數(shù)學建模競賽閱卷中的問題

1、2012年江西省研究生數(shù)學建模競賽題目：B題 數(shù)學建模競賽閱卷中的問題 參賽密碼 （由組委會填寫） 數(shù)學建模競賽閱卷中的問題摘要本文主要討論的是數(shù)模競賽中試卷的優(yōu)化分配、成績預處理和對教師評閱效果的定量評價問題，在充分理解題意的基礎上，建立了合理的模型，并設計了相應的算法，從而有效地解決了上述問題，為競賽提供了一個良好的閱卷環(huán)境。1、試卷的分發(fā)問題。根據(jù)題意要求，首先設計了一種隨機分配算法，使其在滿足基本條件的前提下實現(xiàn)較好的均勻性。在算法設計時，采用計算機軟件隨機編號、排列組合和移位搜索相結合的思想，即對500份試卷進行隨機編號，并將其分成25個數(shù)據(jù)包組合，每個數(shù)據(jù)包含20份不同編號的試卷，

2、然后將25個數(shù)據(jù)包重復3次分給20個閱卷教師，每次進行移位搜索以避免重復以及達到較好的均勻性。然后，為了對隨機分配結果進行均勻性評價，又設計了兩兩逐一比對的評價算法，計算出任意兩位閱卷教師評閱同一份試卷的次數(shù)，從而得出本次任務單的均勻性。2、評分的預處理問題。首先選取一份均勻性好的任務分配單，任務單中包含了教師的編號i及其需要評閱的75個試卷編號n。然后，利用MATLAB軟件自帶的庫函數(shù)隨機產生一組均值為70、方差為15并服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)作為評分成績的模擬數(shù)據(jù)s，并將數(shù)據(jù)s通過計算搜索教師編號i與試卷編號n對應，從而得出500份試卷的初始成績。為了使合成的試卷分數(shù)更加公正合理，采用歸一化算法

3、對不同閱卷教師的初始成績進行標準化處理。這里的歸一化處理是對編號為i的教師的75個成績的歸一化。然后再對編號為n的試卷的三個標準化成績求幾何平均得到該份試卷的標準成績。3、教師評閱效果的評價。經過評分的預處理后可得教師i評閱試卷n的標準化成績以及試卷n的標準成績，然后求取方差，通過方差的大小來評判教師的評閱效果。關鍵詞：排列組合； 移位搜索； 計算搜索； 歸一化； 方差目 錄一 問題重述3二 問題分析4三 模型假設4四 符號說明5五 模型建立與求解5六 模型的評價14七 模型的推廣與改進14參考文獻15附 錄1619 一 問題重述眾所周知，數(shù)學建模問題無處不在，我們身邊的生活、工作中隨處可見各

4、式各樣的數(shù)模問題。數(shù)模競賽之后都要經過閱卷的過程，除了幾十名教師參與繁重的評閱試卷的工作外，許多管理工作都有很強的技術性。比如試卷的分發(fā)、教師評分的預處理、對每位教師評閱效果的評價等。這些做得好壞，直接影響著評閱的合理性和公正性，我們追求最優(yōu)、最準確的評閱效果。一次競賽通常試卷有幾百份，評閱前已將試卷打亂編號。每份試卷就是一篇科技論文，評閱教師需要綜合考慮各方面情況給出一個成績。每份試卷應有三名不同的教師評閱，所給出的三個成績合成該試卷的最后成績。各位教師對自己所在單位的試卷應該回避，但這件事比較容易處理，我們這里就不考慮這個原因，也就是假設教師都沒有本單位的試卷。試卷的隨機分發(fā) 考慮有500

5、份試卷由20名閱卷教師評閱的情況。每份三人評閱就共需要1500人次，每人閱卷75份。提前編寫程序，讓試卷隨機地分發(fā)到教師的任務單中。注意讓每份試卷分給每位教師等可能，另外任何兩位教師交叉共同評閱一份試卷的情況也盡量均勻，即盡量不要出現(xiàn)交叉次數(shù)過多或過少的情況。再編寫一個程序，對一次分發(fā)的任務單進行均勻性的評價。然后可以在多次生成的任務單中選出一個評價比較好的來使用。請給出兩個程序的算法或框圖，并選出一個好的分配任務單供使用及對它的評價。評分的預處理 全部閱完之后，就要進行成績的合成了。但是，每個人見到的卷子不同，實際評分標準也不完全相同（盡管評閱前已經集體開會、討論，統(tǒng)一評卷標準），大家的分數(shù)

6、沒有直接的可比性，所以不能簡單地合成，需要預處理。比如，可能出現(xiàn)一份試卷的兩位評閱教師都給出70分的評價，但是其中一個70分是他給出的最高分，另一個則是他的最低分，能認為這個試卷就應該是70分嗎？！請設計一個成績預處理的算法把教師給出的成績算得標準化成績，然后用三個標準化成績就可以直接合成了，使得合成的成績盡量地公平合理并且為后面對教師評閱效果的評價提供方便。教師評閱效果的評價 閱卷全部結束之后，組織者要對所聘請的教師有一個宏觀的評價，哪些教師比較認真，對評分標準掌握得也好，看論文又快又準，因此給出的成績比較準確，是這次閱卷的主力。下次再有類似的事情一定還請他們來，甚至于在下一次閱卷后合成成績

7、的時候給他們以更大的權值。這些除了在日常的生活工作中會有所感覺外，大家給出的成績也會說明一些問題。請制定一個方法，利用每人給出的成績，反過來給教師的評閱效果給出評價。二 問題分析2.1問題一的分析針對問題一，首先需要設計一個隨機分配算法將500份試卷隨機、均勻地分配給20位閱卷教師。在算法設計時，采用了計算機軟件隨機編號以保證任一份試卷分配給任一位教師的概率是相等的，采用排列組合方法使得每位教師分配到75份不同的試卷且每份試卷有三個不同的教師評閱。另外，為了得到較好的均勻性，即任意兩個教師交叉評閱一份試卷的數(shù)量不能過大也不能過小，需要設計一個好的算法或對隨機分配結果不斷修正，使其滿足均勻性要求

8、。本文采用的是對500份試卷的三次分配進行移位搜索的算法以達到良好的均勻性。其次，為了對生成的任務單進行均勻性分析，需要對任意兩個教師的試卷號逐一比對并統(tǒng)計其交叉的次數(shù)，根據(jù)交叉次數(shù)可以對本次任務單的均勻性作出評價。2.2問題二的分析針對問題二，由于不同教師對試卷的評判標準不同，這將會對成績的公正性與合理性造成一定的影響。為了避免這種情況的出現(xiàn)，就需要對成績進行預處理。本文通過采用歸一化方法對成績進行標準化處理，可以得出試卷的標準化成績。由于每份試卷是由3位不同的閱卷教師共同評閱，因此對于任意一份試卷的標準成績可由這份試卷對應的三位評委標準化成績的幾何平均求得。通過對成績的標準化處理，在很大一

9、定程度上解決了試卷成績的公正性與合理性問題。2.3問題三的分析針對問題三，假設所有閱卷教師對任意一份試卷的評閱時間相等且不受其它外界因素的影響，因此，只有根據(jù)教師對試卷的評閱成績來合理評價教師的評閱效果。設計的算法是計算教師評閱的標準化成績與標準成績之間的偏離程度，并采用方差之和來表示某位閱卷教師本次閱卷的整體偏離程度，從而可以對閱卷教師的評閱效果作出一個合理的評判。三 模型假設1、計算機產生的偽隨機數(shù)認為完全隨機。2、評閱試等概率性：每份試卷分發(fā)給每個閱卷教師的概率是相等的，不存在某閱卷教師一直評閱優(yōu)秀答卷，另一個閱卷教師一直評閱較差答卷。3、評閱委員的獨立性，每位評委對試卷的評閱不受外界任

10、何因素的干擾。比如他評委所給出的成績，自己的疲勞程度等。4、所給出的成績服從正態(tài)分布。四 符號說明i閱卷教師編號n試卷編號教師i對第j份試卷的評閱成績教師i 75次評閱成績的最大值教師i 75次評閱成績的最小值編號為i的教師對第j份試卷的標準化成績第j份試卷的標準成績第i位教師評閱成績相對于標準成績的方差之和開平方教師m與教師n的交叉數(shù)（m,n值為120）五 模型建立與求解5.1 試卷的隨機分發(fā)根據(jù)題意要求，需首先給出一種試卷的隨機分配方式，使其在每位閱卷教師評閱75份試卷且每份試卷需有三位不同教師評閱的基礎上，任意兩位教師共同評閱一份試卷的情況盡量均勻。因此，本文設計了一種隨機分配算法，使其

11、在滿足基本條件的前提下實現(xiàn)較好的均勻性。在算法設計時，采用計算機軟件隨機編號、排列組合和移位搜索相結合的思想，即對500份試卷進行隨機編號，并將其分成25個數(shù)據(jù)包組合，每個數(shù)據(jù)包含20份不同編號的試卷，20份試卷對應分配給20位閱卷教師，然后將25個數(shù)據(jù)包重復3次分給20個閱卷教師，每次進行移位搜索以避免重復分配給同一個教師并使其達到較好的均勻性。隨機分配模型示意圖如圖5.1所示：圖5.1 隨機分配模型示意圖在隨機分配示意圖中，第一列存放教師編號，共20行，表示20位教師。第一行表示對數(shù)據(jù)包進行175次順序分配，每25次完成對500份試卷一次完全分配。n表示不同的試卷編號，即對應不同的試卷。雖

12、然教師編號沒有隨機排列，但500份試卷的編號是隨機排列的，因此每一份試卷分到每個教師的概率是等可能的，且概率如式（5-1）： （5-1）根據(jù)模型示意圖，可得編程的具體算法實現(xiàn)框圖，如圖5.2所示：圖5.2 試卷隨機分配算法框圖通過隨機分配算法求得一次的任務單如表一：表一 隨機分配任務單教師編號試卷編號11493021184701553684051449429422326250020337914084951144723254102231204135463404333603194188312424426445919035642711651804452951053506945734865474648

13、757253381117633914046441372774973843739239138716816914884833614904654471312053238720792923264523674551004414862793241018220034528834414630866315198113663111134463462711094383524141244417119312397269416861914613336396294953862272253572584241446813943038027312530639818719715104119469133273095953435406

14、16449432471317120818173136144174113510128141158141270163485181217383111224128354645192371280563291101954764171992027513821733841246644224527472特別說明：由于數(shù)據(jù)較多，只列出了前五列和后五列數(shù)據(jù)。根據(jù)上述的隨機分配算法可生成多份教師的試卷分配任務單，但是需要從中選取一份均勻性較好的任務單，就需要對任務單的均勻性進行分析。因此，試卷隨機分配完后，還需設計一個算法對任務單中任意兩位教師的交叉數(shù)進行統(tǒng)計，從而得出其均勻性。在算法設計時，需要對任意兩位教師(m，

15、n)的75份試卷的編號進行比對判斷，如果試卷號相等一次則教師m、n交叉一次，將其交叉數(shù)存放在中。交叉矩陣A第一列存儲教師編號，最后兩列存儲交叉次數(shù)的最大值和最小值，以便于對所取試卷分配任務單的均勻性評價。除去第一列與最后兩列得到的是一對角矩陣。算法的具體實現(xiàn)流程圖如圖5.3所示：圖5.3 均勻性評價算法流程圖5.2 評分的預處理 本節(jié)首先需要利用MATLAB軟件自帶的庫函數(shù)normrnd對20位教師隨機產生一組均值為75，方差為15的正態(tài)分布的隨機數(shù)，即20位教師對應每份試卷的分數(shù)（這里采用百分制）。但是在MATLAB中的庫函數(shù)normrnd是一個連續(xù)性函數(shù)，其產生的數(shù)值為小數(shù)，且根據(jù)均值與方

16、差的不同，其部分數(shù)值有可能會大于100，所以首先需要對產生的隨機數(shù)進行整數(shù)化處理，然后對于有可能大于100的數(shù)值，直接用100進行替換。其具體算法框圖如圖5.4。圖 5.4 正態(tài)分布隨機數(shù)產生框圖隨機產生的成績表二所示：表二 隨機產生服從正態(tài)分布的成績表教師編號成績(20*75)1647176607868656175872746178525395673168633686252685058354356764816895836477526683635645066837461715454576857275749480738567647488541786174808677918587947536545

17、6734789297779668145746367586610889380527080988947561161575797903956597671128069888171506983495613937992948368718367631484808778725537799085155999717173596852916916945977786763596264651745547161834248509889188872787544676568535219746236734497858860722053416490686367407468特別說明：由于數(shù)據(jù)量大，只給出了前五列與后五列的數(shù)據(jù)。以上

18、完成正態(tài)分布隨機分數(shù)的產生。在評閱試卷時，不同的教師可能對出現(xiàn)的同一份試卷的看法不同相應給出的分數(shù)也會不同。例如，對于同一份試卷，一位教師可能會給出他所評閱的75份試卷中的最高分數(shù)，而另外一位教師卻給出他所評閱的75份試卷中的中等或最低成績。因此需要給出一種針對教師評閱成績的預處理方法。即對每位教師給出的實際成績進行標準化處理進而計算出每份試卷的標準成績。用表示第i位教師對第j份試卷的評閱成績。i的取值范圍是從120，即教師的編號，j表示教師所評閱的試卷編號。由于每位教師需評閱75份試卷，所以j的編號是從175。對于第i位教師，在其評閱的75份試卷中必將存在一個最高分與最低分，在算法找出最高分

19、與最低分的同時，第i位教師對第j份試卷的標準化成績采用歸一化算法進行標準化，算法的具體實現(xiàn)采用式（5-2）的數(shù)學表達式： （5-2） 其中i的取值范圍：120，j的取值范圍：175，i、j均為整數(shù)。 任意一份試卷（設試卷編號為n）由3位不同的教師評閱，通過教師所分配試卷編號矩陣查找所對應試卷編號的標準化成績，采取幾何平均的方法得到第j份試卷的標準成績（其具體算法框圖如圖 5.5），數(shù)學表達式為公式（5-3）： （5.3） u、v、w是表示三個不同教師的編號，u、v、w的取值范圍：120。圖 5.5 500份試卷標準成績算法框圖圖5.6 500份試卷標準分散點圖結果如上圖5.6所示，可以看出，5

20、00份試卷的標準成績集中分布在40-70之間（即均值大約為55），且服從正態(tài)分布，但是5.2節(jié)中隨機產生的正態(tài)分布的成績均值是70。這里偏差產生的原因是在對教師所給試卷成績進行歸一化處理時，將教師所給試卷最低成績（大多數(shù)為大約為30，如圖 5.7所示）歸一化0分，所以將所有試卷的成績均值拉低。圖 5.7 20位教師評閱試卷給出的最高分與最低分散點圖5.3 教師評閱效果的評價 閱卷全部結束之后，競賽組織者要對所聘請的教師給一個宏觀的評價，哪些教師比較認真，對評分標準掌握得也好，看論文又快又準，因此給出的成績比較準確，是這次閱卷的主力。對于這些，根據(jù)以上算法中得出的成績也會說明一些問題。假設所有閱

21、卷教師對任意一份試卷的評閱時間相等且不受其它外界因素的影響，因此，只有根據(jù)教師對試卷的評閱成績來合理評價教師的評閱效果。設計的算法是計算教師評閱的標準化成績與標準成績之間的偏離程度，并采用方差之和來表示某個閱卷教師本次閱卷的整體偏離程度。另外，由于方差之和數(shù)值較大，因此算法實現(xiàn)時對其開平方處理（具體算法框圖如圖 5.7）。算法具體實現(xiàn)的數(shù)學表達式如式（5-4）： （5-4）、可由式（5-2）、（5-3）求得。圖 5.7 教師評價算法框圖圖 5.8 教師評價直方圖的數(shù)值直接體現(xiàn)了教師對試卷評分的一個合理程度和準確性。由圖5.8可以看出，編號為1的教師所評閱試卷給出的成績與標準成績的偏差最?。ㄖ翟?/p>

22、小，說明該教師評閱成績越合理），所以他對他所分配的75份試卷的評閱成績最合理。六 模型的評價本文充分考慮了試卷分配過程中可能出現(xiàn)的兩位教師重復評閱相同試卷所出現(xiàn)的交叉性問題，并提出了一種試卷能得以盡量均勻分配的方法。同時也充分考慮了評卷過程中由于評委的原因出現(xiàn)的“不公平”現(xiàn)象，引入了標準化算法，對每位評委給出的試卷進行了標準化處理。利用對每位教師所評閱試卷的成績進行了穩(wěn)定性分析，以此標準可以判定該教師的評閱效果。充分應用了MATLAB、EXCEL等軟件對數(shù)據(jù)的運算及處理。七 模型的推廣與改進模型在建立時，主要運用了隨機分組分配的思想對數(shù)據(jù)進行處理，此模型的思想是好的。但是在實現(xiàn)過程中由于此模型

23、的隨機程度太高，很難滿足均勻性條件。此模型在實際生活中有一定的用武之地。比如說，公交車每條線路上司機的分配問題，大型競賽評委評分公正性問題等。模型在運算過程中計算量較大且均勻性欠佳，有待對模型進行進一步改進。參考文獻1 盧開澄，盧華明.組合數(shù)學M.北京：清華大學出版社，2002.2 蘇金明，王永利.Matlab7.0使用指南M.北京：電子工業(yè)出版社，2004.3 胡運權.運籌學（第五版）M.北京：清華大學出版社，2005.4 韓中庚.數(shù)學建模方法與應用M.北京;高等教育出版社，2006.5 姜啟源，謝金星.數(shù)學模型（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.6 卓金武.Matlab在數(shù)學建模

24、中的應用M.北京：北京航空航天附 錄附錄一（hit.m)luan=randperm(500)%1-500打亂隨機排列number=zeros(20,76)%記錄老師及試卷編號P=zeros(1,500)Q=zeros(1,500)for i=1:5 P(i)=luan(i+495)endfor i=6:500 P(i)=luan(i-5)endfor i=1:12 Q(i)=luan(i+488)endfor i=13:500 Q(i)=luan(i-12)end for j=2:26 %前25*20分配 for i=1:20 number(i,1)=i%第一列為試卷編號 number(i,j

25、)=luan(20*(j-2)+i)%20循環(huán) end end for j=27:51 for i=1:20 number(i,j)=P(20*(j-27)+i) end end for j=52:76 for i=1:20 number(i,j)=Q(20*(j-52)+i) end end xlswrite('E:number.xls',number)附錄二（a.m）number=xlsread('E:number.xls')%讀入第一列為教師編號，其余列為試卷號（75份試卷編號）20*76A=zeros(20,23)%a記錄均勻性數(shù)據(jù)，第一列為教師編號，A

26、（i,j+1）表示教師i與教師j之間的交叉次數(shù)，對角for i=1:20 A(i,1)=number(i,1)%第一列教師編號存儲 for m=2:76 for n=1:20 for j=2:76if(number(i,m)=number(n,j)&i=n)%判斷不同教師所閱試卷號是否相同A(i,n+1)=A(i,n+1)+1elseA(i,n+1)=A(i,n+1)end end end end endfor i=1:20A(i,22)=min(A(i,2:21)%最小值A(i,23)=max(A(i,2:21)%最大值 endxlswrite('E:A22jiaocha.x

27、ls',A)附件三（s.m）l=normrnd(70,15,20,75)%產生均值為75，方差為15的正態(tài)分布隨機數(shù)n=round(l)%將得到的隨機數(shù)整數(shù)化for i=1:20for j=1:75 if n(i,j)>100%隨機數(shù)中有大于100的數(shù)，用100進行代替 n(i,j)=100 endendendB=zeros(20,76)for j=2:76for i=1:20 B(i,1)=i B(i,j)=n(i,j-1)endendxlswrite('E:score.xls',B)%第一列存儲教師編號，其余75列存儲隨機數(shù)，即分數(shù)附件四（com.m）score=xlsread('E:score.xls')%讀入第一列為教師編號，其余列為教師打