復(fù)變函數(shù)4-2冪級(jí)數(shù)ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)四、典型例題五、小結(jié)與思考一、冪級(jí)數(shù)的概念一、冪級(jí)數(shù)的概念1.1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義定義 , ), 2 , 1()( 為為一一復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)序序列列設(shè)設(shè) nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各項(xiàng)在區(qū)域其中各項(xiàng)在區(qū)域 D D內(nèi)有定義內(nèi)有定義. .表達(dá)式表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記作記作 . )(1 nnzf)()()()(21zfzfzfzsnn 稱為這級(jí)數(shù)的部分和稱為這級(jí)數(shù)的部分和. . 級(jí)數(shù)最前面級(jí)數(shù)最前面n n項(xiàng)的和項(xiàng)的和和函數(shù)和函數(shù).)( , )(

2、, )()(lim , 001000它的和它的和稱為稱為收斂收斂在在那末稱級(jí)數(shù)那末稱級(jí)數(shù)存在存在極限極限內(nèi)的某一點(diǎn)內(nèi)的某一點(diǎn)如果對(duì)于如果對(duì)于zszzfzszszDnnnn )()()()(21zfzfzfzsn稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù)上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂?jī)?nèi)處處收斂, 那末它的和一定那末它的和一定 :)( zsz的的一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)是是2. 2. 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)當(dāng)當(dāng)11)()( nnnazczf或或,)(11時(shí)時(shí) nnnzczf函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(.zczczcczcn

3、nnnn 22101或或這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).二、冪級(jí)數(shù)的斂散性二、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.收斂定理收斂定理(阿貝爾阿貝爾Abel定理定理)如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收斂收斂, , z那末對(duì)那末對(duì)的的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂, , 假如假如在在級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散, , 那末對(duì)滿足那末對(duì)滿足的的級(jí)數(shù)必發(fā)散級(jí)數(shù)必發(fā)散. .滿足滿足證證 , 00收斂收斂因?yàn)榧?jí)數(shù)因?yàn)榧?jí)數(shù) nnnzc由收斂的必要條件由收斂的必要條件, 有有0lim0 nnnzc因而存在正數(shù)因而存在正數(shù)M, , 0Mzcnn 有有使對(duì)所有的使對(duì)所有的n, , 0zz 如如果

4、果 , 1 0 qzz那末那末而而nnnnnnzzzczc00 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知:. 0是絕對(duì)收斂的是絕對(duì)收斂的故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nnnzc nnnnnzczczcczc22100收斂收斂.另一部分的證明請(qǐng)課后完成另一部分的證明請(qǐng)課后完成.nMq 證畢證畢2. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù)對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù), 其收斂半徑的情況有三種其收斂半徑的情況有三種:(1) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂. .例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnzzz2221對(duì)任意固定的對(duì)任意固

5、定的z, 從某個(gè)從某個(gè)n開始開始, 總有總有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的z均收斂均收斂.(2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除 z=0 外都發(fā)散外都發(fā)散.此時(shí)此時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.(3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)收也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù)斂的正實(shí)數(shù).例如例如,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnznzz2221, 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z通項(xiàng)不趨于零通項(xiàng)不趨于零, ;,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí)設(shè)設(shè) z.,級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)時(shí) z如圖如圖:故級(jí)數(shù)發(fā)散故級(jí)數(shù)發(fā)散.xyo . .R收斂圓收斂圓收斂半

6、徑收斂半徑冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnzc的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.答案答案:. 為為中中心心的的圓圓域域是是以以az 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0)(nnnazc的收斂范圍是何區(qū)域的收斂范圍是何區(qū)域?問題問題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意注意問題問題2: 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù): 0200nnnnnnnznzz1, 1 zR收收斂斂圓圓周周均均為為收斂圓周上無收斂點(diǎn)收斂圓周上無收斂點(diǎn);,1在

7、在其其它它點(diǎn)點(diǎn)都都收收斂斂發(fā)發(fā)散散在在點(diǎn)點(diǎn) z在收斂圓周上處處收斂在收斂圓周上處處收斂.3. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法方法方法1: 1: 比值法比值法( (定理二定理二):):, 0lim 1 nnncc如如果果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R證證由于由于zcczczcnnnnnnnn111limlim , 1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z 0nnnzc收斂收斂., z , 0收收斂斂使使級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnzc , 01zz 使使據(jù)阿貝爾定理?yè)?jù)阿貝爾定理,. 01必必收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnzc根據(jù)上節(jié)定理三根據(jù)上節(jié)定理三, 0 nnnzc級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), 1 內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂在圓在圓 z, 1 0zz外外有有一一點(diǎn)

8、點(diǎn)假假設(shè)設(shè)在在圓圓 , 1 1zz外外再再取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在圓圓 , 1 1時(shí)時(shí)然而當(dāng)然而當(dāng) z11111limzzczcnnnnn , 01收斂相矛盾收斂相矛盾與與 nnnzc, 1 0外外發(fā)發(fā)散散在在圓圓故故 zzcnnn所以收斂半徑為所以收斂半徑為.1 R證畢證畢. 1 即假設(shè)不成立即假設(shè)不成立 .假如假如:, 0在復(fù)平面內(nèi)處處收斂在復(fù)平面內(nèi)處處收斂則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) nnnzc即即. R, 0. 1 注意注意:nnncc1lim 存在且不為零存在且不為零 .定理中極限定理中極限 . 2(極限不存在極限不存在),即即. 0 R, 0 0均均發(fā)發(fā)散散以以外外的的一一切切對(duì)對(duì)于于復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)除除

9、則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)zzzcnnn pnnnnnncc)1(limlim1 . 11 R所以所以答案答案，因?yàn)橐驗(yàn)閜nnc1 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 試求冪級(jí)數(shù)試求冪級(jí)數(shù) 1npnnz)( 為為正正整整數(shù)數(shù)p的收斂半徑的收斂半徑.pnn)11(1lim . 1 方法方法2: 根值法根值法(定理三定理三), 0lim nnnc如如果果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R說明說明: 0 0 RR(與比值法相同與比值法相同)假如假如三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 設(shè)設(shè),)()()(000nnnnnnnnnn

10、zbazbzazgzf Rz ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 2. 冪級(jí)數(shù)的代換冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)運(yùn)算運(yùn)算如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時(shí)時(shí),)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那末當(dāng)那末當(dāng)Rz 時(shí)時(shí), 0.)()(nnnzgazgf說明說明: 此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù). 00)(nnnzzc定理四定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為,R那末那末(2)(zf在收斂圓在收斂圓Raz 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪內(nèi)的導(dǎo)

11、數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, .)()(11 nnnaznczf即即是收斂圓是收斂圓Raz 內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) . 0)()( nnnazczf它的和函數(shù)它的和函數(shù)(1)3. 復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)(3)(zf在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf 01.)(1d)( nnnzaazncf 或或簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之: 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi), 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo), , 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分. .(常用于求和函數(shù)常用于求和函數(shù))即即四、典型例題

12、四、典型例題例例1 1 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) nnnzzzz201的收斂范圍與和函數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解解級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)的部分和為)1( ,11112 zzzzzzsnnn1 zzsnn 11lim級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0nnz收斂收斂,1 z0lim nnz級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0nnz發(fā)散發(fā)散.且有且有.1112 nzzzz收斂范圍為一單位圓域收斂范圍為一單位圓域, 1 z由阿貝爾定理知由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi)在此圓域內(nèi), 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 收斂半徑為收斂半徑為1,例例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1) 13nnnz(并討論在收斂圓周上的情形并討論在收斂圓周上的情形)(2) 1)

13、1(nnnz(并討論并討論2,0 z時(shí)的情形時(shí)的情形)或或nnnnnnc31limlim 解解 (1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因?yàn)橐驗(yàn)? 1 . 11lim3 nnn所以收斂半徑所以收斂半徑, 1 R即原級(jí)數(shù)在圓即原級(jí)數(shù)在圓1 z內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂, 在圓外發(fā)散在圓外發(fā)散, 收斂的收斂的p級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ).13( p所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周在圓周1 z上上, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 13131nnnnnz說明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)說明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 也有也有 級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z原級(jí)數(shù)成為原級(jí)數(shù)成為,1)

14、1(1 nnn交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù), 收斂收斂.,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z發(fā)散發(fā)散.原級(jí)數(shù)成為原級(jí)數(shù)成為,11 nn調(diào)和級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)，(2)1limlim1 nnccnnnn,1 . 1 R即即incncos 因?yàn)橐驗(yàn)閚nnnnnnneeeecc 111limlim 所所以以故收斂半徑故收斂半徑.1eR 0)(cosnnzin例例3求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑:解解),(21coshnneen , e 解解)4sin4(cos21 ii因?yàn)橐驗(yàn)閚nic)1( 所以所以nnncc1lim .2221 R例例4 0)1(nnnzi求求 的收斂半徑的收斂半徑.,24ie ;)2(4inne nnn)2

15、()2(lim1 . 2 例例5 把函數(shù)把函數(shù)bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的冪的冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), 其中其中ba與與是不相等的復(fù)常數(shù)是不相等的復(fù)常數(shù) .解解把函數(shù)把函數(shù)bz 1寫成如下的形式寫成如下的形式: bz1)()(1abaz abazab 111代數(shù)變形代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)使其分母中出現(xiàn))(az 湊出湊出)(11zg 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 設(shè)設(shè),時(shí)時(shí)那那末末當(dāng)當(dāng)Raz 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂,且其和為且其和為.1bz 例

16、例6 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解12limlim 1 nnccnnnn因因?yàn)闉? 1 R所所以以利用逐項(xiàng)積分利用逐項(xiàng)積分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z例例7 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 01)12(nnnz的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解解1212limlim 11 nnnnnncc因?yàn)橐驗(yàn)?21 R所所以以,21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 例例8 計(jì)算計(jì)算.21,d)(1 zczzcnn為為其中其中解解,21內(nèi)內(nèi)在在 z 1)(nnzzS和和函函數(shù)數(shù) czzzId)111(所以所以02 i,1收斂收斂 nnz 01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i 五、小結(jié)與思考五、小結(jié)與思考 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)的概念和阿貝爾定這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)的概念和阿貝爾定理等內(nèi)容，應(yīng)掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法和冪級(jí)理等內(nèi)容，應(yīng)