信號與系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析ppt課件

1、*1第 2 章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 *2 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸納為建立并求解線性微分方程。 由于在分析過程中涉及的函數(shù)變量均為時間t ，故又稱為時域分析法。這種方法直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。 兩種時域分析方法：輸入輸出法是解一元 n 階微分方程，狀態(tài)變量法是解n元一階微分方程。*3系統(tǒng)時域分析的過程系統(tǒng)時域分析的過程 一般根據(jù)系統(tǒng)特性列寫方程，主要一般根據(jù)系統(tǒng)特性列寫方程，主要根據(jù)元件的約束和網(wǎng)絡拓撲約束。解方根據(jù)元件的約束和網(wǎng)絡拓撲約束。解方程的方法主要是數(shù)學中所學的方法程的方法主要是數(shù)學中所學的方法經(jīng)典法、雙零法和變換域方法。零輸入經(jīng)典法、雙零法和變換域

2、方法。零輸入響應可以用經(jīng)典法求，因為它是解齊次響應可以用經(jīng)典法求，因為它是解齊次方程，而零狀態(tài)響應可以用卷積積分法方程，而零狀態(tài)響應可以用卷積積分法求解。求解。*4本章重點和難點本章重點和難點v線性系統(tǒng)完全響應的求解線性系統(tǒng)完全響應的求解v沖激響應沖激響應 的求法的求法v卷積的性質卷積的性質v零狀態(tài)響應等于激勵與沖激響應的卷積零狀態(tài)響應等于激勵與沖激響應的卷積)(th*5 一、微分方程的建立 微分方程的列寫即物理模型的建立。描述系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型是線性常系數(shù)微分方程。對于電系統(tǒng)，列寫數(shù)學模型的基本依據(jù)有如下兩方面： 1. 元件特性約束VAR 在電流、電壓取關聯(lián)參

3、考方向條件下： (1)電阻R，uR(t)=RiR(t)； *6 (2)電感L， (3)電容C， (4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關系等。2. 拓撲結構約束指KCL與KVL 00( )1( ),( )( )tLLLLLtdi tu tLii tuddtL00( )1( ),( )( )( )tCCCCCtdutitCututiddtC*7解：由KVL，列出電壓方程：122211221()()()()()()1()()()()CLLLLLLutututRitd itLRitd td itd itd itutLRRCd td td t對上式求導，考慮到 11( )( )(

4、 )( )CCCdutitCRitu tdtiS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L例：輸入激勵是電流源例：輸入激勵是電流源iS(t),iS(t),試列出電流試列出電流iL(t) iL(t) 為響應的方程式。為響應的方程式。 CdttdiRdttdiLdttdiRtuCRLLC)()()()(1222111得得，*8根據(jù)根據(jù)KCLKCL，有，有iC(t)=iS(t)-iL(t)iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t)iL(t)2122212121()()()()()() )()(

5、)()1()1()()SLLLSLLLSLSditditditditititRLRCdtdtdtdtditRRditRditititdtLdtLCLdtLC整理上式后，可得：整理上式后，可得：iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L2122212121()()()()()() )()()()1()1()()SLLLSLLLSLSd itd itditd itititRLRCd td td td tditRRd itRd itititd tLd tLCLd tLC*9 二、微分方程的經(jīng)典解 描述LTI系統(tǒng)的激勵e(t)與響應r(t)之間關系的是n階常系數(shù)線性微分方程： r(n)(t)+

6、an-1r(n-1)(t)+a1r(1)(t)+a0r(t)= bme(m)(t)+bm-1e (m-1)(t)+b1e(1)(t)+b0e(t) 式中an-1，a1，a0和bm，bm-1，b1，b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解，用rh(t)表示，非齊次方程的特解用rp(t)表示，那么 r(t)(完全解)=rh(t)(齊次解)+rp(t)(特解)*10 1.齊次解 齊次解滿足齊次微分方程 r ( n ) ( t ) + a n - 1 r ( n -1)(t)+a1r(1)(t)+a0r(t)=0 由高等數(shù)學經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為： n+an

7、-1n-1+a1+a0=0*11 (1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解： (2)特征根有重根。若1是特征方程的重根，即有1=2=3=，而其余(n-)個根+1，+2，n都是單根，則微分方程的齊次解：1( )inthiiy tce1( )jntihiiytc te*12 (3)特征根有一對單復根。即1,2=ajb，則微分方程的齊次解： rh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt ( 4 ) 特 征 根 有 一 對 m 重 復 根 。 即 共 有 m 重1,2=ajb的復根，則微分方程的齊次解：112112( )coscoscossinsinsi

8、natmathmatatmatmy tcdtc tedtc tedtd ebtd tebtd tedt*13 例：求微分方程 y(t)+3y(t)+2 y(t)=e(t)的齊次解。 解：由特征方程2+3+2=0解得特征根1=-1、2=-2。因此該方程的齊次解： yh(t)=c1e-t+c2e-2t 例：求方程y(t)+2y(t)+y(t)=e(t)的齊次解。 解 由特征方程2+2+1=0解得二重根 1=2=-1，因此該方程的齊次解: yh(t)=c1e-t+c2te-t *14 2.特解 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關。教材P46表2-2列出了幾種類型的激勵函數(shù)e(t)及其所對應的特征解y

9、p(t)。選定特解后，將它代入原微分方程，求出其待定系數(shù)Pi，就可得出特解。 *15 例：若輸入激勵e(t)=e-t，試求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=e(t)的特解。 解：查教材表2-2及注3，因為e(t)=e-t，=-1與一個特征根1=-1相同，該方程的特解：1021010102( )()3()2()ttptttttttytPtePeddPtePePtePePtePeedtdt將特解將特解yp(t)代入微分方程，有：代入微分方程，有：P0？P1？*16例：已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程例：已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程初始條件初始條件y(0)=1, y(

10、0)=2, y(0)=1, y(0)=2, 輸入信號輸入信號f(t)=e-t u(t)f(t)=e-t u(t)，求系統(tǒng)的完全響應求系統(tǒng)的完全響應y(t)y(t)。 0),()(8)( 6)(ttftytyty0862 ss4221ss，tthBeAety42)(特征根為特征根為齊次解齊次解yh(t)yh(t)解：解： (1)(1)求齊次方程求齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=0y(t)+6y(t)+8y(t)=0的齊次解的齊次解yh(t)yh(t)特征方程為特征方程為*172) 2) 求非齊次方程的特解求非齊次方程的特解yp(t)yp(t)解得解得 A=5/2 A=5/2，B=-11

11、/6B=-11/6由輸入由輸入f(t)f(t)的形式，設方程的特解為的形式，設方程的特解為yp(t)=Ce-typ(t)=Ce-t將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3C=1/3。3) 3) 求方程的全解求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142)0( BAy0,3161125)(42teeetyttt*18 齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激勵的函數(shù)形式無關，特性有關，而與激勵的函數(shù)形式無關，稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應。稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應。 特解的函數(shù)形

12、式由激勵確定，稱特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為系統(tǒng)的強迫響應。為系統(tǒng)的強迫響應。*1900 若輸入是在若輸入是在t=0t=0時刻接入系統(tǒng)，則確定齊次解時刻接入系統(tǒng)，則確定齊次解中的待定系數(shù)時用中的待定系數(shù)時用t=0+t=0+時刻的初始條件，即時刻的初始條件，即從從 到到 狀態(tài)的轉換狀態(tài)的轉換1, 2 , 1 , 0),0()(njyj 包含激勵的作用，不便于描述系統(tǒng)歷史包含激勵的作用，不便于描述系統(tǒng)歷史信息。信息。)0()(jy 在在 時激勵尚未接入，該時刻的值時激勵尚未接入，該時刻的值 反應了系統(tǒng)的歷史情況，而與激勵無關，稱這些反應了系統(tǒng)的歷史情況，而與激勵無關，稱這些值為系統(tǒng)的起始狀態(tài)或值

13、為系統(tǒng)的起始狀態(tài)或 形狀。形狀。 0t)0()(jy 通常對于具體的系統(tǒng)，起始狀態(tài)一般容易求通常對于具體的系統(tǒng)，起始狀態(tài)一般容易求得。所以為了求解微分方程，就需要從已知的起得。所以為了求解微分方程，就需要從已知的起始狀態(tài)始狀態(tài) 設法求得初始條件設法求得初始條件 。)0()(jy)0()(jy0*20【例】如下圖，【例】如下圖，t0 時系統(tǒng)響應時系統(tǒng)響應 。)(te)0( Cv)(tvC+Rvc(0)e(t)vc(t)+deeRCvetvttRCCRCtC)(1)0()(0)(1)(1)(1)(teRCtvRCtvdtdCC兩端乘以兩端乘以 ：兩端求積分：兩端求積分：)(1)(teeRCtved

14、tdRCtCRCtRCtedeeRCvtvetRCCCRCt)(1)0()(0得得微分方程微分方程僅與激勵有關僅與激勵有關零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應僅與起始儲能有僅與起始儲能有關關零輸入響應零輸入響應*33完全響應自由響應強迫響應完全響應自由響應強迫響應 零輸入響應零狀態(tài)響應零輸入響應零狀態(tài)響應 通解特解通解特解 暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應教材例教材例2-8*34 一、沖激響應 由單位沖激信號(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，用h(t)表示。 二、階躍響應 由單位沖激信號u(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，用g(t)表示。*35:*36*37uuu*

15、38 教材例教材例2-92-9、2-102-10 系統(tǒng)的沖激響應系統(tǒng)的沖激響應h(t)h(t)反映的是系統(tǒng)反映的是系統(tǒng)的特性，只與系統(tǒng)的內部結構和元件參的特性，只與系統(tǒng)的內部結構和元件參數(shù)有關，而與系統(tǒng)的外部激勵無關。但數(shù)有關，而與系統(tǒng)的外部激勵無關。但系統(tǒng)的沖激響應系統(tǒng)的沖激響應h(t)h(t)可以由沖激信號可以由沖激信號(t)(t)作用于系統(tǒng)而求得。作用于系統(tǒng)而求得。*39 在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要將信號分解為基本信號的形式。這樣，對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治?，從而將復雜問題簡單化，且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰。信號分解為沖激信號序列就是其中的一個實例。 *

16、40 設f1(t)和f2(t)是定義在(-，)區(qū)間上的兩個連續(xù)時間信號，我們將積分 dtff)()(21定義為定義為f1(t)和和f2(t)的卷積的卷積 (Convolution)， 簡記為簡記為 dtfftftf)()()()(2121積分的結果為另一個新的時間信號。積分的結果為另一個新的時間信號。一、卷積的定義一、卷積的定義*41二、卷積積分法求解零狀態(tài)響應二、卷積積分法求解零狀態(tài)響應 在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)時，時，將任意信號將任意信號f(t)分解為沖激函數(shù)序列，然分解為沖激函數(shù)序列，然后令每一沖激函數(shù)單獨作用于系統(tǒng)并求后令每一沖激函數(shù)單獨作用于系統(tǒng)并求其沖

17、激響應，最后利用其沖激響應，最后利用LTI系統(tǒng)特性，將系統(tǒng)特性，將這些響應疊加即可解得系統(tǒng)對激勵這些響應疊加即可解得系統(tǒng)對激勵f(t)的的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應yf(t)。這個疊加的過程表現(xiàn)。這個疊加的過程表現(xiàn)為求卷積積分。為求卷積積分。*4200( )( )()()()()()()()()()()( )lim() ()( ) ()( )lim() ()kkkfkth ttkh tkf ktkf kh tkf ktkf kh tkf tf ktkf ttdytf kh tk ( ) ()f t h td 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)為輸入激勵f(t)與系統(tǒng)的沖激響應h(t)的卷積積分:( )( )

18、()( )( )fytf t h tdf th t*43 對于一些較簡單的函數(shù)符號，如方波、三角波等，可以利用圖解方式來計算。而且，熟練掌握圖解卷積的方法，對理解卷積的運算過程是有幫助的。 三、卷積圖解法三、卷積圖解法*44 1.卷積積分的代數(shù)性質 卷積積分是一種線性運算，它具有以下基本特征。 1) 交換律( )( )( )( )( )()( )()f th th tf tfh tdfh td四、卷積積分的性質四、卷積積分的性質*45系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律h1(t)h2(t)h1(t)h2(t)(t)(t)h(t) h1(t) h2(t)*h(t) h2(t) h1(t)*462

19、) 分配律分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) 兩個信號兩個信號f1(t)與與f2(t)疊加后通過某系疊加后通過某系統(tǒng)統(tǒng)h(t)將等于兩個信號分別通過此系統(tǒng)將等于兩個信號分別通過此系統(tǒng)h(t)后再疊加。后再疊加。 *47卷積分配律示意圖卷積分配律示意圖h(t)h(t)h(t)f1(t)f2(t)f1(t)f2(t)y(t)y(t)*48 3)結合律 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) )(1th)(2th)(*)(*)()(21ththtetr)(te*492. 2. 奇異信號的卷積特性奇異信號的卷積特性 信號信號f

20、(t)f(t)與沖激信號與沖激信號(t)(t)的卷積等于的卷積等于f(t)f(t)本身，本身，即：即： )()()(tfttf0)(tf或或*50(2) 信號信號f(t)與沖激偶與沖激偶(t)的卷積等于的卷積等于f(t)的導函數(shù)的導函數(shù))()(0)()()()()()()(*)(0tftfdtftfdtftft證：證：即沖激偶即沖激偶(t)(t)是微分器！是微分器！*51(3) 信號信號f(t)與階躍信號與階躍信號u(t)的卷積等于信號的卷積等于信號f(t)的積分的積分證：證：即即u(t)u(t)是積分器！是積分器！)()()()()(*)()1(tfdfdtuftftut)()(*)()(*

21、)()1(tftftututf*52 3. 卷積積分的微分和積分卷積積分的微分和積分留意留意: (3)式使用的條件是被求導的函數(shù)在式使用的條件是被求導的函數(shù)在 處為零值，或者被積分的函數(shù)在處為零值，或者被積分的函數(shù)在 區(qū)間上區(qū)間上的積分值為零。的積分值為零。t),(3. 3. 卷積的微分積分特性卷積的微分積分特性*53uuuuuu(t)u(t)u(t)u*54 4. 卷積的時移卷積的時移*55由卷積時移性質還可進一步得到如下推論：由卷積時移性質還可進一步得到如下推論： 若若f1(t)*f2(t)=y(t)，那么那么 )(2121221121)()()()()(tttttftftttyttftt

22、f式中，式中，t1和和t2為實常數(shù)。為實常數(shù)。 特別地，特別地， )()()(00ttftttf即即 是延時器！是延時器！)(0tt *56 例：已知某線性非時變(LTI) 系統(tǒng)如圖所示。圖中h1(t)=u(t),h2(t)=(t-1),h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，試求該系統(tǒng)的沖激響應h(t)。 解：當多個子系統(tǒng)通過級聯(lián)，并聯(lián)組成一個大系統(tǒng)時，大系統(tǒng)的沖激響應h(t)可以直接通過各子系統(tǒng)的沖激響應計算得到。h1(t)h2(t)h3(t)f (t)y(t)系 統(tǒng)*57 h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t) =h(t)*(t-1)+e-3(t-2)u(t-2) =u(t-1)

23、+e-3(t-2)u(t-2) h1(t)h2(t)h3(t)f (t)y(t)系 統(tǒng) 從圖可見，子系統(tǒng)從圖可見，子系統(tǒng)h1(t)h1(t)與與h2(t)h2(t)是級聯(lián)關是級聯(lián)關系，而系，而h3(t)h3(t)支路與支路與h1(t)h1(t)及及h2(t)h2(t)組成的支路是組成的支路是并聯(lián)關系，因此并聯(lián)關系，因此*58例：已知例：已知f1(t)=e-3t u(t)，f2(t)=e-5t u(t)，試計算，試計算兩信號的卷積兩信號的卷積f1(t)*f2(t)。 解：解：121235()35()3535( )( )( )()( )()1()21()( )2ttttttf tf tff tde

24、ueu tdeedeeeeu t上下限錯誤！上下限錯誤！缺少缺少u(t)！*59 例：已知信號f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)與 f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，試計算f1(t)*f2(t)。 解:根據(jù)卷積積分的定義，可得 12123(1)5(2)3(1)5(2)3(3)5(3)3(3)5(3)( )( )( )()(1)(2)1()21()(3)2ttttttf tf tff tdeueu tdeedeeeeu t *60規(guī)定規(guī)定1： p稱為微分算子，稱為微分算子， 的含義是的含義是 。規(guī)定規(guī)定2： 如：如：dtdp)(tpfdttdf)(0,ndtdpnnn)()(444

25、tfdtdtfp微分算子與微分方程微分算子與微分方程*61規(guī)定規(guī)定3： 稱為積分算子，稱為積分算子， 的含義是的含義是 。tdtp)(1)(1tfptdttf)(p1*62規(guī)定規(guī)定4：設：設 為常數(shù)，那么為常數(shù)，那么 的含義是：的含義是：0111)(apapapapDnnnnia)()(tfpD)()()()()()(011110111tfatfdtdatfdtdatfdtdatfapapapannnnnnnnnn*63規(guī)定規(guī)定5：設：設 和和 是是 的正冪多項式，的正冪多項式， 則方程則方程 所代表的方程是所代表的方程是 算子方程：含微分算子的方程。算子方程：含微分算子的方程。)()()()

26、(tfpDpNty)(pD)(pNp)()()()(tfpNtypD*64 假設假設 稱為稱為 對對 的傳輸算子。的傳輸算子。它代表系統(tǒng)對輸入的傳輸作用，或系統(tǒng)將輸它代表系統(tǒng)對輸入的傳輸作用，或系統(tǒng)將輸入轉移為輸出的作用，又稱入轉移為輸出的作用，又稱 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的傳輸算子。傳輸算子。)()()(pDpNpH)( pH)(ty)(tf)( pH*65舉例舉例1： 對應的方程為對應的方程為 或或 42)(2PppH)()2()()4(2tfptyp)(2)()(4)(tftftyty *66性質性質1：以：以 的正冪多項式出現(xiàn)的算子式可的正冪多項式出現(xiàn)的算子式可以像代數(shù)多項式一樣進行相乘和因式

27、分解。以像代數(shù)多項式一樣進行相乘和因式分解。如：如：又如：又如： 微分算子的性質p)() 65()() 2)(3(2tfpptfpp)() 2)(2()() 4(2tfpptfp*67性質性質2：設：設 和和 都是都是 的正冪多項的正冪多項式，那么：式，那么：)()()()()()(tfpApBtfpBpA)(pA)(pBp*68性質性質3：算子方程兩邊的公共因子不能隨便：算子方程兩邊的公共因子不能隨便 消去。消去。 如若如若 那么那么 不一定成立！不一定成立！)()(tpftpy( )( )y tft*69 電路系統(tǒng)中微分方程的建立元件名稱電路符號 關系運算模型電阻電容電感iuRtitu)()(pCtitu1)()(pLtitu)()()()(tRitutdttiCtu)(1)(dttdiLtu)()(