上海解析幾何綜合測試題附答案

1、.1 F、 F 是橢圓x2y 21的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則| PF | | PF |的最大值是124122若直線 mx+ny 3=0 與圓 x2+y2=3 沒有公共點，則 m、 n 滿足的關(guān)系式為 _ ；以（ m，n ）為點P 的坐標(biāo)，過點P 的一條直線與橢圓x 2y 2+=1 的公共點有 _個 .733.P 是拋物線 y2=x 上的動點， Q是圓 (x-3) 2+y2=1 的動點，則 PQ的最小值為.4若圓 x 2y 22axa210與拋物線 y21 x 有兩個公共點。 則實數(shù) a 的范圍為.25 若曲線yx24與直線yk (x2) +3有兩個不同的公共點，則實數(shù)k 的取值范圍是.

2、6圓心在直線2x y 7=0 上的圓 C 與 y 軸交于兩點A （ 0， 4）、B （ 0， 2），則圓 C 的方程為_.2222x y 4=0 上的圓的方程為7經(jīng)過兩圓（ x+3） +y =13 和 x+（ y+3） =37 的交點，且圓心在直線_8.雙曲線 x2 y2 1 的左焦點為 F，點 P 為左支下半支上任意一點（異于頂點） ，則直線 PF 的斜率的變化范圍是 _.9已知 A （ 0， 7）、 B（ 0， 7）、C（ 12， 2），以 C 為一個焦點作過A 、 B 的橢圓，橢圓的另一個焦點 F 的軌跡方程是 _.10設(shè)122 ，1上位于第一象限的點，對于命題P（ 2，2 ）、P （2

3、 ），M 是雙曲線 y=x|MP2| |MP 1|=2 2 ；以線段MP 1 為直徑的圓與圓 x2+y2=2 相切；存在常數(shù) b，使得 M 到直線y= x+b 的距離等于2|MP 1|.其中所有正確命題的序號是 _.211到兩定點 A（ 0， 0），B （ 3， 4）距離之和為5 的點的軌跡是（）A. 橢圓B.AB 所在直線C.線段 ABD.無軌跡12若點（ x， y）在橢圓4x2+y2=4 上，則y的最小值為（）x2A.1B.123D. 以上都不對C.312x 2+y2 1 的兩個焦點， P 是橢圓上的點，當(dāng) F 1213已知F（ 3， 0）、F（ 3， 0）是橢圓mnPF2時， F 1PF

4、 2 的面積最大，則有（）3A. m=12， n=3B.m=24， n=63D. m=12， n=6C.m=6， n=214.P 為雙曲線 C 上一點， F1、F2 是雙曲線 C 的兩個焦點，過雙曲線C的一個焦點 F1 作 F1PF2 的平分線的垂線，設(shè)垂足為Q，則 Q點的軌跡是 () 12.A. 直線B. 圓C. 橢圓D. 雙曲線三、解答題.15（滿分 10 分）如下圖，過拋物線200）y =2px（ p 0）上一定點P（ x， y（ y0 0），作兩條直線分別交拋物線于A （ x1， y1）、 B （ x2， y2） .（ 1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為p 的點到其焦點F 的距離；2（ 2）當(dāng)

5、PA 與 PB 的斜率存在且傾斜角互補時，求y1y2的值，并證明直線 AB 的斜率是非零常數(shù) .y016（滿分 10 分）如下圖， O 為坐標(biāo)原點， 直線 l 在 x 軸和 y 軸上的截距分別是a 和 b（ a0，b 0），且交拋物線 y2=2px （ p0）于 M （ x1， y1）， N（ x2， y2）兩點 .（ 1）證明： 1+1=1 ；（ 2）當(dāng) a=2p 時，求 MON 的大小 .y1y2bylyMPO AxaxObNB（ 15 題圖）（ 16 題圖）x2y 2x 2y217（滿分 10 分） 已知橢圓 C 的方程為 a2+ b 2 =1（ ab0），雙曲線a2b2 =1 的兩條漸

6、近線為 l1、l 2，過橢圓 C 的右焦點 F 作直線 l，使 l l 1，又 l 與 l 2 交于 P 點，設(shè) l 與橢圓 C 的兩個交點由上至下依次為 A、 B .（如下圖）（ 1）當(dāng) l1 與 l2 夾角為 60，雙曲線的焦距為4 時，求橢圓C 的方程；（ 2）當(dāng) FA = AP 時，求 的最大值 .yAylBPl2AxOFxOBl1（ 17 題圖）（ 18 題圖）18（滿分 10 分）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線 yx2 上異于坐標(biāo)原點的兩不同動點、滿足 AOBO （如上圖）（）求AOB 得重心（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（）AOB 的面積是否存在最小值？若存在，請求出

7、最小值；若不存在，請說明理由19（滿分 12 分）拋物線 y2=4px（ p0）的準(zhǔn)線與 x 軸交于 M 點，過點 M 作直線 l 交拋物線于 A 、B兩點.（ 1）若線段AB 的垂直平分線交x 軸于 N（ x0， 0），求證： x03p；（ 2）若直線l 的斜率依次為p， p2， p3， ，線段AB 的垂直平分線與x 軸的交點依次為N 1，N2， N3， ，當(dāng)11+ +1的值 .0p1 時，求+| N10 N11 |N1N2 | |N2N3 |20（滿分 12 分）設(shè) A 、B 是橢圓 3x 2y 2上的兩點，點N （ 1，3）是線段AB 的中點，線段AB 的垂直平分線與橢圓相交于C、 D

8、兩點 .（）確定的取值范圍，并求直線AB 的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得 A 、 B、 C、 D 四點在同一個圓上？并說明理由.解析幾何綜合題12x2y 21P121 F、 F 是橢圓4的左、右焦點，點在橢圓上運動，則 | PF | | PF | 的最大值是1答案：4簡解：|PF1 | PF2| (| PF1 | | PF2 |)2a2422若直線 mx +ny 3=0 與圓 x2 +y2=3 沒有公共點，則m、n 滿足的關(guān)系式為 _；以（ m，n ）為點 P 的坐標(biāo)，過點P 的一條直線與橢圓x2y 2+=1 的公共點有 _個 .732 答案： 0m2+n23 ； 2簡解：將直線mx+

9、ny 3=0 變形代入圓方程x2+y2=3，消去 x，得（m2+n2） y2 6ny +9 3m2=0.令 0 得 m2+n23.又 m、n 不同時為零， 0m2+n23.由 0m2+n 23，可知 |n|3， |m|0， b 0），且交拋物線y2=2px（ p0）于 M （ x1， y1）， N（ x2， y2）兩點 .（ 1）證明： 1 + 1 =1； y1 y2 b.（ 2）當(dāng) a=2 p 時，求 MON 的大小 .lyMOaxbN16 證明：（ 1）直線 l 的截距式方程為xy2+2pay 2pab=0.+=1.，由及 y2=2px 消去 x 可得 byab解： 點 M 、 N 的縱坐

10、標(biāo) y1、 y2 為的兩個根，故 y1+y2=2 pa ， y1y2= 2pa.b2 pa所以11y1 y2=b1+=y1 y 2= .y1y22 pa b（ 2）解：設(shè)直線 OM 、ON 的斜率分別為k1、 k2，則 k1= y1 ， k2= y2 .x1x2當(dāng) a=2p 時，由（ 2）知， y1y2= 2pa= 4p2，由 y12=2px 1， y22=2 px2，相乘得（ y1y2） 2=4p2x1x2，( y1 y2 ) 2=( 4 p2 ) 2=4p2，x1x2=4 p 24 p 2因此 k1k2= y1 y2 =4p 2= 1.x1 x24 p 2所以 OM ON ，即 MON =

11、90 .17已知橢圓x2y 2x 2y 2l1、 l 2，過橢C 的方程為2+2 =1（ ab0），雙曲線a2b2 =1 的兩條漸近線為ab圓 C 的右焦點 F 作直線 l，使 l l1 ，又 l 與 l 2 交于 P 點，設(shè) l 與橢圓 C 的兩個交點由上至下依次為A、 B .（如下圖）ylPl 2AOFxBl1（ 1）當(dāng) l1 與 l2 夾角為 60，雙曲線的焦距為4 時，求橢圓C 的方程；（ 2）當(dāng) FA = AP 時，求 的最大值 .17 解：（ 1）雙曲線的漸近線為 y=b60，x，兩漸近線夾角為a.又 b 0）的準(zhǔn)線與 x 軸交于 M 點，過點 M 作直線 l 交拋物線于 A、 B

12、 兩點 .（ 1）若線段 AB 的垂直平分線交x 軸于 N（ x0， 0），求證： x03p；（ 2）若直線 l 的斜率依次為p， p2， p3， ，線段 AB 的垂直平分線與x 軸的交點依次為N 1，N2， N3， ，當(dāng) 0p0，得 0k21.2k 2 p4 p， y1+y2=k（ x1+x2+2 p） =4 p，令 A （ x1， y1）、 B（ x2， y2），則 x1+x2=k 2kAB 中點坐標(biāo)為（2pk2 p，2 p） .k 2kAB 垂直平分線為y2 p1（ x2 pk 2 p） .k=k2kk 2 p2 p2 p令 y=0，得 x0=k 2=p+ k 2 .由上可知 0 k2p

13、+2 p=3p. x03p.（ 2）解：l 的斜率依次為p，p2，p3， 時，AB 中垂線與x 軸交點依次為N1，N 2，N 3， （ 0p12，即的取值范圍是（12， +） .于是，直線AB 的方程為y3(x1),即xy40.解法 2：設(shè)(,),(,), 則有A x1y1B x2 y23x12y12,3( x1x2 )( x1x2 ) ( y1y2 )( y1y2 ) 0.3x22y22依題意， x1x2 ,kAB3( x1x2 ) .y1y2N (1,3)是AB的中點 ,x1x22, y1 y26, 從而 k AB1.又由 N (1,3)在橢圓內(nèi) ,3123212.的取值范圍是 (12,)

14、.直線的方程為y 3( x 1),即x y 4 0.AB（ II ）解法1：CD垂直平分 AB,直線 CD的方程為 y3 x 1,即xy 2 0. 代入橢圓方程，整理得4x 24x40.又設(shè) C ( x3 , y3 ), D (x4 , y4 ), CD 的中點為 M ( x0 , y0 ), 則 x3 , x4 是方程 的兩根，.x3x41(x3x4 )1x031,且 x0, y02,222即 M (1,32).2于是由弦長公式可得|CD |1( 1) 2 | x3x4 |2(3).k將直線 AB的方程 xy4 0, 代入橢圓方程得4x 28x160.同理可得|AB|1k 2| x1x2 |

15、2(12).當(dāng)12時 ,2(3)2(12)., | AB | | CD |.假設(shè)在在12，使得 A 、 B、 C 、 D 四點共圓，則CD 必為圓的直徑，點M 為圓心.點M 到直線 AB 的距離為134 | x0y04 |3 22 2d22.2于是，由、式和勾股定理可得|MA |2 |MB |2d 2|AB|291223 |CD|2.2222故當(dāng)12 時， A 、 B、 C、 D 四點均在以 M 為圓心， | CD | 為半徑的圓上 .2（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：A 、 B、C、D 共圓 ACD 為直角三角形， A 為直角|AN |2 |CN | DN |,即(| AB |)2(|CD |d )( | CD |d ).222由式知，式左邊=12 .2由和知，式右邊= (2(3)3 2)(2(3)3 2 )22223912 ,222式成立，即A 、B、C、D 四點共圓解法 2：由（ II ）解法 1 及12.CD垂直平分 AB,直線 CD方程為 y3x1, 代入橢圓方