矢量分析與場(chǎng)論課后答案..

1、矢量分析與場(chǎng)論習(xí)題11 寫出下列曲線的矢量方程，并說明它們是何種曲線。1 x 二 a cost, y 二 bsint2 x = 3sin t, y = 4sin t,z = 3cost解： 1 r = acosti bsintj，其圖形是xOy平面上之橢圓。2 r = 3sinti 4sin tj 3costk ，其圖形是平面4x-3y = 0與圓柱面x2 z2 =32之交線，為一橢圓。4.求曲線223x"y=t的一個(gè)切向單位矢量解：曲線的矢量方程為r = ti t2j -t3k3則其切向矢量為VII9dt" 2tj 2t2kdr i 242模為 y 4t 4t =1 2t

2、O于是切向單位矢量為dr dr | i 2tj 2t2k孫詁 1 2t22H6求曲線x=：asin t,y =asin2t,z =acost,在t處的一個(gè)切向矢量。4解：曲線矢量方程為r二asirntr asin2j acogk切向矢量為drasin2ti 2acos2 asirtk在t 處，.47.求曲線x二t2 T, y = 4t - 3, z = 2t2 - 6t在對(duì)應(yīng)于t二2的點(diǎn)M處的切線方程和法平面方程。2 2解：由題意得M(5,5,-4),曲線矢量方程為r=(t 1)i (4t -3)j (2t - 6t)k,dr在 t =2的點(diǎn) M處，切向矢量2ti 4j (4t _ 6)kt/

3、 = 4i 4j 2kdty-于是切線方程為=1 5丄4,即=X 5 =3 4442221于是法平面方程為2（x 一 5） 2（ y 一 5） （z 4） = 0，即2x 2y z - 16 = 0&求曲線 tit2j t3k上的這樣的點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線平行于平面解：曲線切向矢量為dr2dT，2tj 3tk，平面的法矢量為i 2j k，由題知2 2pi 2tj 3t2ki 2j k =1 4t 3t2 =0將此依次代入式，得j - k, |1 -i 1 j -丄k-33927(11 127丿故所求點(diǎn)為 _1,1-1 ,1-，-,39習(xí)題21 說出下列數(shù)量場(chǎng)所在的空間區(qū)域，并求出其等值面。

4、 11 u；Ax +By +Cz + D2 u = arcsinzx2y2解：1場(chǎng)所在的空間區(qū)域是除 Ax By Cz0外的空間。等值面為1 1G或Ax By Cz D0 （Ci = 0為任意常數(shù)），這是與平Ax By Cz D6面Ax By " Cz " D = 0平行的空間。2 2 22場(chǎng)所在的空間區(qū)域是除原點(diǎn)以外的 z<x y的點(diǎn)所組成的空間部分。等值面為 z2 =(x2 y2)sin2c,(x2 y2 = 0)，當(dāng)sine = 0時(shí)，是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的一族圓錐面(除頂點(diǎn)外)；當(dāng)sinc=0時(shí)，是除原點(diǎn)外的 xOy平面。X2 + y22求數(shù)量場(chǎng)u經(jīng)過點(diǎn)M 1,1

5、,2的等值面方程。z解：經(jīng)過點(diǎn) M 1,1,2等值面方程為x2 十 y212 十12u1 ,z2即x2 y2，是除去原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)拋物面。3已知數(shù)量場(chǎng)u = xy，求場(chǎng)中與直線 x 2y -4 = 0相切的等值線方程。解：設(shè)切點(diǎn)為 x0,y0 ，等值面方程為 xyncnxoyo，因相切，則斜率為Z，即 X。二 2y°X。2點(diǎn)Xo，y°在所給直線上，有Xo 2y° -4 = 0解之得y0 = 1, x0 = 2故 xy = 24求矢量 A = xy2i x2yj zy2k的矢量線方程。解矢量線滿足的微分方程為A dr=0,亠 dxdydz或222xy x y zy厶dx

6、 dz有 xdx = ydy, =.解之得2 2X _y =C1,(C1,C2為任意常數(shù))z = C2x5.求矢量場(chǎng) x2i y2j (x y)zk通過點(diǎn)M (2,1,1)的矢量線方程。dx解矢量線滿足的微分方程為豈x2dy _y2(xdzy)zdy2y11得一二6，xy按等比定理有d(x - y) x2 - y2 (x y)z'dz即 d(x-y) x y=d?.解得 x - y = C 2 z z故矢量線方程為11 cC1,x y 1 又 M (2,1,1)求得 Cx y Gz故所求矢量線方程為1 1 1 廠2.、x_y = z習(xí)題3232<241. 求數(shù)量場(chǎng)u二x z 2y

7、 z在點(diǎn)M 2,0, -1處沿|二2xi-xy j 3z k的方向?qū)?shù)。解：因 I M =(2xi xy2j +3z°k L =4i +3k，其方向余弦為4 內(nèi)v 3cos ,cos 0,cos5 5aa在點(diǎn)M(2,0,-1)處有蘭=2xz3工4,蘭dxcy=4yz = 0, U = 3x2z2 2y2 =12, cz所以出二4(_4) 0 «0 3.12二4a 552. 求數(shù)量場(chǎng) u =3x2z - xy z2 在點(diǎn) M 1, -1,1 處沿曲線 x = t, y - -t2,z = t3 朝 t增大一方的方向?qū)?shù)。曲線上點(diǎn)解：所求方向?qū)?shù)，等于函數(shù)u在該點(diǎn)處沿曲線上同一

8、方向的切線方向?qū)?shù)。M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=1 ,從而在點(diǎn)M處沿所取方向，曲線的切向方向?qū)?shù)為dx=1理=-2tdtMdtM其方向余弦為cos：-dz一 cos :14_x=3t2t3，2 ,cosG31414-i,：u：z= (3x2 2z)M =5。于是所求方向?qū)?shù)為Su= Gcos：:xuucos cos ) :y:z=7(1)253 二 24141414143求數(shù)量場(chǎng)u=x2yz3在點(diǎn)M 2,1,-1處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大?cu0解： 因 一 =(grad u )“1 = grad u cosT , T當(dāng)v - 0時(shí)，方向?qū)?shù)最大。gradu Mcu -k) cz= (2xy£

9、;i + x2z3j + 3x2yz2k)M = -如4j +12k,即函數(shù)u沿梯度grad u M =4i 4j + 12k方向的方向?qū)?shù)最大最大值為 grad u| M = J176 =4丿11。1 13L4.畫出平面場(chǎng)u (x2 - y2)中u=0, ,1, ,2的等值線，并畫出場(chǎng)在皿1(2八2)與點(diǎn)2 22M 2(3八7)處的梯度矢量，看其是否符合下面事實(shí)：(1 )梯度在等值線較密處的模較大，在較稀處的模較??；(2)在每一點(diǎn)處，梯度垂直于該點(diǎn)的等值線，并指向u增大的方向。2 x2 -y2=0,x2 -y=1,解：所述等值線的方程為：2 x2 -y= 2,x22 -y-3,其中第一個(gè)又可

10、以寫為2 x2 -y=4,（如下圖，圖中 Ggrad u Mi,G2 -grad u m2,）由于 grad u = xi 一 yj,故grad u =2i - jQj,grad u m2 = 3i J7j,由圖可見，其圖形都符合所論之事實(shí)。5.用以下二法求數(shù)量場(chǎng) u二xy yz，zx在點(diǎn)P 1,2,3處沿其矢徑方向的方向?qū)?shù)。1 直接應(yīng)用方向?qū)?shù)公式；2 作為梯度在該方向上的投影。解：（1 ）點(diǎn)P的矢徑r = i + 2 j + 3k,其模r =其方向余弦為cos：1:23,cos = ,cos .又 141414.x=(y z)p =£u5, 一 =(x + z=(x y)p =

11、3:u，旬丄£uR丄£u汽、=(CO護(hù)十COSP 十cos)axdycz514233= 22v1414-14(2 )graduL、L、；u ujyk) = 5i + 4 j + 3k, .:z+ -k.故:u.l=grad u0 p *r12322=5 43 泊一514 414 314146，求數(shù)量場(chǎng) u =x2 2y2 3z2 xy 3x _2y _6z在點(diǎn) 0(0,0,0)與點(diǎn) A(1,1,1)處梯度的大小和方向余弦。又問在哪些點(diǎn)上梯度為0?解：grad u = (2x y 3) i (4y x - 2) j (6z - 6)k,graduO = 3i -2j _6k,

12、graduA = 6i + 3j+0k,其模依次為：32 （一2）2 （一6）2 =7八 62 32 02 二 3、. 5于是 grad u O的方向余弦為COS：=-,COS :gradu A的方向余弦為co的 =L,cos0 =丄,cosY = 0.、5 52x + y + 3 = 0,求使gradu=0之點(diǎn)，即求坐標(biāo)滿足 4y + x_2 = 0,之點(diǎn)，由此解得6z 6 = 0x=-2, y=1,z=1 故所求之點(diǎn)為（-2,1,1）.7通過梯度求曲面 x2y 2xz二4上一點(diǎn)M (1,-2,3)處的法線方程。2解：所給曲面可視為數(shù)量場(chǎng)u = x y 2xz的一張等值面，因此，場(chǎng) u在點(diǎn)M

13、處的梯度，就是曲面在該點(diǎn)的法矢量，即grad u M = (2xy + 2z)i + x2 j + 2xk 皿=2i + j + 2k,故所求的法線方程為x1 y 2 z-32 1 2習(xí)題41. 設(shè)S為上半球面x2 y2 z2 =a2(z_0),求矢量場(chǎng)r =xi yj zk向上穿過S的通量:-：J?！咎崾荆鹤⒁?S的法矢量n與r同指向】解：=仃 r dS=仃 rndS=仃 |r dSdS =a 2g2 = 2a3.SSSS2. 設(shè)S為曲面x2 y2 z2二a2(0 - z - h),求流速場(chǎng)v = (x y z)k在單位時(shí)間內(nèi)下側(cè)穿S的流量Q2 2解：Q= (x y z)dxdy (x y

14、x y )dxdy 其中 d為 s在 xOy 面上的SD2-h 22d (r2cos r2sin0 03 2 二r3)dr(cos sin)0h3投影區(qū)域：2x2h.用極坐標(biāo)計(jì)算，有 Q = - (rcos rsin r )rdrdDi 22-3.設(shè)S是錐面z = . x y 在平面z = 4的下方部分，求矢量場(chǎng) A = 4xzi yzj 3zk向下穿出S的通量”。解：略4. 求下面矢量場(chǎng)A的散度。(1) A =(x3 yz)i (y2 xz)j (z3xy)k;(2) A =(2z-3y)i (3x-z)j (y-2x)k;(3) A =(1 ysinx)i (xcosy y)j.2 2解：

15、(1)div A = 3x 2y 3z(2) div A =0(3) div A = ycosx - xsin y 15. 求 div A 在給定點(diǎn)處的值：(1)= x3i y3 j z3k在點(diǎn) M(1,0,-1)處；(2) A =4xi -2xyj z2k在點(diǎn) M(1,1,3)處；(3) A 二 xyzn(r 二 xi yj zk)在點(diǎn) M(1,3,2)處；解：(1) div A M = (3x2 + 3y2 + 3z2) M = 6(2) div A” =(4 2x + 2z)m =8(3) div A = xyzdiv r grad(xyz) r = 3xyz (yzi xzj xyk)

16、 (xi yj zk)= 6xyz, 故div A6xyz36。6.已知 u = xy 2 z3, A = x 2 i xzj - 2 yzk ,求 div (uA)。 解：div A = 2x _ 2ygrad u = y2z3i 2 xyz 3 j 3xy 2z2k故 div (uA)=udiv A grad u AII= xy2z3(2x-2y) (y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k)(x2i xzj - 2yzk)2232332232433二 2x y z - 2x y z xyz 2x yz - 6xy z= 3x2y2z3-8x2y3z3 2x2yz4.7.求矢量場(chǎng)A從內(nèi)穿出

17、所給閉曲面 S的通量G :(1)A=x3i y3j z3k,S為球面 x2 y2 z2 = a2;(2)A=(x - y z)i (y - z x)j (z - x y)k,S為橢球面2 x2az2)dV12 a55=口 A dS= Hldiv AdV = Iff 3(x2s門門, 2 2 2 2其中二為S所圍之球域x y z _ a今用極坐標(biāo)= rsincos ,y = rsinrsin ,z = rcos 計(jì)算，有=3 ir2 r2sindrdd =3 d sind r4dr=o o-Q4(2)=ffA dS=JJJdivAdV =3JJJdV = 3 iabc=4iabcSdQ3習(xí)題五1

18、. 求一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng) F =-yi-zj xk的作用下沿閉曲線I : x = acost,y = asint.z = a(1 - cost)從t = 0到 t = 2運(yùn)動(dòng)一周時(shí)所做的功。解：功 W = F dl - ydx - zdy xdz=0 a2 sin21 一 a2(4 一 cost) cost a2 costsint dt2 2 二 2=a 0 (4 cost+costsint)dt = 2n：a2.求矢量場(chǎng)-yi xj Ck(C為常數(shù))沿下列曲線的環(huán)量：(1)圓周 x2 - y2 二 R2, z = 0 ；(2)圓周(X -2)2 y2 二 R2,z =0。二R2,z = 0的方程成

19、為解: (1 )令 x 二 Rcosr，則圓周 x2 y2x = Rcost, y = Rsin v,z = 0，于是環(huán)量-二 A dl - ydx xdy Cdz 二ll2 | 2 2 2o (R2sin2r R2cosn)d)- 2 R .(2)令 x -2 二 Rcosr，則圓周(x -2)2 y2 = R2,z = 0的方程成為x = Rcos J 2, y = Rsin z = 0，于是環(huán)量2兀 22-二 A dl 二 -ydx xdy Cdz 二 o R sin(Rcosv 2)Rcosvd)1 l2 2 2(R2 2RcosR - 2 R23.用以下兩種方法求矢量場(chǎng)A = x(z

20、 - y)i y(x - z)j z(y - x)k在點(diǎn)M( 4,2,3)處沿方 向n = i 2j 2k的環(huán)量面密度。(4) 直接應(yīng)用環(huán)量面密度的計(jì)算公式；(2 )作為旋度在該方向上的投影。解：(1) n0 =黑=4i+2 j+2k,故 n的方向余弦為 co護(hù)=4,cosP = 2 ,cos = 2. ni 333333又P = x(zy),Q二y(x - z), R二z( y - x)根據(jù)公式，環(huán)量面密度叫 M =(Ry -Qz)co爐 +(Pz Rx)cos0 +(Qx Py)cos?】M422珂(z疾(x營(yíng)(x y)4586佃4T=3333 rot Am 二(z y)i (x z)j

21、(x y)k5i 4j 3k,于是M =rotA* n01 2 2.(5i 4j 3k).(-i -j -k)19358=+_ +_334用雅可比矩陣求下列矢量場(chǎng)的散度和旋度。(1)= (3x2y z)i (y3 -xz2) j 2xyzk;(2)= yz2i zx2j xy2k;(3)二 P(x)i Q(y)j R(z)k.6xy3x22 -z3y22yz2xz2xyDA = <1-2xz,故有 divA = 6xy 3y2 2xy=(8x 3y)y,rotA 二 4xzi (1 - 2yzj - (z 3x2)k.0I(2)DA=<2xz2y2xy匸故有 div A=0+0+0

22、 = 0,【0rotA 二 x(2y- x)i y(2z - y)j z(2x - z)k.P'(x)(3)DA = <000Q'(y)000R'(z)' ' '，故有 div A = P (x) + Q (y) + R (z).rotA = 0。5.已知 u = e xyz , Az2ix 2 j y2k,求 rot uA.解：rot uA=u rotA grad u A,0DA 巳2x02y 00有 rotA = 2yi+2zj+ 2xk u rotA exy2yi+ 2zj+ 2xk,grad u 二 exyz(yzi xzj xyk

23、), grad u Axyz=e yz xz2 2z xkxy =exyz(xy0 公式法：v = - 0 P(x,0,0)dx- 0Q(x,y,0)dy- 0 R(x, y,z)dz C1xy=-o 0dx - o xcosxydy - o sinzdz C1 =0 - sinxy cosz -1 C = cosz - sinxy C. 0不定積分法：因勢(shì)函數(shù) v滿足A - grad v，即有z xvx - -ycosxy, vy - -xcosxy,vz - - sinz,將第一個(gè)方程對(duì) x積分，得v - -sinxy (y,z),對(duì)y求導(dǎo)，得vy二-xcosxy y(y,z)，與第二個(gè)方

24、程比較，知y(y,z)二 0, 于是 (y,z)(z), 從而 v = -sin xy +屮(z).再對(duì)z求導(dǎo)，得vz =* '(z),與第三個(gè)方程比較，知'(z) - sinz，故* (z) = cosz C.所以 v = cosz - sin xy C.22(2)記 P = 2xcosy - y sinx,Q 二 2ycosx - x siny, R = 0.y)j +(xyz2 y3z)j+(x2yzxz3)k,2yrot uA二 exyf(2y xz - x3y)i (2z xyz - y3z)j (2x x2yz- x£)k|習(xí)題六1.證明下列矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)

25、，并用公式法和不定積分法求其勢(shì)函數(shù)。(1) A = ycosxyi xcosxyj sinzk;22(2) A=(2xcosy-y sinx)i (2ycosx - x siny)j. 解：(1 )記 P = ycosxy,Q = xcosxy, R = sinz.則 rot A:xP=0i 0j (cosxy - xysinxy)-(cosxy - xysinxy)k =0所以A為有勢(shì)場(chǎng)。F面用兩種方法求勢(shì)函數(shù)v :rot Ai.xPk.:zR=0i 0j (-2ysinx-2xsiny)-(-2xsiny-2ysinx)k = 0所以A為有勢(shì)場(chǎng)。下面用兩種方法求勢(shì)函數(shù)V:0xyZ1 公式法

26、：v - ° P(x,0,0)dx- ° Q(x,y,0)dy- 0 R(x, y,z)dz Cxy2z=-0 2xdx 0 (2ycosx x siny)dy- J00dz+C -x2 - y2 cosx - x2 cosy x2 C - - y2 cosx - x2 cosy C.2°不定積分法：因勢(shì)函數(shù) v滿足A二-grad v，即有2 2vx - -2xcosy y sinx,vy - -2ycosx x siny,vz =°,將第一個(gè)方程對(duì) x積分，得v- -x2 cosy - y2 cosx亠( y, z),對(duì)y求導(dǎo)，得vy = x2 sin

27、y-2ycosx y(y, z)，與第二個(gè)方程比較，知y(y,z)=°,于是 (y,z) = r(z),從而 v - -x2cosy- y2cos ' (z).(z) = °，故'(z) = C.再對(duì)z求導(dǎo)，得vzW(z),與第三個(gè)方程比較，知 所以 v = -x2cosy - y2 cosx C.2. 下列矢量場(chǎng) A是否保守場(chǎng)？若是，計(jì)算曲線積分.Adl :l(1)A =(6xy z2)i (3x2 -z)j (3xz2 - y)k，l 的起點(diǎn)為 A(4,°,1),終點(diǎn)為B(2,1,-1);2 2 2(2)A=2xzi 2yzj (x 2yz-1)k，l 的起點(diǎn)為 A(3,°,1),終點(diǎn)為 B(5,-1,3).6y 6x 3z2解：(1)DA = < 6x °-1 >,有3z2-1 6xz2 2rotA = (1) (T)j (3z 3z)j (6x 6x)k = Q 故 a 為保守場(chǎng)。因此，存在A *dl的原函數(shù)u。按公式xyzu =P(x,0,0)dx 亠 I