向量內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與距離公式教學(xué)設(shè)計

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊7.4.2 向量內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與距離公式【教學(xué)目標(biāo)】1. 掌握向量內(nèi)積的坐標(biāo)表示，并應(yīng)用向量內(nèi)積的知識解決有關(guān)長度、角度和垂直的問題2. 能夠根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否垂直3. 通過學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力【教學(xué)重點(diǎn)】向量內(nèi)積的坐標(biāo)表達(dá)式，向量垂直的充要條件，向量長度的計算公式的應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】向量內(nèi)積的坐標(biāo)表達(dá)式的推導(dǎo)，即 a·b| a | | b | cosa，b與 a·ba1b1a2b2兩個式子的內(nèi)在聯(lián)系【教學(xué)方法】 本節(jié)課采用啟發(fā)式教學(xué)和講練結(jié)合的教學(xué)方法向量內(nèi)積的坐標(biāo)表達(dá)式

2、，是向量運(yùn)算內(nèi)容與形式的統(tǒng)一無論是向量的線性運(yùn)算還是向量的內(nèi)積運(yùn)算，最終歸結(jié)為直角坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住這條線索，不斷使學(xué)生的平面向量知識系統(tǒng)化、條理化，從而有利于學(xué)生知識體系的形成【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖導(dǎo)入1已知非零向量a 與 b ，則a與b的內(nèi)積表達(dá)式是怎樣的？由內(nèi)積表達(dá)式怎樣求cosa，b？2 ab Û ；3 | a | 與有何關(guān)系？教師提出問題學(xué)生回憶解答師生共同回憶舊知識師：對平面向量的內(nèi)積的研究不能僅僅停留在幾何角度，還要尋求其坐標(biāo)表示引出探究問題為知識遷移做準(zhǔn)備新課新課新課新課已知e1，e2 是直角坐標(biāo)平面上的基向量，a(a1，a2)，b(b

3、1，b2)，你能推導(dǎo)出a·b 的坐標(biāo)公式嗎？ 探究過程a·b(a1e1a2e2)·(b1e1b2e2)a1b1e1·e1a1b2e1·e2a2b1e1·e2a2b2e2·e2，又因為 e1·e11，e2·e21，e1·e20，所以a·ba1b1a2b2定理 在平面直角坐標(biāo)系中，已知e1，e2 是直角坐標(biāo)平面上的基向量，兩個非零向量 a(a1，a2)，b(b1，b2)，則a·ba1b1a2b2 這就是說，兩個向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和我們還可以得到以下結(jié)論：(1)向量

4、垂直的充要條件為 abÛ a1 b1a2 b20；(2)兩向量夾角余弦的計算公式為cosa，b問題：(1)若已知a(a1，a2) ，你能用上面的定理求出| a | 嗎？解 因為| a |2a·a(a1，a2)·(a1，a2)a12a22，所以| a |這就是根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長度的計算公式(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出| 嗎？解 因為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(x2x1，y2y1)因為| a |，所以|，這就是根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離公式例1 設(shè)a(3，1)，b(1，2)，求：(1) a·b； (2) |

5、a |；(3) | b |； (4)a，b解 (1) a·b3×1(1)×(2)325；(2) | a |；(3) | b |；(4) 因為cosa，b，所以a，b例2 已知A(2，4)，B(2，3)，求|解 因為A(2，4)，B(2，3)，所以(2，3) (2，4)(4，7)，所以|例3 已知A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求證：ABC 是等腰三角形證明 因為(31，42)(2，2)，(51，02)(4，2)，(53，04)(2，4)，|，|，所以|因此ABC是等腰三角形例4 已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，求證：證明 因為(21，32)

6、(1，1)，(21，52)(3，3)，可得·(1，1)·(3，3)0所以 練習(xí)1已知 A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，求證： ÐBAC=2已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是7，點(diǎn)P到點(diǎn)N(1，5)的距離等于10，求點(diǎn)P的坐標(biāo)學(xué)生討論并回答，教師再提出的下列問題：（1）(a1e1a2e2)·(b1 e1b2 e2)是怎樣進(jìn)行運(yùn)算的？（2）e1·e1，e2·e2 ，e1·e2的內(nèi)積是怎樣計算的？教師針對學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評師生共同寫出詳細(xì)的探究過程教師給出向量內(nèi)積的直角坐標(biāo)運(yùn)算公式并引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹鲈诮處煹囊龑?dǎo)下學(xué)生討論得出教師提出問

7、題，稍加點(diǎn)撥學(xué)生討論解答教師總結(jié)得出這就是根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長度的計算公式 教師提出問題學(xué)生討論解答教師總結(jié)得出這就是根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)之間的距離公式學(xué)生嘗試解答教師針對學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評教師點(diǎn)撥，學(xué)生解答教師針對學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評教師點(diǎn)撥，學(xué)生討論解答小組討論時教師巡視，并針對學(xué)生的回答給予補(bǔ)充、完善最后師生共同完成此題教師給出具體的解題步驟教師點(diǎn)撥，學(xué)生解答教師針對學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評 師生合作共同完成問題為復(fù)習(xí)向量的線性運(yùn)算和向量的內(nèi)積而設(shè)計通過學(xué)生的探究給出結(jié)論，比直接給出更符合學(xué)生的特點(diǎn)，容易被學(xué)生接受通過結(jié)論的探究，讓學(xué)生初步感受到無論是向量的線性運(yùn)算還是向量的內(nèi)積運(yùn)算，最終都?xì)w

8、結(jié)為直角坐標(biāo)運(yùn)算通過對問題的詳細(xì)探究得到性質(zhì)，比直接給出結(jié)論更容易被學(xué)生接受同時加深對a·ba1b1a2b2的理解從而提高學(xué)生的思維能力 使剛剛學(xué)過的知識及時得到應(yīng)用通過例1可讓學(xué)生加深對向量內(nèi)積的直角坐標(biāo)運(yùn)算公式及向量的長度公式的理解和記憶鞏固公式，形成技能在板書證明的過程中，突出解題思路與步驟通過學(xué)生討論，老師點(diǎn)撥，可以突出解題思路，深化解題步驟，分解難點(diǎn)順利幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)新知后緊跟練習(xí)，有利于幫助學(xué)生更好的梳理和總結(jié)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容有利于教師檢驗學(xué)生的掌握情況小結(jié)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算與距離公式，常見的題型主要有：(1)直接用兩向量的坐標(biāo)計算內(nèi)積；(2)根據(jù)向量的坐標(biāo)求模；(3