數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題-離散型隨機變量的期望與方差

1、 開鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差例 有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能把大門上的鎖打開用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖設(shè)抽取鑰匙是相互獨立且等可能的每把鑰匙試開后不能放回求試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差分析：求時，由題知前次沒打開，恰第k次打開不過，一般我們應(yīng)從簡單的地方入手，如，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，推廣到一般解：的可能取值為1，2，3，n；所以的分布列為：12kn； 說明：復(fù)雜問題的簡化處理，即從個數(shù)較小的看起，找出規(guī)律所在，進而推廣到一般，方差的公式正確使用后，涉及一個數(shù)列求和問題，合理拆項，轉(zhuǎn)化成熟悉的公式，是解決的關(guān)鍵次品個數(shù)的期望例 某批數(shù)量較大的商品的次品率是5，從中任意地連續(xù)取出10件，為所含次品的個數(shù)

2、，求分析：數(shù)量較大，意味著每次抽取時出現(xiàn)次品的概率都是0.05，可能取值是：0，1，2，1010次抽取看成10次獨立重復(fù)試驗，所以抽到次品數(shù)服從二項分布，由公式可得解解：由題，所以說明：隨機變量的概率分布，是求其數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵因此，入手時，決定取哪些值及其相應(yīng)的概率，是重要的突破點此題，應(yīng)覺察到這是根據(jù)分布列求期望和方差例 設(shè)是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，求值，并求101P分析：根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)，先確定q的值，當(dāng)分布列確定時，只須按定義代公式即可解： 離散型隨機變量的分布滿足（1）（2）所以有解得 故的分布列為101P小結(jié)：解題時不能忽視條件時，否則取了的值后，辛辛苦苦計算得到的是

3、兩個毫無用處的計算產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值例 一批產(chǎn)品共100件，其中有10件是次品，為了檢驗其質(zhì)量，從中以隨機的方式選取5件，求在抽取的這5件產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值，并說明5件中有3件以上（包括3件）為次品的概率（精確到0001）分析：根據(jù)題意確定隨機變量及其取值，對于次品在3件以上的概率是3，4，5三種情況的和解：抽取的次品數(shù)是一個隨機變量，設(shè)為，顯然可以取從0到5的6個整數(shù)抽樣中，如果恰巧有個（）次品，則其概率為按照這個公式計算，并要求精確到0001，則有故的分布列為012345P0.5830.3400.0700.00700由分布列可知，這就是說，所抽取的5件品中3件以上為次品的可

4、能性很小，只有7評定兩保護區(qū)的管理水平例 甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等而兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護區(qū)：01230.30.30.20.2乙保護區(qū)：0120.10.50.4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平分析：一是要比較一下甲、乙兩個保護區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的次數(shù)的均值，即數(shù)學(xué)期望；二是要看發(fā)生違規(guī)事件次數(shù)的波動情況，即方差值的大小（當(dāng)然，亦可計算其標(biāo)準差，同樣說明道理）解：甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差為：乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差為：；因為，所以兩個保護區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均次數(shù)是相同的，但乙

5、保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動（標(biāo)準差這兩個值在科學(xué)計算器上容易獲得，顯然，）說明：數(shù)學(xué)期望僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值大小還是不夠的，比如：兩個隨機變量的均值相等了（即數(shù)學(xué)期望值相等），這就還需要知道隨機變量的取值如何在均值周期變化，即計算其方差（或是標(biāo)準差）方差大說明隨機變量取值分散性大；方差小說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩(wěn)定射擊練習(xí)中耗用子彈數(shù)的分布列、期望及方差例 某射手進行射擊練習(xí)，每射擊5發(fā)子彈算一組，一旦命中就停止射擊，并進入下一組的練習(xí)，否則一直打完5發(fā)子彈后才能進入下一組練習(xí)，若該射手在某組練習(xí)中射擊命中

6、一次，并且已知他射擊一次的命中率為0.8，求在這一組練習(xí)中耗用子彈數(shù)的分布列，并求出的期望與方差（保留兩位小數(shù)）分析：根據(jù)隨機變量不同的取值確定對應(yīng)的概率，在利用期望和方差的定義求解解： 該組練習(xí)耗用的子彈數(shù)為隨機變量，可以取值為1，2，3，4，51，表示一發(fā)即中，故概率為2，表示第一發(fā)未中，第二發(fā)命中，故3，表示第一、二發(fā)未中，第三發(fā)命中，故4，表示第一、二、三發(fā)未中，第四發(fā)命中，故5，表示第五發(fā)命中，故因此，的分布列為12345P0.80.160.0320.00640.0016說明：解決這類問題首先要確定隨機變量的所有可能取值，然后再根據(jù)概率的知識求解對應(yīng)的概率準備禮品的個數(shù)例 某尋呼臺共有客戶3000人，若尋呼臺準備了100份小禮品，邀請客戶在指定時間來領(lǐng)取假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎的概率為4問：尋呼臺能否向每一位顧客都發(fā)出獎邀請？若能使每一位領(lǐng)獎人都得到禮品，尋呼臺至少應(yīng)準備多少禮品？分析：可能來多少人，是一個隨機變量而顯然是服從二項分布的，用數(shù)學(xué)期望來反映平均來領(lǐng)獎人數(shù)，即能說明是否可行解：設(shè)來領(lǐng)獎的人數(shù)，所以，可見，所以，（人）（人）答：不能，尋呼臺至少應(yīng)準備12