,土斗).點(diǎn)石成金：外心的特點(diǎn)為到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等或說(shuō)是三邊的垂直平分線的交點(diǎn).能力提升：1、橢圓哼+P如小求橢圓的焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡方程.解：如圖(1),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),內(nèi)心/為(xj),焦點(diǎn)片(一c,

10、0)、F2(c ,0),引=葉，|P/s| = r2 ,則 /| r2= 2ex0 過(guò)內(nèi)心I作/、IE、/F垂直尸禺、Ff、PE于點(diǎn)D、E、FT點(diǎn)I是林巧P的內(nèi)心，點(diǎn)£>、E、F是內(nèi)切圓的切點(diǎn)，圖(1)由切線長(zhǎng)定理，得方程組：PF + F2F = r2 , |F,D| + |F2D| = 2c結(jié)合斤-尸2 = 2隔，解得：同可 =c + exQ 而=c + x ,: x = ex0,心上.e又 V A FxF2P 面 積 5=c|y0| s = g(応心+用+你 |)|y| = («+c)|，|,:<j>?o|=(« + c)|y|，NM-將代入

11、4+4=ig/>>o),得cr Zrbp(g + c)2可知，橢圓二+二=1(“ > Z? > 0)焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡是 6T它的離心率是2、橢圓:二+二=1(" > /? > 0)求橢圓的焦點(diǎn)三角形垂心的軌 CT/?"跡方程;解:如圖(2),設(shè)點(diǎn)Pg*。),垂心H為(x,y), 焦 點(diǎn) 片(_c ,0)、竹2 Q), 貝UFH=(x+c,y) , PF2 =(c-x0-y0).麗丄兩，(x + c,y)(c-x0,-y0)二 0圖(2)又.* X = x0 ,c x yy()= 0 . .(J)2 2而工 + 典= > b &g

12、t; o),r處=佯(宀丘)=佯(宀小.cr獷將式代入式，整理得：尸+役 j)由方程可以看出，橢圓焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡不是兩 條拋物線，它與哪些初等函數(shù)圖象有關(guān)？請(qǐng)大家思考. 3、已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F(o,l),且與定直線y = -相切.(I )求動(dòng)圓圓心P的軌跡W的方程；(II )設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線/與軌跡W相交于A、3兩點(diǎn)，若 在直線y = -l存在點(diǎn)C,使A4BC為正三角形，求直線/方程.(III)當(dāng)直線/得斜率大于零時(shí)，求23C外心的坐標(biāo). 解：(丨)設(shè)動(dòng)圓圓心為P(x,y),根據(jù)題意，得+(y-I)，=卜 + 1|化簡(jiǎn)得 x2 = 4y故動(dòng)圓圓心P的軌跡W的方程為屮=4>'.(

13、II )設(shè)直線/的方程為 y = kx+, A(xliylB(x2,y2) 9 弦 AB 中點(diǎn)為A/(x0,y0)(I )當(dāng) k=0 時(shí)，由；V = 1得 A(-2,1),3(2,1)x = 4y此時(shí)期=4,有圖形的對(duì)稱性可知，=-1上的點(diǎn)C只可 能是(0,-1)而AC = 7(0+2)2+(-1-1)2 = 22 故 |加侍山|,不合題 意.(ii )當(dāng) WHO 時(shí)，由 y ； kX+1 得 x2-4H-4 = 0Q = 4y則兒=4 = 23廠沖1 = 21+12 2M(2 匕2 疋+1)若在直線y = -1上存在點(diǎn)C,使AABC為正三角形則設(shè)直線 MC:y = -(x-2k) + (2k

14、2 + ),與 y = _l 聯(lián)立, k解得 x = 4k + 21，即 C(4& + 2心-1)得 J(2k +2)2+(2/+2)2= -(yi+y2+2)即(2& + 2疋)2 +(2/ +2尸=-(4k2 +4尸4化簡(jiǎn)得伙2 +1)2 =2伙2 +1)2即 k2 =2,k = +y/2故直線/的方程為y = ±2x + (III )由(II)知，k =、迂,直線/的方程為y = >/2x+l ,點(diǎn) C（8d,-1）<二血5得，-4亦-4 = 0牙一 =4y則"+亠一4丫2,% +）,=邁（召+禺）+ 2 = 10西吃=一4貝U A4BC的夕卜心 坐標(biāo)為（山+勺+XQ兒+兒