新課程下的高中數(shù)學概念教學的探索

1、新課程下的高中數(shù)學概念教學的探索摘 要：2007年,北京進入新課改,對教師提出更高的要求.有些教師對中學數(shù)學概念的核心把握不準確，對概念所反映的思想方法的理解水平不高；不知如何教概念.導致課堂教學抓不住數(shù)學概念的核心，學生花大量時間學數(shù)學，做無數(shù)的練習，但數(shù)學基礎(chǔ)仍很脆弱。因此,我和教師們一起開展概念教學研究,對概念教學有了一定的認識,重視概念教學的基本環(huán)節(jié)的設計與實施.概念教學效果有了明顯改善. 關(guān)鍵詞：概念；概念教學一、問題的提出1.新課改，對教師提出更高的要求2007年北京進入高中新課改，對教師提出了更高的要求。一方面，課標內(nèi)容比原來的大綱版教材內(nèi)容明顯增加。原來文理科都是五本教材，現(xiàn)在

2、文科五本必修+2本選修；理科五本必修+5本選修.從知識點上看，原來文科有12章，共120個知識點；理科14章，共135個知識點。而現(xiàn)在文科有必修14章+選修7章，共21章，理科必修14章+選修13章共27章。文、理科的必修內(nèi)容就有156個知識點。內(nèi)容的增加，給高中數(shù)學教師帶來挑戰(zhàn)。另一方面，模塊教學的要求，幾乎每一節(jié)課都是新課，使教師沒有更多的時間上習題課，講評作業(yè)，甚至做檢測，這對于課堂教學的要求大大提高了。面對新的挑戰(zhàn)，如果我們還想以往那樣上課，顯然不行。以往的課堂的不足，教師還可以有課時以大量的解題操練作為彌補，由于內(nèi)容的相對少，時間充裕，能有一些成效。但新課改后，內(nèi)容的增多，沒有課時給

3、學生大量的操練，如何讓學生學會數(shù)學呢？2.教學層面的問題：以往的教學，課堂教學抓不住數(shù)學概念的核心，沒有前后一致、貫穿始終的數(shù)學思想主線，在學生沒有基本了解數(shù)學概念和思想方法時就進行大量解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領(lǐng)，在無關(guān)大局的細枝末節(jié)上耗費學生寶貴時間，數(shù)學課堂中效益、質(zhì)量“雙低下”。學生花大量時間學數(shù)學，做無數(shù)的練習，但數(shù)學基礎(chǔ)仍很脆弱。3.教師的問題對中學數(shù)學概念的核心把握不準確，對概念所反映的思想方法的理解水平不高；有些老師不知如何教概念概念教學走過場，常常采用“一個定義，幾項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學生提供充分的概括本質(zhì)特征的機會，以解題

4、教學代替概念教學，認為讓學生多做幾道題目更實惠 中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員李邦河院士認為數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！高中數(shù)學課程標準指出：數(shù)學教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學教學的始終，幫助學生逐步加深理解。由于數(shù)學高度抽象的特點，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈。在教學中要引導學生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì)。因此，我和教師們針對高中數(shù)學概念教學開始了新的探索，經(jīng)過半年的實踐-反思-再實踐-再反思，有了一些初步的成果。二、課題研究的意義1. 理論基礎(chǔ)本課題的理論基礎(chǔ)是建構(gòu)主義理論。

5、建構(gòu)主義理論的內(nèi)容很豐富，但其核心只用一句話就可以概括：以學生為中心，強調(diào)學生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)和對所學知識意義的主動建構(gòu)(而不是像傳統(tǒng)教學那樣，只是把知識從教師頭腦中傳送到學生的筆記本上)。建構(gòu)主義認為，知識不是通過教師傳授得到，而是學習者在一定的情境即社會文化背景下，借助學習是獲取知識的過程其他人（包括教師和學習伙伴）的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構(gòu)的方式而獲得。建構(gòu)主義提倡在教師指導下的、以學習者為中心的學習，也就是說，既強調(diào)學習者的認知主體作用，又不忽視教師的指導作用，教師是意義建構(gòu)的幫助者、促進者，而不是知識的傳授者與灌輸者。學生是信息加工的主體、是意義的主動建構(gòu)者，

6、而不是外部刺激的被動接受者和被灌輸?shù)膶ο蟆?. 實踐價值隨著新課改的深入，對教師的要求越來越高。本課題的研究，使教師站在高起點上認識數(shù)學，理解數(shù)學。圍繞數(shù)學核心概念、思想方法進行教學；在挖掘知識所蘊含的價值觀資源上狠下功夫。并能進行有效的教學設計，使學生的數(shù)學思維能力得到發(fā)展。三、概念的界定：1. 什么是概念？概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式。正確的概念是科學抽象的結(jié)果。人們在實踐的基礎(chǔ)上得到了豐富的感性認識材料，經(jīng)過“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的過程，舍掉事物的次要屬性，保留事物的本質(zhì)屬性，進而形成了概念。任何概念都有含義、意義。概念的內(nèi)涵就是指反映在概念中的對象的本質(zhì)屬性；概念的外延就是指具有概念所

7、反映的本質(zhì)屬性的對象。概念的內(nèi)涵是概念的質(zhì)的方面，它說明概念反映的事物是什么樣的；概念的外延式概念的量的方面，通常說的概念的適應范圍就是指概念的外延，它說明概念反映的是那些事物。概念的內(nèi)涵和外延式來那個個密切聯(lián)系、互相依賴的因素。每一個科學概念都有其確定的內(nèi)涵和外延。2.什么是明確概念教學中明確概念，基本要求就是要明確概念的內(nèi)涵和外延，即明確概念所反映的對象具有什么本質(zhì)特征，明確概念所指的是哪些對象。只有對概念的內(nèi)涵和外延都有了準確地了解，才能說明已經(jīng)明確了概念。3.怎樣使學生掌握概念呢？認識論原理指出，人們對事物本質(zhì)的認識不一可能一次性完成，需要經(jīng)歷一個由感性認識到理性認識的循環(huán)往復過程；同

8、時，由于事物不可能孤立地存在，因此必須用聯(lián)系的觀點才能認清事物的本質(zhì)。因此，對于概念教學的規(guī)律，我們也應該從過程和聯(lián)系兩個角度進行考察。也就是把概念放到相應的概念體系中去，考察它的來龍去脈，不僅要知道學習這一概念需要怎樣的基礎(chǔ)，還要知道掌握它以后能干什么。從而幫助學生形成結(jié)構(gòu)功能強大的概念體系。4.對概念教學的理解原來，我們對概念教學的理解，通常是指概念課的教學，即學習新概念的這一節(jié)課的教學。經(jīng)過探索，我們發(fā)現(xiàn)，這樣的認識很狹隘。學生掌握一個數(shù)學概念，不是一節(jié)課或幾節(jié)課就已完成的，有的需要一段時間，才能真正掌握。例如函數(shù)的概念，極限的概念等等。因此，概念教學包括概念課以及后繼課，只是重點不同罷

9、了。四、研究過程與方法。研究方法：案例分析、研討交流等方式。研究過程：以人民教育出版社B版教材必修1第二章函數(shù)中幾個重要概念為例。對于函數(shù)概念、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等重要概念進行研究，每個概念的教學都經(jīng)歷了對概念的理解教學設計課堂觀察反思后繼跟進的過程，使得我們對于這些概念的教學有了一定的認識，并形成概念的基本環(huán)節(jié)。五、研究的初步結(jié)果1.對概念的理解:教師做好概念教學，首先基于對概念的理解。這里對概念的理解指的是：概念的背景、發(fā)展；內(nèi)涵和外延；與其它概念的聯(lián)系；概念的課標要求,分幾個階段認識、理解、掌握概念。例如函數(shù)這個概念，它是數(shù)學學科的重要概念

10、，也是高中數(shù)學的一個核心概念。從常量數(shù)學到變量數(shù)學的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學習開始的。函數(shù)知識的學習對學生思維能力的發(fā)展具有重要意義。從對函數(shù)的不同認識階段看：初中以“變量說”定義函數(shù),重點是借助一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等與學生生活經(jīng)驗緊密相關(guān)的幾類函數(shù),幫助學生形成對函數(shù)的直接體驗,體會函數(shù)的意義,形成用函數(shù)解決問題的直接經(jīng)驗. 高中數(shù)學以“對應說”定義函數(shù),引進數(shù)字以外的符號(y = f (x) 中,f 不代表數(shù),與x ,y 的含義非常不同) 表達函數(shù),進一步明確函數(shù)的表示法,以函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等典型性質(zhì)為載體,給出研究函數(shù)性質(zhì)的方法和過程的示范,進一步體驗函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界

11、變化規(guī)律的基本數(shù)學模型的作用,使學生形成用函數(shù)概念研究具體問題的“基本規(guī)范”。從研究函數(shù)的方法上：對于“基本初等函數(shù)”的研究，是通過對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)的研究,逐步加深對函數(shù)概念的理解,在“基本初等函數(shù)”的應用中,不斷體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型,體驗指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等與現(xiàn)實世界的緊密聯(lián)系性,建立更加廣泛、穩(wěn)固的函數(shù)本質(zhì)的理解.所以,本單元的核心任務就是:建立一般意義的函數(shù)概念,了解函數(shù)的抽象符號的意義,了解函數(shù)中的問題、內(nèi)容和方法,形成研究函數(shù)問題的“基本規(guī)范”。從中學數(shù)學知識的組織結(jié)構(gòu)看，函數(shù)是代數(shù)的“紐帶”，代數(shù)式、方程、不等式、數(shù)

12、列、排列組合、極限和微積分等都與函數(shù)知識有直接的聯(lián)系。例如：另外，函數(shù)還是數(shù)學的后續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)，同時在物理、化學等自然科學中有著廣泛的應用，在解決生產(chǎn)生活中的實際問題時，也往往采用函數(shù)作為建模的基本工具。因此，函數(shù)的學習非常重要，應當給予充分的重視。2、概念教學的設計數(shù)學是自然的，數(shù)學是清楚的。任何數(shù)學概念都有它產(chǎn)生的背景，考察它的來龍去脈，我們能夠發(fā)現(xiàn)它是合情合理的。而要讓學生理解概念，首先要了解它產(chǎn)生的背景，通過大量實例分析分析概念的本質(zhì)屬性，讓學生概括概念，完善概念，進一步鞏固和應用概念。才能是學生初步掌握概念。因此，概念教學的環(huán)節(jié)應包括概念的引入-概念的形成-概括概念-明確概念-應用概

13、念-形成認知。（1）概念引入學習一個新概念，首先應讓學生明確學習它的意義，作用。因此，教師應設置合理的教學情景，使學生體會學習新概念的必要性。概念的引入，通常有兩類：一類是從數(shù)學概念體系的發(fā)展過程引入，一類是從解決實際問題出發(fā)的引入。從數(shù)學體系發(fā)展過程角度看，一些概念是從數(shù)學知識發(fā)展需要引入的。例如：在講分數(shù)指數(shù)冪時，教材上只是給出定義：。為什么引入分數(shù)指數(shù)冪呢？教室可以引導學生回憶我們學過的加、減、乘、除、乘方、開方的概念的引入，以及相反數(shù)、倒數(shù)的引入過程：乘法的引入，就是當多個因數(shù)相加時，為了簡化運算，引入乘法；當多個因數(shù)相乘時，為了簡化運算，引入乘方。還有一些看起來是規(guī)定的概念，也要讓學

14、生了解其規(guī)定的合理性。相反數(shù)的引入，將加法和減法統(tǒng)一為加法；倒數(shù)的引入，將乘法和除法統(tǒng)一為乘法；那么分數(shù)指數(shù)冪的引入，將乘方和開方統(tǒng)一為乘方。學生就好理解了。另外，許多新概念的研究是與與之相似的概念類比進行的。例如，類比指數(shù)的運算法則引出對數(shù)的運算法則；類比指數(shù)函數(shù)引出對數(shù)函數(shù)等等。從實際問題出發(fā)的引入。中學數(shù)學概念與實際生活有著密切的聯(lián)系，讓學生了解概念的實際背景，有利于學生認識學習數(shù)學的作用，同時也能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，函數(shù)概念的引入就可以用學生熟悉的實際問題，如時間、速度、路程的關(guān)系；生產(chǎn)中的函數(shù)關(guān)系，氣溫變化，買賣上品中的函數(shù)關(guān)系等，引入函

15、數(shù)概念。再如指數(shù)函數(shù)的引入，教師可以讓學生做一個折紙游戲：將一張厚度為0.1毫米的報紙進行對折1，2，3，,30次，你知道會有多高嗎？若對折x次，得到高度為y,y與x 有怎樣的關(guān)系？學生很感興趣，動手去折，折到7-8次，就折不動了。用計算器算一算，對折30次，得到約為1087千米。并且得到這個函數(shù)。這樣引入，即讓學生體會到生活中的指數(shù)函數(shù)，而且還感受到了指數(shù)函數(shù)的增加的速度，體會指數(shù)爆炸。（2）概念的形成概念的形成階段，教師可以通過大量典型、豐富的實例，讓學生進行分析、比較、綜合等活動，揭示概念的本質(zhì)。例如，在引入偶函數(shù)這個概念時，教師可以讓學生觀察熟悉的函數(shù)的圖像，學生很容易看出圖像關(guān)于y對

16、稱。教師提出問題：你能從數(shù)的角度說明它問什么關(guān)于y對稱嗎？學生根據(jù)初中對對稱的認識，發(fā)現(xiàn)自變量x的值對稱著取，觀察他們的函數(shù)值。于是，學生計算了，f(1),f(-1),f(2),f(-2),f(3),f(-3),學生猜想，x取互為相反數(shù)的兩個值，他們的函數(shù)值相等。教師追問：是對所有的x都成立嗎？于是，學生計算f(-x)與f(x),發(fā)現(xiàn)相等。然后教師給出這類函數(shù)的名字為偶函數(shù)。（3）概念的概括概括是概念教學的核心。概括就是在思想上把從某類個別事物中抽取出來的屬性，推廣到該類的一切事物中去，從而形成關(guān)于這類事物的普遍性認識。概念教學中把握好概念括概念這一環(huán)節(jié)，有利于學生概括能力的培養(yǎng)。概括概念就是

17、讓學生通過前面的分析，比較，把這類事物的共同特征描述出來，并推廣到一般，即給概念下了個定義。前面偶函數(shù)的例子中，教師就可以讓學生概念括偶函數(shù)的定義了。學生概括為：設函數(shù)若滿足，則這個函數(shù)叫偶函數(shù)。雖然不完善，但偶函數(shù)的本質(zhì)已經(jīng)出來了。教師接著給出問題：函數(shù)是偶函數(shù)嗎？設計意圖讓學生關(guān)注偶函數(shù)的意義域的特征，進一步完善定義。這樣進行概念教學，不僅能扳住學生理解概念，而且能夠培養(yǎng)學生的思維能力。（4）明確概念明確概念即明確概念的內(nèi)涵和外延。明確概念，就是要明確包含在定義中的關(guān)鍵詞語。例如：偶函數(shù)的定義是：設函數(shù)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,都有-x且，則這個函數(shù)叫偶函數(shù)。定義中的“任意”的

18、含義，定義域的特征：關(guān)于原點對稱；解析式的特點，都需要學生明白無誤地理解。因此，教師在教學中，可以通過舉例說明，也可以讓學生舉例，從而發(fā)現(xiàn)問題。特別是舉反例，可以加深學生對概念的理解。從概念的形成（具體）到明確概念（一般），再到舉出實例（具體）形成一個完整的概念認知過程。（5）應用概念 在掌握概念的過程中，為了理解概念，需要有一個應用概念的過程，即通過運用概念去認識同類事物，推進對概念本質(zhì)的理解。這是一個應用于理解同步的過程。例如函數(shù)的奇偶性明確奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念后，可以讓學生判斷下列函數(shù)的奇偶性：; ; 的目的是讓學生理解判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：定義和圖像，并規(guī)范解題格式。是一個奇函數(shù)。滿足（）（），但是非奇非偶函數(shù)。具有奇偶性的函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱既奇又偶函數(shù)。這是學生能用概念判斷面臨的某一事物是否屬于反映的具體對象，是在知覺水平上進行的應用。概念的應用也可以與其他原有概念結(jié)合，進行思維水平上的應用。（）形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)學習了一個新概念后，一定要把它與相關(guān)的概念建立