對(duì)立體幾何中若干錯(cuò)解的剖析.

1、對(duì)立體幾何中若干錯(cuò)解的剖析丁勇在立體幾何的學(xué)習(xí)中， 倘若對(duì)基本的概念認(rèn)識(shí)不清， 缺乏一定的空間想象能力， 對(duì)問(wèn)題的思考不夠嚴(yán)謹(jǐn)，就很容易導(dǎo)致解題的失誤，下面舉例說(shuō)明。例 1.已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC10cmBD 6cm MN分別是AB、，、CD 的中點(diǎn)， MN 7cm 。 求異面直線 AC 與 BD 所成的角。A錯(cuò)解取 BC中點(diǎn) E，連結(jié) EM 、 EN ，因?yàn)?M 、 N 、 E分別為 AB、CD、 BC的中點(diǎn)，M所以MEAC且ME1 AC 5cm 。 NE BD 且2BDNEN1 BD 3cm 。 MEN 為異面直線 AC 與 BD 所成的角。E2在 MEN 中，由余弦定理得 c

2、osMENME 2NE 2MN 25232721 ，所2ME gNE2532以MEN120 ，所以異面直線AC 與 BD 所成的角為120 。剖析 上述解題過(guò)程中沒(méi)有注意到兩條異面直線所成的角的范圍是(0 ,90 。所以異面直線 AC 與 BD 所成的角為 180MEN60 ，例 2.把長(zhǎng)、寬分別為4、3 的長(zhǎng)方形 ABCD 沿對(duì)角線 AC 折成直二面角，求頂點(diǎn)B 和D 的距離。D錯(cuò)解 如圖，取 AC 的中點(diǎn) O，連結(jié) DO 、 BO，因?yàn)?AB4， AD 3，所以 BO= DO = 5 ，252AOC由勾股定理可求得 BD。2剖析 上述錯(cuò)解是由于對(duì)二面角的平面角理解不深造成的。B事實(shí)上，由于

3、 DO 、 BO 與棱 AC 不垂直，BOD 并不是二面角的平面角，也不是直角。DDCNMNMACABB如圖過(guò)點(diǎn) B 作 BMAC，過(guò)點(diǎn) D作DNAC ， BM ， DN 為兩條異面直線，在 RtABC ， BM gAC ABgBC ，因?yàn)?AB4, BC 3, AC 5, 所以 BM12，同理129, 同理 AN957 ,DN，又 BC2ACgCM , 所以 CM，而 MN AC2CM5555應(yīng)用異面直線距離公式 EF2d 2m2n22mn cos去求 BD，這里，二面角BACD 為直二面角，BM 與 DN 的夾角90 ， EF = BD ， dMN7，5mnBMDN12，所以 BD 2MN

4、 2BM 2DN 2337,所以 BD337,故5255B和D的距離 BD3375。例 3.矩形ABCD中，AC2 2ABBC，沿對(duì)角線AC折起，使ABC和ADC，所在平面互相垂直，此時(shí)BD 的長(zhǎng)為5，求 AB 的長(zhǎng)。錯(cuò)解 作 BEAC于E， DFAC于F，連結(jié) DE ，BF， B設(shè) ABx, BCy ，在ABC 中， AB 2BC 2AC 2，則x2y28 ，即 y28x2 。 CEFA由等面積公式 BEDFxy, CFAEx2,2222DEFAC2AE2 22x24 x2, 在DEF 中， DE 2EF 2DF 2,222BD 2BE 2DF 2EF 22BE2EF2,即52( xy )

5、2( 4 x2 )2 , 把 代 入 上 式 得222x48x212 0, 所以 x26 或 x22，即 AB6 或 2 剖析 錯(cuò)解忽略了題中所給的條件AB BC ，即 x y 。因而 x26 時(shí)， y22 不符合 x2 y2 ，所以 x22，即 AB2 。例 4.四棱錐 PABCD ，底面是邊長(zhǎng)為 a 的正方形，平面 PCD平面 ABCD ，PA 、PC 與底面所在平面所成角分別為60和 30 。求棱錐的高。PPDCOCBOBDAA（甲）（乙） 錯(cuò)解 因?yàn)槠矫?PCD平面 ABCD ，所以過(guò) P 作 POAC于O，則OP平面 ABCD 。（如圖甲）因?yàn)镻AO 60 ,PCO30 ,設(shè)OPh

6、，則 OAOPgcot 603h,3OCgo3h,所以由OAOC AC2a 得32a ， 所 以O(shè)P cot 30h 3h3h6 a 。所以所求棱錐的高為6 a 。44 剖析 題目并未說(shuō)四棱錐 PABCD 是正棱錐，因此，頂點(diǎn)P 在底面上的射影不一定在底面多邊形的內(nèi)部（如圖乙） 。正確作圖是解幾何題的關(guān)鍵，它能引導(dǎo)我們的思路，所以作圖時(shí)要十分注意。若 O在 AC 上，由 OA OCAC2a 得3 h3h2a ，所以 h6 a 。34若 O 在 AC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，則由OAOCAC2a 知，3h32a ，h3所以 h6 a ,故棱錐的高為6 a 或6 a 。242例 5. 正三棱柱的底面的一邊與

7、側(cè)棱都為 a ，過(guò)底面的一邊與上下底面中心連線的中點(diǎn)作棱柱的截面，求截面的面積。EA 'C 'A 'HGC 'O 'O 'FB 'B 'EPPACACOODDBB（甲）（乙） 錯(cuò)解 設(shè)上下底面中心為O 、O ' 。 P 為 OO' 連線的中點(diǎn)， D 為 AB的中點(diǎn)，連結(jié) DP 并延長(zhǎng)交 CC'于一點(diǎn) E ，則ABE 即為所求的截面，如圖（甲）。因?yàn)?EC DC 3,即OPOD 1EC3a 。所以 ED(3a)2(3a)23a 。所以 S ABE13a2 。2222 剖析 上述解答，似乎沒(méi)有毛病。但仔細(xì)檢查不

8、難發(fā)現(xiàn)，EC3 a aCC ' 。這說(shuō)2明 E 點(diǎn)不應(yīng)落在 CC '內(nèi)，而應(yīng)落在 CC '的延長(zhǎng)線上，見(jiàn)圖（乙） 。設(shè) DE 交上底面于點(diǎn) H ，過(guò) H 點(diǎn)作 GF ，使得 GF A ' B ' ，則等腰梯形 AGFB 才是所求的截面。因?yàn)?EC'3，又 EC'EHGF，所以 GF1AB1a, HD2DE23a ，EC1ECEDAB3333所以 S梯形 AGFB1 (a1 a)g2 3a4 3a2 。即所求棱柱的截面面積為43a2 面積單位。23399例 6. 在半徑為15 的球內(nèi)有一個(gè)底面邊長(zhǎng)為12 3 的內(nèi)接正三棱錐，求此正三棱錐的體

9、積 . 錯(cuò)解 如（圖一）所示，球心O 的位置， OAOBOCOD R15 。 BCD 是邊長(zhǎng)為 123 的正三角形，它的中心為H 。 H 也是 A 點(diǎn)和 O 點(diǎn)在平面 BCD 上的射影。HBHCHD23123 12, 所以 OHOB2HB 2152122932所以三棱錐 ABCD 的高 h91524 ，又 S BCD3 (12 3)21083.4所以三棱錐 ABCD 的體積 VA124864 3.BCD108 33 剖析 上面的解法只考慮了三棱錐A BCD 的頂點(diǎn) A 與球心 O 在平面 BCD 的同側(cè)，而遺漏了在異側(cè)的情況。如（圖二）所示，三棱錐 ABCD 的高 h OAOH159 6 。所以