向量公式匯總

1、向量公式匯總平面向量1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。AB+BC=AC。a+b=(x+x' ， y+y') 。a+0=0+a=a 。向量加法的運(yùn)算律：交換律： a+b=b+a ；結(jié)合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。2、向量的減法如果 a、 b 是互為相反的向量，那么a=-b， b=-a ， a+b=0. 0 的反向量為0AB-AC=CB.即 “共同起點(diǎn)，指向被減”a=(x,y) b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').3、數(shù)乘向量實(shí)數(shù) 和向量 a 的乘積是一個(gè)向量，記作a，且 a = ? a。當(dāng) 0時(shí)，

2、a與 a 同方向；當(dāng) 0時(shí)， a與 a 反方向；當(dāng) =0時(shí)， a=0，方向任意。當(dāng) a=0 時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)，都有 a=0。注：按定義知，如果 a=0，那么 =0或 a=0。實(shí)數(shù) 叫做向量 a 的系數(shù)，乘數(shù)向量 a的幾何意義就是將表示向量a 的有向線段伸長或壓縮。當(dāng) 1時(shí)，表示向量a 的有向線段在原方向（ 0）或反方向（ 0）上伸長為原來的倍；當(dāng) 1時(shí)，表示向量a 的有向線段在原方向（ 0）或反方向（ 0）上縮短為原來的倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律： ( a)?b= (a?b)=(a?。 b)向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：( + )a= a+ a.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律

3、）： (a+b)= a+ b.數(shù)乘向量的消去律：如果實(shí)數(shù) 0且 a=b，那么 a=b。 如果 a0且 a=a，那么 =。4、向量的的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作 OA=a,OB=b, 則角 AOB 稱作向量 a 和向量 b 的夾角，記作 a,b并規(guī)定 0 a,b 定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作a?b。若 a、 b 不共線，則a?b=|a|?|b|?cos a， b；若 a、 b 共線，則 a?b=+- a b。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y' 。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律a?b=b?a（交換律）；( a)?b= a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的

4、結(jié)合律)；（ a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；向量的數(shù)量積的性質(zhì)a?a=|a|的平方。a b = a?b=0。|a?b| |a|?|b|。向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c a?(b?c)；例如：(a?b)2 a2?b2。2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a?b=a?c (a，0)推不出b=c 。3、 |a?b| |a|?|b|4、由|a|=|b|，推不出a=b 或a=-b 。5、向量的向量積定義：兩個(gè)向量a 和b 的向量積（外積、叉積） 是一個(gè)向量，記作a×b。若a、 b 不共線，則a×b 的模是：a×b

5、 =|a|?|b|?sin a， b； a×b 的方向是：垂直于a 和b，且a、 b 和a×b 按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、 b共線，則a×b=0 。向量的向量積性質(zhì)： a×b是以a 和b 為邊的平行四邊形面積。a×a=0。ab= a×b=0。向量的向量積運(yùn)算律a×b=-b ×a；（ a） × b=（ a×b）=a×（ b）；（ a+b） ×c=a ×c+b ×c.注：向量沒有除法，“向量 AB/ 向量 CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式1、 a- b

6、 a+b a + b；當(dāng)且僅當(dāng)a、 b 反向時(shí)，左邊取等號；當(dāng)且僅當(dāng)a、 b 同向時(shí)，右邊取等號。2、 a- b a-b a + b。當(dāng)且僅當(dāng)a、 b 同向時(shí)，左邊取等號；當(dāng)且僅當(dāng)a、 b 反向時(shí)，右邊取等號。6.定比分點(diǎn)定比分點(diǎn)公式（向量P1P=?向量 PP2）設(shè) P1、 P2 是直線上的兩點(diǎn)，P 是 l 上不同于P1、P2PP2， 叫做點(diǎn) P 分有向線段P1P2 所成的比。的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使向量P1P=?向量若 P1（ x1,y1) ， P2(x2,y2) ， P(x,y) ，則有OP=(OP1+ OP2)(1+ )；（定比分點(diǎn)向量公式）x=(x1+ x2)/(1+ ),y=(

7、y1+ y2)/(1+ 。)（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段P1P2 的定比分點(diǎn)公式三點(diǎn)共線定理若 OC= OA + OB 且, + =1則, A 、 B、 C 三點(diǎn)共線三角形重心判斷式在 ABC 中，若GA +GB +GC=O, 則 G 為 ABC 的重心 編輯本段 向量共線的重要條件若 b0，則 a/b 的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使 a=b。a/b 的重要條件是xy'-x'y=0 。零向量0 平行于任何向量。 編輯本段 向量垂直的充要條件a b 的充要條件是a?b=0。a b 的充要條件是xx'+yy'=0 。零向量0 垂直于任何向量 .空間

8、向量令 a =(a 1,a 2 ,a 3), b(b1 , b2 , b3 ) ，則共線向量 ：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.a ba1b1 ,a2b 2 ,a 3b 3 (R)a1a 2a 3b1b 2b 3 如 果 三 個(gè) 向 量 a,b, c 不 共 面 ： 那 么 對 空 間 任 一 向 量 P， 存 在 一 個(gè) 唯 一 的 有 序 實(shí) 數(shù) 組 x 、 y 、 z ， 使px aybzc .推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、 y、 z 使OPxOA yOBzOC (這里隱含 x+y+z 1).向量垂直

9、aba1 b1 a 2 b 2a 3 b 30 ?？臻g兩個(gè)向量的夾角公式（ a ( a1, a2 ,a3 ) ， b (b1, b2 ,b3 ) ）。空間兩點(diǎn)的距離公式：d( x2 x1 )2( y2 y1 )2( z2 z1 ) 2 .利用法向量求點(diǎn)到面的距離：如圖，設(shè)n 是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中A，則點(diǎn)B 到平面的距離為| AB n |.| n |.異面直線間的距離| CDn |n ， C、 D 分別是 l1 ,l 2 上任一點(diǎn)， d 為 l1 ,l 2 間的距離 ).d( l1, l2 是兩異面直線，其公垂向量為| n |B 到平面的距離d| AB n |的法向量，AB 是經(jīng)過面