圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型教學(xué)總結(jié)

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除2017屆高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之圓錐曲線中的定點定值問題的四種模型定點問題是常見的出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān) 系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過定點問題通法，是設(shè)出直線方程， 通過韋達定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。技巧在于：設(shè)哪一條直線？如何轉(zhuǎn)化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的載體，自身存在很多性質(zhì)，這些性質(zhì)往往成為出題老師的參 考。如果大家能夠熟識這些常見的結(jié)論，那么解題必然會事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見的幾種 定點模型：模型一：“手電

2、筒”模型2 2例題、（07山東）已知橢圓C： 1若直線l: y kx m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B43不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓 C的右頂點。求證：直線I過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。解:設(shè) A(xi, yJ,B(X2, y2)，由y3x2kx4y2m +12得(34k2 )x2 8mkx 4( m23) 0，64m2k2 16(3 4k2)(m2 3)0，3 4k2 m2X1X28mk3 4k2，x1 x24(m2 3)3 4k2y1 y2(kx12 2m) (kx2 m) k xm2 mk(x1 x2) m3(m2 4k2)3 4k2Q以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2

3、,0),且 kAD kBD力y2x1 2 x222(x1 X2) 4 0，3(m24k2)4(m23)216mk,門240,34k23 4k3 4k2整理得:7m216mk4k210 ,解得：m12k2k,m2，且滿足3當(dāng)m2k時,l:yk(x2），直線過定點（2,0）,與已知矛盾；1，y"2X1X24k2空時,7I：yk(x扌），直線過定點(7,0)2綜上可知，直線I過定點，定點坐標(biāo)為（一,0）.7方法總結(jié)：本題為“弦對定點張直角”的一個例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點P做相互垂直的直線交圓錐曲線于 AB，則AB必過定點(x°(a2 b2)(2.2a by°(a2

4、b2)（參考百度文庫文章:“圓錐曲線的弦對定點張直角的一組性質(zhì)”）模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個限定 AP 與 BP條件（如kAP?kBP 定值，kAP kBP 定值），直線AB依然會過定點（因為三條直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）° （參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第13節(jié)）此模型解題步驟：Step1：設(shè)AB直線y kx m，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；Step2:由AP與BP關(guān)系（如kAp?kBp1），得一次函數(shù)k f （m）或者m f（k）；Step3:將 k f （m）或者 m f （k）代入 y kx m，得 y k（x x定）y定

5、。遷移訓(xùn)練練習(xí)1:過拋物線 M: y2 2px上一點P （1,2）作傾斜角互補的直線 PA與PB ,交M于A、B兩點， 求證：直線 AB過定點。（注：本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲線）此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 練習(xí)2:過拋物線M: y2 4x的頂點任意作兩條互相垂直的弦OA、OB ,求證：直線AB過定點。(經(jīng)典例題，多種解法)2 2練習(xí)3:過2x y 1上的點作動弦AB、AC且kAB?kAc 3，證明BC恒過定點。(本題參考答案：練習(xí):4 :設(shè)A、B是軌跡C :分別為和，當(dāng)，變化且2p,2 p)(x, y), MN線段的中點為E,由幾何圖像知 MEMN 2 丁,CACMME2

6、 EC22 2 2 2 2(x 4) y 4 x y &(n )點 B(-1,0),設(shè)P(xyJ,Q(x2, y2),由題知 y1yY1y2y1y2x11X21y12 8y 8方程為：y y1y2y1(xX1)yy1X2X1y(y2yjy1(y2yjc28x y1所以，直線PQ過定點(1,0)練習(xí)6:已知點B 1,0 ,C 1,0 ,P0, y”20,y128x1, y22 8x2.8(y1y2)y1 y2(y2yj 08ym1(8x2)y2y1y1y(y2yj88xy 0,x1面上一動點，且滿足uur | PCuuu| |BC|uuu PBmu CB0直線PQ(1) 求點P的軌跡C對

7、應(yīng)的方程；(2) 已知點A(m,2)在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD AE，判斷：直2 px( P 0)上異于原點0的兩個不同點，直線 OA和0B的傾斜角 4時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。(參考答案【答案】設(shè)A x1,y1 ,B X2, y2 ，由題意得xi,x> 0，又直線OA,OB的傾斜角，滿足4故0,，所以直線 AB的斜率存在，否則， OA,OB直線的傾斜角之和為從而設(shè) AB方程為422y kx b，顯然 也，x2 里，2p2p將 y kx b與 y2 2px(P 0)聯(lián)立消去 x，得 ky2 2 py 2pb 0 由韋達定理知 y1 y2 空，

8、 y2 2pbkktan tan 2p(% y2)由一，得 1 = tan tan( ) =1¥441 tan tan%y2 4p將式代入上式整理化簡可得：2p 1，所以b 2p 2pk ,b 2pk此時，直線AB的方程可表示為 y kx 2 p 2 pk即k(x 2p) y 2p 0所以直線 AB恒過定點2p,2p .練習(xí)5: (2013年高考陜西卷(理)已知動圓過定點 A(4,0), 且在y軸上截得的弦 MN的長為8.(I)求動圓圓心的軌跡 C的方程；(n )已知點B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點 P, Q 若x軸是 PBQ的角平分線，證明直線I過定點

9、【答案】解:(I ) A(4,0),設(shè)圓心C此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 線DE是否過定點？試證明你的結(jié)論【解】(i )設(shè) P(x，y)代入 |PC I |BC I PB CB得 (x i)2 y2 將A(m,2)代入y2 4x得m i,點A的坐標(biāo)為(i,2). 設(shè)直線DE的方程為 設(shè)D(xi, yi), E(X2, y2)則yiAD AE (xi2 2 2 吐里(里44( 4(yi y2)2 (yii X化簡得y24x- ( 5分)x my t代入y2 y24m, yi(yi 2)( y2i62(4t)i6即 t2 6tt 2mi)(X22號)y2)242(4m)2 4t)(

10、 4t)1)yiy22yi y24x,得 y2 y2 4t,2) Xf x24mt(4t 0,4m)216t0(*)yi y2 2(yiy2)449 4m 8m 4即（t5或t 2m i,代入（*）式檢驗均滿足i y2)5yi y2 2( yi y2)52(4m) 50化簡得 t2 6t 52 23)24(m i)2 t 32(m i)（為X2)104m2 8m4x , O為坐標(biāo)原點，過點 A的動直線I第22題kAMkDM，即-yi2 yi4yi2i yi4y22 上4即2yiiJy“24yi4yiy222OMOPyiy2yi y25.442 2解：（I）設(shè)點m （也，yJP（匹，y2）, p

11、、m、a三點共線,44直線DE的方程為x m（y 2） 5或x m（y 2） i直線DE過定點（5, 2）.（定點（i,2）不滿足題意） 練習(xí)7：已知點A （- i, 0）, B （i, i）和拋物線.C : y2 交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖.LULUT uuu（I）證明：OM OP為定值;5-（II ）若厶POM的面積為工，求向量OM與OP的夾角;2（川）證明直線 PQ恒過一個定點.(II)設(shè)/ POM= a,則 I OM I |OP I COS 5.5”S rom , I OM I I OP I sin 5.由此可得 tana =i.2又(0, ),45 ,故向

12、量OM與OP勺夾角為45 .2(川)設(shè)點Q(企，y3), M、B、Q三點共線， kBQ kQM ,4即4 y,即導(dǎo)丄，仏仏Y3 4yi y34442(y3 i)(yi y3)*4,即yiy3 yi * 4 0.L L L L ii分yiy2即 4( y2kpQ4 y3 y2y3) y2y340.(*)44,即 y1y24ya4 0,y2y2 ys22y2 y3 Ty2y3直線PQ的方程是yy2即(y 丫2)(丫2 y?)4x由(*)式， y2 y3 4( y2由此可知直線 PQ過定點E ( 1, 4).模型二：切點弦恒過定點4y；(x 4)y2 y342y2,即y(y2y3) 河34x.y3)

13、 4,代入上式，得(y 4)( y2y3)4(xi).結(jié)論:例題：有如下結(jié)論：圓x22爲(wèi) 1(a bb22 2y r上一點P(X0,y°)處的切線方程為x°yyoyr2”，類比也有2X橢圓篤a(1)(2)0)上一點P(x。，yo)處的切線方程為x°xay0y”，過橢圓 C :1的右準(zhǔn)線I上任意一點M引橢圓C的兩條切線，切點為A、B.求證：直線AB恒過一定點; 當(dāng)點M在的縱坐標(biāo)為1時，求 ABM的面積。4 *'3【解】(1)設(shè)M( ,t)(t3.蟲 點 M 在 MA 上 X13x xR), A(X1y),B(X2, y2),則MA的方程為4ty11同理可得于

14、X2 ty21yiy由知AB的方程為3 x ty 1,即x3易知右焦點F (3,0 )滿足式，故 AB 2y)代入4(2)把AB的方程x . 3(1|AB1336281673(1 ty)恒過橢圓C的右焦點F ( . 3,0)y21,化簡得7y 6y又M到AB的距離d 3<1 31 ABM 的面積 S | AB | d2方法點評：切點弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過程中直接不能直接引用，可以用 本題的書寫步驟替換之，大家注意過程。方法總結(jié)：什么是切點弦？解題步驟有哪些？16.321IJI5 '呢；丄：-j參考：PPT圓錐曲線的切線及切點弦方程，百度文庫參考：“尼爾森數(shù)學(xué)

15、第一季_3下”優(yōu)酷視頻 拓展：相交弦的蝴蝶特征一一蝴蝶定理，資料練習(xí)1 :( 2013年廣東省數(shù)學(xué)(理)卷)已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F 0,C C 0到直線3 nl: x y 2 0的距離為.設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA, PB ,其中A,B2為切點(I)求拋物線C的方程；(n )當(dāng)點P x0,y0為直線I上的定點時，求直線AB的方程；(川)當(dāng)點P在直線I上移動時，求AF BF的最小值【答案】(2T結(jié)合c °,解得cI)依題意，設(shè)拋物線C的方程為X 4cy ,由以拋物線C的方程為X2 4y.(n)拋物線C的方程為x2設(shè) A Xi,yi , B x2,yn

16、 （其中 yi1則切線PA, PB的斜率分別為 丄xi,2i 24y ,即y x2,求導(dǎo)得42片T,y2i2X2,2知,所以切線PA: y yi 互x捲2同理可得切線PB的方程為x2x 2y 2y2XiX202Xiyi,即 XiX 2y 2yi 0因為切線 PA, PB 均過點 P x0,y0 ,所以 XiX0 2y0 2yi 0, X2X0 2y。 2y? 0 所以Xi, yi , X2, y2為方程x°x 2y° 2y 0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x 2y 2y00.（川）由拋物線定義可知 AF y, i, BF y2 i,所以 AF BF % i y2 i y

17、iy2 % y2 ix0x 2y 2y00+222聯(lián)立方程 2,消去x整理得y2y0 x02 y y02 0x 4y由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y-i y2 x）2 2y0, yiy2 y02所以 AF BF yy yi y i y。2 X）2 2y° i又點P X0,y0在直線I 上,所以X0 y 2,所以 y。2 X。2 2yo 1 2yo212y0 5 2 yo 2所以當(dāng)y02時,AF|BF取得最小值，且最小值為r練習(xí)2：（ 2013年遼寧數(shù)學(xué)（理）如圖，拋物線G：x2 4y,C2：x22py p 0 ,點M x0,y0在拋物線C2上，過M作Ci的切線，切點為RB（ M為原

18、點O時，A,B重合于O） X） 12 ,切線MA.的1斜率為-丄.2（I）求p的值；（11）當(dāng)M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方.A,B重合于O時沖點為O .【答案】 1 冊腸統(tǒng)C?宀切 M憑1點的切戟葉為八壬爪切找 MA的斜率對-$ *所VL X心燦.為(-1百 叢幼哉MA的卉I'i1為tIy十 1) + .24圉為£ M( 11 fF片EMA 殳IV海t:. I七dr 1啪呼卩=乙2 x >；I)iW(Jr.y).列首*別器嚴(yán)彳-h r： * rz ,prH bb6 1 卜iIe n為線段m中點和MA .朋甘的Zl住為y 冷G - 2 *牛，U丄心y = j

19、(x-r； + If! 7 那 M/1. MB 的 肌如射 ThJj.芒中/中4*門護心f . dn Xvi = _. tyk斫畀V sjc." 4- Xj-z= -ti(i :r i 7'(!,4,jt 土 y, r 0.4* -A* H i&fj-flteu AP bl;'.,i N 為以 帑標(biāo)再址/=”葉靦中點JV的輸越方皙為模型三：相交弦過定點相交弦性質(zhì)實質(zhì)是切點弦過定點性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下，優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言，相交弦過定點涉及坐標(biāo)較多，計算量相對較大，解題過程一定要注意思路，同時注意 總結(jié)這類題的通法。例題：如

20、圖，已知直線L： xX2my 1過橢圓C ：二ay2b21(a b 0)的右焦點F且交橢圓C于A B兩點，點A B在直線G : X a2上的射影依次為點 D E。連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時，直線AE、 BD是否相交于一定點 N?若交于定點N,請求出N點的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。by./1G廠D丿K x/XE法一：解：F(1,0),k (a2,0)先探索，當(dāng)m=0時，直線L±ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知,a2 1a2 1AE與BD相交于FK中點N ,且N( ,0) 猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點 N( ,0)2 。 2證明：設(shè) A(x1, y1), B(x

21、2, y2), E(a2, y2), D(a2, y1)當(dāng) m變化時首先 AE過定點 NQx22my21 22 2即(a2b2m2)y22mb2yb2(1a2)0.8分b2x2 a2y2 a2b20(Qa 1),2, 2, 2 2, 24a b (a m b 1)0又Kanyia2 12,K enmy1y21 a22而KanK ena2 1(L1 a2(a2 12 2y2) mymyi)(這是Qa2 1(y1(2(a2 1) (mb mb_)y2) myi iy2mb2 )-2)a mb.2 .2、a2)m 2 2 2 a m b0)b2(12 2 2a m b Kan=Ken A N E三點

22、共線a21 AE與BD相交于定點 N( ,0)2法2:本題也可以直接得出 AE和BD方程，令y=0,得與x軸交點M N,然后兩個坐標(biāo)相減=0.計算量也不大。方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明，簡化解題過程，是證明定點問題一類的通法。這一類題在答題過程中要注意步驟。同理可得B、N D三點共線2x 2例題、已知橢圓C：y2 1，若直線l : x t(t 2)與x軸交于點T,點P為直線l上異于點T的4任一點，直線 PA1,PA2分別與橢圓交于 M、N點，試問直線 MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。方法1:點A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點是 A1(-2

23、,0)和M , 通過韋達定理，可以求出點M的坐標(biāo)，同理可以求出點 N的坐標(biāo)。動點P在直線l : x t(t 2)上，相當(dāng)于知道了點P的橫坐標(biāo)了，由直線 PA1、PA2的方程可以求出P點的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系， 通過所求的M、N點的坐標(biāo)，求出直線 MN的方程，將交點的坐標(biāo)代入，如果解出的 則就不存在。解：設(shè)t>2，就可以了，否y k1 (xX2 4y2M(X1,y1), N(X2,y2)，直線 AM 的斜率為2)消y整理得(1 4k；)x24216k2x 16k14ki ,則直線AiM的方程為y &(x 2)，由Q 2和是方程的兩個根,2x16k； 41 4k2 則X1

24、2 8k121 4k,2，y14k14k"即點M的坐標(biāo)為(晉，嗇)同理,設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為(失 2, 殂1 4k； 1 4k；Q ypk1k1K(tk2k22),yp k2(t 2)22 , Q直線MN的方程為:ty 力上 y1X X1x2令 y=0，X2y1X1y2，將點 M、y1y2N的坐標(biāo)代入,化簡后得:又 Qt 2，4 2Q橢圓的焦點為t6 3,0)4；3時3，方法總結(jié)：本題由點A(-2,0)的橫坐標(biāo)一故當(dāng)tMN過橢圓的焦點。韋達定理，得到點M的橫縱坐標(biāo):Xi2是方程8k2(14k12)x216k2x16k；0的一個根，結(jié)合4k|1 4k122， y1

25、1 4k1222216k2 4(1 4k2 )x 16k2x 16k2 4 0，得到 2x?2 2，即 x21 4k24k28k； 2_ 2， y21 4k2空2)消y整理得4y244k2一務(wù)很快。不過如1 4k216k24果看到：將2為 1 2中的1 4k128k22 4k(8k22,4勺),如果在解題時,ki用k2換下來，X1前的系數(shù)2用2換下來,就得點 N的坐標(biāo)1 4k； 1 4k2能看到這一點，計算量將減少，這樣真容易出錯,但這樣減少計算量。本題的關(guān)鍵是看到點P的雙重身份:點P即在直線AM上也在直線A2N上，進而得到-,由直k1 k2 tX1丄 得直線與x軸的交點，即橫截距X2 X14

26、433解出t，到此不要忘了考察t3方法2：先猜想過定點，設(shè)弦MN勺方程，得出RM、A2N如下：4化簡易得x ?，由X2y1 X1y2，將點M N的坐標(biāo)代入， y1 y24.3是否滿足t 2。3方程，進而得出與T交點Q S,兩坐標(biāo)相減=0.此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除設(shè) Imn ： x my理:(4 m2)寸2.3my 10;求出范圍；設(shè) M ( x-i, y-i), N ( x2, y2),得直線方程：H：y 池(X 2)，lA2N：y耳2)；若分別于It相較于Q、S：易得Q (t,上(t 2),S(t,y22(t2)X12x22yQysy1一 (t 2)y2(t2)x-i2x

27、22整理 -4my1 y22(t3)( y1y2)( . 3t 4)(y1y?)(X- 2)(X2 2)-4m廠韋達定理代入(x-i2)(x2 2) 4 m2( 3t 4) (、3t4)(y-y2)顯然，當(dāng)t 4 3時，猜想成立。3方法總結(jié)：法2計算量相對較小，細心的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)，這其實是上文“切點弦恒過定點”的一個特例而已。因 此，法2采用這類題的通法求解，就不至于思路混亂了。相較法1,未知數(shù)更少，思路更明確。一x2 v2=1的左右頂點為A,B，右焦點為F,練習(xí)1: (10江蘇)在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，如圖，已知橢圓+y9 5設(shè)過點T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點 皿以心)，N

28、(X2,y2)，其中m>0,y 1>0,y2<0.設(shè)動點P滿足PF2 PB2=4,求點P的軌跡1設(shè)X1=2求點T的坐標(biāo)(其坐標(biāo)與m無關(guān))乩満分1點分is*本小題主要考査求簡單拙賤的方程考査賈線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識，電查運第求解 能力一(門設(shè)點門心巧，則PF' =(-2)3 *幾P爐珂胃-3+汽 由P嚴(yán)-F対-4得(x2)J+/-(x-3)2-/ =4.化筍再為二尙戰(zhàn)所求點嚴(yán)的軌跡為點線工此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除a 1¥_由呵二2y J +y =1 An誹陽I - J ,則點 応時.¥玄0瞅而肓線AM的方稈為V-"e*

29、 I 諸 £N(* a it + y = I及Ji <0»礙旳"-乎,則點 肌=-釣從而辭助的方程為"右今I. r* =7, s解得j 10眥以點f的坐你為(匚由題設(shè)鼠 直線AT的方輕為y = tx+3),百線 酊的方稈為y = -(i-3), 點W(xl( yj満足x e .+ 3) 赫+3)_ t2J 5 匚 V則.余h 1 斗*斗f 240 -3m F * 丁 “而冇 從而得,=-7-80 + mJlFj45V/¥A£:肘妊及:T；毎旳-20m3ni2 -60Tj - r嚴(yán)5聲謐杠則由豎7乾時單及3 0,得w-2/io &

30、#171;fL 陀方屮閃8H + m20 + m庶附幄為譚1，過點鞏i0).著航曲” JllfliM/iS；亶銳m的斜率如=三°；呼 匸嚴(yán)吒240 jm 40 iTi8Q + m'-20耐77得 "心 所且宜線MN £t D點.3 肌=60.40 nt2O + m2 因此.賁麹初V必過黑？ft上的點(1*0).3 練習(xí)2：已知橢圓E中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A( 2,0)、B(2,0)、C 1- 三點.過2橢圓的右焦點F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線丨與橢圓E交于M、N兩點，AM與BN所在的直線交于點Q.(1) 求橢圓E的方程：(2) 是否存在這樣

31、直線 m，使得點Q恒在直線m上移動？若存在，求出直線m方程，若不存在，請說 明理由此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除解析:將A(1)設(shè)橢圓方程為 mx my 1(m0,n32,0)、B(2,0)、C(1-)代入橢圓E的方程,20),4m1,9 解得m n 14(也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓E的方程3X22y_3(2)可知：將直線丨:y2代入橢圓E的方程4設(shè)直線丨與橢圓E的交點由根系數(shù)的關(guān)系，得2類似計分)k(x 1)21并整理得(3 4k2)x23M (為，yd N(X2, y2),18k2x4(k23)0Xi2，XiX2直線AM的方程為：y3 4k匕(X 2),即y4(k2 3)3 4k2

32、k(x11)Xi2(X 2)由直線AM的方程為:y2X2(x 2)，即2由直線AM與直線BN的方程消去y，得 2(x1x2 3x-| x2 )x-i 3x248(k2 3)24k22x1x2 3(x-| x2)(Xik(x 2)x224X2】2 23 4k28k23 4k23 4k24 2x24x2x2) 2x244k2 63 4k2 4k2 63 4k2X2X24x的一T,使得故這樣的直線存在直線AM與直線BN的交點在直線x 4上.模型四：動圓過定點問題動圓過定點問題本質(zhì)上是垂直向量的問題，也可以理解為“弦對定點張直角”的新應(yīng)用。例題1.已知橢圓c：X 4 1(a b 0)的離心率為上2,并

33、且直線y X b是拋物線y2 a2 b22條切線。(I)求橢圓的方程；1(H)過點S(0,-)的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點3以AB為直徑的圓恒過點 T?若存在，求出點 T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除y2 X b消去 y得 : x2（2by2 4xx b與拋物線'、2 2 ,2,a b2解：（I ）由因直線y4)x b20Qe -a4x相切2 .2a b2a(2b224) 4b 0 b 1軸平行時，以 AB為直徑的圓的方程:2， 故所求橢圓方程為y2 1.(II )當(dāng)L與x(y13)4 2(3)當(dāng)L與x軸

34、平行時，以AB為直徑的圓的方程:1,由(y3)21即兩圓相切于點（0，1）因此，所求的點 T如果存在，只能是（0，1） 事實上，點 L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（ 0，1）就是所求的點，證明如下。當(dāng)直線若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線 L:y kxT( 0，1)13由x2kx13消去y得:(18k219)x212kx 16記點 A1, yJ、B（x2,y2）,則X2X1X212k218k916218k9uruir又因為TA (n,% 1),TB (X2,y2 1),uir uir所以TA TB X1X2 (y11)(y21）x1x2 (kx-i(1k2)x.|X243k(X1X2)16

35、44嚴(yán)y16412k2 _ k 2 18k9318k916 °0 9T （ 0，1）,故在坐標(biāo)平面上存在一個定點T （0，1 ）滿足條件找出這個定點，再證明用直徑所對圓周角為直角。(1 k2)9 TA丄TB,即以AB為直徑的圓恒過點方法總結(jié)：圓過定點問題，可以先取特殊值或者極值,2X例題2:如圖，已知橢圓C：筈ay21（a b 0）的離心率是，A1, A2分別是橢圓C的左、右兩個頂點，點F是橢圓C的右焦點。點D是x軸上位于A2右側(cè)的一點，且滿足ADA2DFD（1）求橢圓C的方程以及點D的坐標(biāo)；（2）過點D作x軸的垂線n,再作直線l : y kx m 與橢圓C有且僅有一個公共點 P，直

36、線l交直線n于點 Q。求證：以線段 PQ為直徑的圓恒過定點，并求出定 點的坐標(biāo)。解:（ 1）由丄A( a,0), A(a,0), F(c,0)，設(shè) D(x,0)，1ADa2d2有二X又FDc 1,(c 1a)(c 1ca)，又Q-a2c，1、2c)c21, a 、2,b(2)方法 1： Q Q(2, 2km),2 2x 2(kx m) 2由于16k2m2 4(2 k2而由韋達定理:(2k21)(24kmy由蘭2 2m22設(shè) P(x°,yo),21)x 4kmx2 my°kx° m2x02x)2k 12k21m -，mm設(shè)以線段PQ為直徑的圓上任意一點2k1(x )

37、(x 2) (y -)(y (2kmm稱性知定點在x軸上，令y 0，取2x1，橢圓C： 2kx m2)0 2k2 km 由(*)2k21P(空丄)m m1，且D(2,0) oy2 122m2 km2 m02k,mujirM (x, y)，由 MPm)0x2y2uuiuMQ(空mx 1時滿足上式，故過定點(kx2 k2m)211 (*),2)x (2k m -)y (1 mK(1,0) o2k)0由對m此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 c 1 (c 1、2c)(c法2 :本題又解：取極值，PQ與AD平行，易得與 X軸相交于F (1,0 )o接下來用相似證明 PF丄FQ設(shè)P (X0,y。),易得PQ切線方程為x°x 2y°y 2;易得D(0,0)y。設(shè) PH FD1 X°PH y0； HF 1 X0；DQ-; DF 1;y。BL 匹，固phf相似于 FDQ，易得 PFQ 900PH FD 問題得證。2 2x y2練習(xí)：(10廣州二模文)已知橢圓 G：二 2 1(a b 0)的右焦點F2與拋物線C2 : y 4x的焦點重a b合，橢