簡諧運動能量共振

1、簡諧運動的能量、共振主講：黃岡中學高級教師邢新山一周強化一、一周內容概述通過對簡諧運動物體動能和勢能轉化過程的分析，說明了簡諧運動是一機械能守恒的過程。定性地分析了阻尼振動中能量轉化情況、介紹了受迫振動的特點，分析了外界 驅動力頻率等于振動系統(tǒng)固有頻率時發(fā)生的共振現(xiàn)象的應用和防止。完成了單擺法測重力加速度的學生分組實驗。二、重難點知識歸納與講解（一）簡諧運動系統(tǒng)的總機械能任意時刻振動系統(tǒng)的動能和勢能的總和，就是振動系統(tǒng)的總機械能。當彈簧振子或單擺在理想化條件（不考慮摩擦和空氣阻力）下振動時，由于只有彈力 或重力做功，故振動系統(tǒng)的機械能守恒。對于確定的振動系統(tǒng)來說，由于振子或單擺在最大位移處的勢

2、能即等于系統(tǒng)的總機 械能，振幅越大，表明該振動系統(tǒng)的總機械能也越大。所以，我們說振幅是表示振動強 弱的物理量。（二）阻尼振動振動系統(tǒng)受摩擦和其他阻力，即受阻尼作用，系統(tǒng)在振動過程中要克服阻力做功，系統(tǒng)的機械能隨時間逐漸減少振動的振幅也逐漸減小，這種振動稱阻尼振動下圖是阻尼振動的圖象。（三）受迫振動1、驅動力：作用在振動物體上的周期性外力叫做驅動力。受迫振動：物體在外界驅動力作用下的振動叫做受迫振動。2、受迫振動的特點實驗表明，物體做受迫振動時，振動穩(wěn)定后的頻率等于驅動力的頻率，跟物體的固 有頻率無關。3、共振(1) 受迫振動的振幅與驅動力頻率的關系實驗表明，物體做受迫振動時的振幅跟驅動力頻率

3、f與固有頻率fo之差有關，固有 頻率fo與驅動力頻率f相差越大，振幅就越小，反之就越大當固有頻率fo與驅動力頻率 f相等時，振幅最大。(2) 共振當驅動力的頻率跟物體的固有頻率相等時，受迫振動的振幅最大，這種現(xiàn)象叫做共振。共振是受迫振動的一種特殊情況。聲音的共振現(xiàn)象通常叫做共鳴。共振產(chǎn)生的條件是：f=fo。(3) 發(fā)生共振時，一個周期內外界提供的能量等于振動系統(tǒng)克服阻尼做功而耗散的能 量。(4) 共振曲線 f策=f固時，A=A m,Am取決于策動力的幅度及阻尼。 f策與f固差別越大，物體作受迫振動的振幅A越小。4、共振的利用和防止利用共振和防止共振，都要根據(jù)共振產(chǎn)生的條件來進行控制。要利用共振

4、時，就要創(chuàng)造條件使驅動力的頻率接近或等于物體的固有頻率。要防止共振出現(xiàn)時，就要控制驅動力的頻率，使之遠離物體的固有頻率。(四) 單擺法測重力加速度1、實驗原理單擺在擺角很?。ㄐ∮?0°時的振動，可看成簡諧運動，其固有周期，由此可得g=4n2l/T2，由實驗測出擺長I和周期T,即可算出當?shù)氐闹亓铀俣萭值。2、實驗器材鐵架臺（帶鐵夾），金屬小球，細線（1m左右），秒表，米尺，游標卡尺。3、數(shù)據(jù)記錄與處理記錄實驗次數(shù)擺長l/m全振動次數(shù)N總時間t/s周期T =t!N12345（2）處理平均值法:圖象法以I作為橫軸，以T2為縱軸描點作出T2-I圖象，求出直線斜率k4、注意事項（1） 細線材

5、料應不易伸長，且長度一般不應短于1m；小球應選用密度大而體積小 的金屬球。（2）擺線上端應夾緊在鐵夾中，以免擺動過程中擺長發(fā)生改變。擺長應是懸點到 球心的距離。（3） 擺動中最大擺角（擺線偏離豎直方向的夾角）不應超過10°可通過估算振幅的 辦法掌握。(4) 擺球應無初速釋放，保證單擺在同一豎直平面內擺動，以免形成圓錐擺。(5) 秒表計時從小球某次通過最低點 (平衡位置)開始(擺球在最低點的速度最大， 經(jīng)過最低點時間最短。記時較為準確)并記全振動次數(shù)為零，以后小球每從同一方向通 過最低點時，全振動次數(shù)依次為 1, 2 , 3, N，數(shù)到N次時停表，N不宜過小。三、典例分析例1、如圖所示

6、為一單擺的共振曲線，該單擺的擺長約為多少？共振時單擺的振幅多大？共振時擺球的最大速度和最大加速度各為多少？(g取10 m/s2)11 / 11解析:，代入數(shù)據(jù)解得從共振曲線可知，單擺的固有頻率f = 0. 5 Hz，因為，所以I = 1 m.從共振曲線可知：單擺發(fā)生共振時，振幅 Am = 8 cm.設單擺的最大偏角為 B,擺球 所能達到的最大高度為 h,由機械能守恒定律得1-mv/= mgh&_a2 又 h= l(1 cosB.)當 B很小時 1 cos 9= 2sin2二 J .25 m/s.擺球在最大位移處加速度最大，有Amgsin B= mam 即 am= gsin 0= g 代

7、人數(shù)據(jù)解得am = 0. 8 m/s2例2、如圖所示，A球振動后，通過水平細繩迫使 B、C振動，下面說法中正確的是A .只有A、C振動周期相等B . A的振幅比B小C. C的振幅比B的振幅大D. A、B、C的振動周期相等解析:A振動起來后水平細繩上的驅動力周期 Ta =，迫使B、C做受迫振動，受迫振動的頻率等于施加的驅動力的頻率，所以Ta = Tb = Tc,而Tc固=2n= Ta,Tb固=2n；“ >TA，故C共振，B不共振.C的振幅比B的振幅大.所以正確選項為 CD .例3、在光滑水平面上有一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為K,振子質量為M，振動的量大速度為V。，如圖所示，當振子在最大位移

8、為 A的時刻把質量為 m的物體輕放其上， 則J z/ / / / J(1) 要保持物體和振子一起振動，二者間摩擦因數(shù)至少是多少？(2) 一起振動時，二者過平衡位置的速度多大？振幅又是多大？分析：£放物體前最大回復力的大小 F=kA，振動的最大機械能 E=_ Mv。2。對于物體來說，所需要的回復力是振子給它的摩擦力，剛放時所需的摩擦力最大, 設最大摩擦力為 口 mg當口 m滬ma時一起振動。解答：(1) 放物體后，假定一起振動，則可產(chǎn)生的最大加速度a= L -a _ kA又由于 口 mg>ma 二口古 '(2) 振動中機械能守恒，過平衡位置時，彈簧為原長，彈性勢能為零。&

9、#163; £二亠(M+m)v Mv。22v=1 物體和振子在最大位置處，動能為零。勢能最大，這個勢能與沒放物體前相同，所 以彈簧的最大形變應是相同的，即振幅仍為 A。說明：本題是以彈簧振子為模型，結合力和能最分析的小型綜合題。 在認真審題的基礎上, 從基本概念、規(guī)律出發(fā)，即可找到正確答案。并應注意到例 1介紹的是在兩種情況下的 運動(即放m前后)。多做這種小型綜合題，有助于提高解題能力。例4、如圖2所示，在0點懸有一細繩，繩上串著一個小球B,并能順著繩子滑下，在0點正下方有一半徑為 R的光滑圓弧軌道，圓心位置恰好在 0點，在弧形軌道上接近 0' 處有另一個小球 A，令A、B

10、兩球同時開始無初速釋放，假如A球第一次到達平衡位置時正好能夠和B球碰上，則B球與繩之間的摩擦力與 B球重力大小之比是多少？(計 算時取 p2=10, g=10m/s2)分析:圓弧軌道運動的小球 A接近0運動，即可看做單擺模型。圖2解答:A球作簡諧運動，由周期公式得A到0的時間t=亠| PB球作勻變速運動從 0到0的時間為t=i由題意得2三=i_ 810解得 a=；.m/s2=8m/s2對于小球B,由牛頓第二定律得mg-f=ma f=m(g-a)f - <g- a)陀 颶 10=0.2說明:建立物理模型的能力很重要， 應善于從題目出發(fā)，有效地把一個具體實例抽象出我 們學過的理論模型。例5、

11、有一個單擺，其擺長l=1.02m，擺球的質量m=0.1kg，從與豎直方向成擺角0 =4的位置無初速開始運動(如圖所示)。問：已知振動的次數(shù)n=30次，用了時間t=60.8s,重力加速度g多大？(2) 擺球的最大回復力為多大？(3) 擺球經(jīng)過最低點時速度多大 ？(4) 如果將這個擺改為秒擺，擺長應怎樣改變？為什么？(取sin4 °0.0698,cos4°0.9976, n =3.14)解析:60.8;=2,D27y(1)底5°單擺做簡諧運動，其周期(2) 最大回復力為 F!=mg sin4 =0.1 >9.791 %.0698N=0.068N。(3) 單擺振動

12、過程中，重力勢能與動能互相轉化，不考慮阻力、機械能守恒，其總機械能E等于擺球在最高處的重力勢能Ep或在最低處的動能Ek。1 ?-mu =mg( -cos4°)J故在最低處的速度u = 2(lcas4Q)=Q莎五脫017 9聽加心=0.219m/s(4) 秒擺的周期T=2s,設其擺長為I。根據(jù),g不變，則T oc22xl.O22.0272其擺長要縮短Al l=| lo=l.02m 0.993m=0.027m。答案：(1) 9.791m/s2;( 2) 0.068N;( 3) 0.219m/s；( 4)縮短 0.027m.例6、火車在長為12.5m的鐵軌上行駛時，由于在鐵軌接頭處受到撞擊

13、而上下振動.如防震彈簧每受104N的力將被壓縮20mm,而每個彈簧的實際負荷為5000kg。問車速多大時，彈簧壓縮得最強烈？(g=10m/s2')解析：由題可知彈簧振子在做受迫振動，要使彈簧被壓縮得最強烈，必然是彈簧振子發(fā)生共振，此時必須滿足：T驅=T固。根據(jù)題意知，防震彈簧的勁度系數(shù)為x 0 02由于每個彈簧的實際負荷為m=5000kg，所以彈簧的固有周期為鐵軌接頭撞擊力的周期為T I 12.5如=。當振動最強烈時有 T驅=T固12.5則l答案:v=19.9m/s例7、如圖所示，把篩子用四根彈簧支承起來，就成為共振篩。共振篩的篩架上安裝一 個偏心輪，偏心輪由電機帶動下發(fā)生轉動，增大電壓可以使電機帶動偏心輪的轉速加快。篩子在做自由振動時，每次全振動用時2s，在某電壓下偏心輪的轉速是36r/min，問:(1) 篩子的固有頻率是多少？偏心輪的驅動力頻率是多少 ？(2) 為了使篩子發(fā)生共振，達到較大振幅，可以采用什么方法？解析:(1)篩