有限個(gè)矩陣多項(xiàng)式的恒等式及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、本 科 生 畢 業(yè) 論 文 有限個(gè)矩陣多項(xiàng)式的恒等式及應(yīng)用陳巧文院 系：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專 業(yè)： 數(shù)本 班 級(jí)： 072 學(xué) 號(hào)： 710401204 指導(dǎo)教師： 楊忠鵬 職稱（或?qū)W位）： 教授 2011年5月原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文（設(shè)計(jì)），是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計(jì)）不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的作品成果。對(duì)本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)生簽名： 年 月 日 指導(dǎo)聲明本人指導(dǎo)的 同學(xué)的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目大小、

2、難度適當(dāng)，且符合該同學(xué)所學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)的要求。本人在指導(dǎo)過(guò)程中，通過(guò)網(wǎng)上文獻(xiàn)搜索及文獻(xiàn)比對(duì)等方式，對(duì)其畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容進(jìn)行了檢查，未發(fā)現(xiàn)抄襲現(xiàn)象，特此聲明。指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日一、引言3二、引理4三、主要定理5四、應(yīng)用8致謝10參考文獻(xiàn)11有限個(gè)矩陣多項(xiàng)式的恒等式及應(yīng)用陳巧文（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 指導(dǎo)教師：楊忠鵬）摘要：本文得到任意有限個(gè)矩陣多項(xiàng)式，兩兩有相同的公因式時(shí),秩的恒等式。不但概括大部分已有文獻(xiàn)，而且推廣了已有的結(jié)果。關(guān)鍵詞：矩陣乘積；矩陣多項(xiàng)式；秩的恒等式Abstract: This paper have any limited a matrix polynomia

3、l , Pairwise have the same common factor reversible (可逆) Belong to （屬于）Rank identities Not only, and most existing literature summary results but also generalize the known results Keywords: Matrix product；Matrix polynomial；Rank identities 一、引言設(shè)分別為數(shù)學(xué)P上階矩陣和一元多項(xiàng)式矩陣的集合，E為單位矩陣，r（A）表示矩陣A的秩，的最大共因式和最小公倍式分別記

4、為。矩陣乘積的秩是一個(gè)歷史悠久的課題，許多學(xué)者研究了這個(gè)課題，得到不少好的結(jié)果。命題1 1：設(shè)命題22： 本文探討任意有限個(gè)多項(xiàng)式矩陣兩兩具有相同的公因式（d（A），且d（A）可逆的條件下，得到的結(jié)果與兩兩互素時(shí)的一樣。概括了近幾年有關(guān)矩陣多項(xiàng)式的研究結(jié)果1-10二、引理引理1 1：則引理2 1：引理33：，且兩兩互素是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則1）2）引理43：，且兩兩互素。令，是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則1）2）引理53：，且兩兩互素。令，是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則1）2）引理64：猜想1 設(shè), 當(dāng)滿足適當(dāng)?shù)臈l件引理75：設(shè) 則引理:86：

5、設(shè)引理96：設(shè)三、主要定理定理1：證明（方法一）證明（方法二） 定理2： 證明：由于，則由命題2可得又因?yàn)?，所?從而定理3：證明：由于，則，因此，對(duì)任意的正整數(shù)有。由命題1得因?yàn)?，所以定?：設(shè)對(duì)任意的多項(xiàng)式，其中且 則對(duì)任意正整數(shù)有證明：:因?yàn)樗杂啥ɡ?得 （1） （2）（1）+（2）式得設(shè)由于則的最大公因可逆。所以有定理2知 即從而四、應(yīng)用推論1：證明：令及定理1可得。推論1推廣了引理2的結(jié)果。推論2：令是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個(gè)線性變換，A為在某組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣。則1）2）證明： 由于及定理2可得推論3：令是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個(gè)線性變換，A為在某組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣。

6、則1）2）證明：由及推論2得。推論4：令是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個(gè)線性變換，A為在某組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣。則1）2）證明：由和推論3可得。推論2到推論4是引理3到引理4的推廣。對(duì)于引理6中的猜想，很多文獻(xiàn)給出互異時(shí)結(jié)論成立。而對(duì)于不是互異時(shí)沒(méi)有相關(guān)的結(jié)果。推論5：不互異時(shí)，則可設(shè) 證明：令，則由定理4可得證。推論6不但補(bǔ)充證明了文獻(xiàn)4的猜想，而且推廣了此猜想。推論7：證明：由及定理2可得。推論8：設(shè) 則證明：因?yàn)?，則存在 因此, 根據(jù)引理8和引理9得現(xiàn)證不等式的另一部分當(dāng)t=2時(shí)，由定理2可得因?yàn)椋谑羌淳C上所述：推論8推廣了引理7的結(jié)果。 致謝 感謝我的導(dǎo)師楊忠鵬教授，他嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)

7、致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣；他循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無(wú)盡的啟迪。感謝楊教授，這篇論文的每個(gè)結(jié)論，都離不開(kāi)您細(xì)心指導(dǎo)。您寬容的態(tài)度，幫助我能夠很快的完成這篇論文。楊教授不僅在學(xué)業(yè)上給我以精心指導(dǎo)，同時(shí)還在思想、生活上給我以無(wú)微不至的關(guān)懷。在我生病期間經(jīng)常詢問(wèn)我的近況，始終關(guān)心著我的身體。在此向楊教授致以誠(chéng)摯的謝意和崇高的敬意。  我還要感謝在一起愉快的度過(guò)大學(xué)四年的同學(xué)們，正是由于你們的幫助和支持，我才能克服一個(gè)一個(gè)的困難和疑惑。特別感謝我的舍友們，是你們和我共同維系著彼此之間姊妹般的感情，維系著寢室那份家的融洽。四年了，仿佛就在昨天。四年了，感謝你們對(duì)我

8、學(xué)習(xí)、生活的關(guān)心和幫助。  感謝我的爸爸媽媽，焉得諼草，言樹之背，養(yǎng)育之恩，無(wú)以回報(bào)，你們永遠(yuǎn)健康快樂(lè)是我最大的心愿。   在論文完成之際，我的心情無(wú)法平靜，從開(kāi)始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長(zhǎng)、同學(xué)、朋友給了我無(wú)言的幫助，在這里請(qǐng)接受我誠(chéng)摯的謝意！ 參考文獻(xiàn) 1 胡付高,曾玉娥,一類矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式與應(yīng)用J;山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）2008年,43（8）;52.2 高明,姜詠梅,多個(gè)矩陣多相式的秩J;內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2010年,41（6）;633-644.3 黃堃，楊錦偉，線性變換在互素多項(xiàng)式下核的直和分解及應(yīng)用J; 平頂山學(xué)院學(xué),2008年,23（5）;42-444 李書超，蔣君，向世斌徐樹立一類矩陣秩的恒等式及其推廣武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)學(xué)報(bào)）2004年27（3）975 將永泉.互素多項(xiàng)式在矩陣秩中的應(yīng)用J;徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)報(bào),2004年,22（3）