第12講 一次函數(shù)與圓的綜合.

1、初中·數(shù)學一次函數(shù)與圓的綜合【典型例題】例1. 如圖，在平面直角坐標系中，M過原點O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點C為劣弧AO的中點，連接AC并延長到D，使DC=4CA，連接BD（1）求M的半徑；（2）證明：BD為M的切線；（3）在直線MC上找一點P，使|DPAP|最大例2. 在平面直角坐標系xOy中，點M（，），以點M為圓心，OM長為半徑作M使M與直線OM的另一交點為點B，與x軸，y軸的另一交點分別為點D，A（如圖），連接AM點P是上的動點（1）寫出AMB的度數(shù)；（2）點Q在射線OP上，且OPOQ=20，過點Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點

2、E當動點P與點B重合時，求點E的坐標；連接QD，設(shè)點Q的縱坐標為t，QOD的面積為S求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍例3. 如圖，在平面直角坐標系中，點M是第一象限內(nèi)一點，過M的直線分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點，且M是AB的中點以O(shè)M為直徑的P分別交x軸，y軸于C，D兩點，交直線AB于點E（位于點M右下方），連結(jié)DE交OM于點K（1）若點M的坐標為（3，4），求A，B兩點的坐標；求ME的長（2）若=3，求OBA的度數(shù)（3）設(shè)tanOBA=x（0x1），=y，直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式【課后練習】1. 如圖，在直角坐標系中，M經(jīng)過原點O（0，0），點A（，0）與點B（0，），點D在劣

3、弧上，連接BD交x軸于點C，且COD=CBO（1）求M的半徑；（2）求證：BD平分ABO；（3）在線段BD的延長線上找一點E，使得直線AE恰好為M的切線，求此時點E的坐標【回顧總結(jié)】【參考答案】【典型例題】例1.【分析】（1）利用A，B點坐標得出AO，BO的長，進而得出AB的長，即可得出圓的半徑；（2）根據(jù)A，B 兩點求出直線AB表達式為：y=x+3，根據(jù) B，D 兩點求出 BD 表達式為 y=x+3，進而得出BDAB，求出BD為M的切線；（3）根據(jù)D，O兩點求出直線DO表達式為 y=x 又在直線 DO 上的點P的橫坐標為2，所以 p（2，），此時|DPAP|=DO=【解答】（1）解：由題意可

4、得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，AB=5，圓的半徑為；（2）證明：由題意可得出：M（2，） 又C為劣弧AO的中點，由垂徑定理且 MC=，故 C（2，1）過 D 作 DHx 軸于 H，設(shè) MC 與 x 軸交于 K，則ACKADH，又DC=4AC，故 DH=5KC=5，HA=5KA=10，D（6，5）設(shè)直線AB表達式為：y=kx+b，解得：故直線AB表達式為：y=x+3，同理可得：根據(jù)B，D兩點求出BD的表達式為y=x+3，kAB×kBD=1，BDAB，BD為M的切線； （3）解：取點A關(guān)于直線MC的對稱點O，連接DO并延長交直線MC于P，此P點為所求，且線段DO的長為

5、|DPAP|的最大值；設(shè)直線DO表達式為 y=kx，5=6k，解得：k=，直線DO表達式為 y=x 又在直線DO上的點P的橫坐標為2，y=，P（2，），此時|DPAP|=DO=【點評】此題主要考查了勾股定理以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及兩直線垂直系數(shù)的關(guān)系等知識，得出直線DO，AB，BD的解析式是解題關(guān)鍵例2. 【分析】（1）首先過點M作MHOD于點H，由點M（，），可得MOH=45°，OH=MH=，繼而求得AOM=45°，又由OM=AM，可得AOM是等腰直角三角形，繼而可求得AMB的度數(shù)；（2）由OH=MH=，MHOD，即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長，又由動

6、點P與點B重合時，OPOQ=20，可求得OQ的長，繼而求得答案；由OD=2，Q的縱坐標為t，即可得S=，然后分別從當動點P與B點重合時，過點Q作QFx軸，垂足為F點，與當動點P與A點重合時，Q點在y軸上，去分析求解即可求得答案【解答】解：（1）過點M作MHOD于點H，點M（，），OH=MH=，MOD=45°，AOD=90°，AOM=45°，OM=AM，OAM=AOM=45°，AMO=90°，AMB=90°；（2）OH=MH=，MHOD，OM=2，OD=2OH=2，OB=4，動點P與點B重合時，OPOQ=20，OQ=5，OQE=90&#

7、176;，POE=45°，OE=5，E點坐標為（5，0）OD=2，Q的縱坐標為t，S=如圖2，當動點P與B點重合時，過點Q作QFx軸，垂足為F點，OP=4，OPOQ=20，OQ=5，OFC=90°，QOD=45°，t=QF=，此時S=；如圖3，當動點P與A點重合時，Q點在y軸上，OP=2，OPOQ=20，t=OQ=5，此時S=；S的取值范圍為5S10【點評】此題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用例3. 【分析】（1）連接DM、MC，如圖1，易證四邊形OCMD是

8、矩形，從而得到MDOA，MCOB，由點M是AB的中點即可得到BD=DO，AC=OC，然后利用點M的坐標就可解決問題；根據(jù)勾股定理可求出AB的長，從而得到BM的長，要求ME的長，只需求BE的長，只需證OBMEBD，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可；（2）連接DP、PE，如圖2，由=3可得OK=3MK，進而得到OM=4MK，PM=2MK，PK=MK易證DPKEMK，則有DK=EK由PD=PE可得PKDE，從而可得cosDPK=，則有DPK=60°，根據(jù)圓周角定理可得DOM=30°由AOB=90°，AM=BM可得OM=BM，即可得到OBA=DOM=30°；（3）連

9、接PD、OE，如圖3，設(shè)MK=t，則有OK=yt，OM=（y+1）t，BM=OM=（y+1）t，DP=PM=，PK=由DPBM可得DKPEKM，則有=，由此可得ME=t，從而可求得OE=，BE=，則有x=tanOBA=，即x2=1，整理得y=【解答】解：（1）連接DM、MC，如圖1OM是P的直徑，MDO=MCO=90°AOB=90°，四邊形OCMD是矩形，MDOA，MCOB，=，=點M是AB的中點，即BM=AM，BD=DO，AC=OC點M的坐標為（3，4），OB=2OD=8，OA=2OC=6，點B的坐標為（0，8），點A的坐標為（6，0）；在RtAOB中，OA=6，OB=8

10、，AB=10BM=AB=5OBM=EBD，BOM=BED，OBMEBD，=，=，BE=，ME=BEBM=5=；（2）連接DP、PE，如圖2=3，OK=3MK，OM=4MK，PM=2MK，PK=MKOD=BD，OP=MP，DPBM，PDK=MEK，DPK=EMK在DPK和EMK中，DPKEMK，DK=EKPD=PE，PKDE，cosDPK=，DPK=60°，DOM=30°AOB=90°，AM=BM，OM=BM，OBA=DOM=30°；（3）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=提示：連接PD、OE，如圖3設(shè)MK=t，則有OK=yt，OM=（y+1）t，BM=OM=（y

11、+1）t，DP=PM=，PK=t=由DPBM可得DKPEKM，則有=，可得ME=tOM是P的直徑，OEM=90°，OE2=OM2ME2=（y+1）t2t2=（y22y），即OE=，BE=BM+ME=（y+1）t+t=，x=tanOBA=，x2=1，整理得：y=【點評】本題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值等知識，綜合性比較強，有一定的難度，通過證明OBMEBD求出BE是解決第（1）小題的關(guān)鍵，通

12、過證明DPKEMK得到DK=EK是解決第（2）小題的關(guān)鍵，設(shè)MK=t，然后運用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理求出OE、BE（用y、t的代數(shù)式表示）是解決第（3）小題的關(guān)鍵【課后練習】1. 【分析】（1）由點A（，0）與點B（0，），可求得線段AB的長，然后由AOB=90°，可得AB是直徑，繼而求得M的半徑；（2）由圓周角定理可得：COD=ABC，又由COD=CBO，即可得BD平分ABO；（3）首先過點A作AEAB，垂足為A，交BD的延長線于點E，過點E作EFOA于點F，易得AEC是等邊三角形，繼而求得EF與AF的長，則可求得點E的坐標【解答】解：（1）點A（，0）與點B（0，），OA=，OB=，AB=2，AOB=90°，AB是直徑，M的半徑為：；（2）COD=CBO，COD=CBA，CBO=CBA，即BD平分ABO；（3）如圖，過點A作AEAB，垂足為A，交BD的延長線于點E，過點E作EFOA于點F，即AE是切線，在RtAOB中，tanOAB=，OAB=30°，ABO=90°OAB=60°，ABC=OBC=ABO=30&#