平面向量在解析幾何中的應(yīng)用與求解策略

1、平面向量在解析幾何中的應(yīng)用與求解策略一、利用向量，可以很方便地解決有關(guān)平行、垂直、距離等相關(guān)問題，其基本理論是：b（一）、直線的方向向量：直線 L 的方向向量為m=（ a,b),則該直線的斜率為k= a（二）、利用向量處理平行問題：,y=(x,y對非零向量 a =(x1), b2),a b 的充要條件是：有且僅有一個12b0) 的充要條件是 ?x1y2-x 2y1=0；a =b ；亦即 a b ( a b（三）、利用向量求角： 設(shè) a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2 ),則兩向量 a 、b 的夾角：cos= cos =|a |b1212=x x+y y其特殊情況即為垂直問題：對非

2、零向量a =(x 1,y 1),b2222x1 +y1x2 +y2=(x 2,y 2),x1x2- y1y2=0；a b 的充要條件是a b =0?則有 | 222；（四）、利用向量求距離： 設(shè) a =(x,y),a |=a =x +y若 (,y1),(x2,y2),(x1x2 )2( y1y2 )2則 | AB|=A x1B二、典例分析：【題 1】、點 P（-3,1 ）在橢圓 x2y21(ab0) 的左準(zhǔn)線上 .a2b2y=-2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為:()過點 P 且方向為 a =(2,-5) 的光線，經(jīng)直線（ A）3（B） 1(C)2（D） 13322所以 KPQ5

3、, 則 l PQ ; y15 ( x3) ； 解析 ：如圖 , 過點 P（ -3 ，1）的方向向量 a =(2,-5);22即 LPQ ;5x2 y13 ;聯(lián)立：5x2y13得Q(9 ,2) ， 由光線反射的對稱性知：K QF15y252所以 LQF; y259)，即 LQF1 :5x2y50 ; 令 y=0, 得 F （ -1 ， 0 ） ; 綜上所述得：c=1 ，( x1251a 23,則 a3 ; 所以橢圓的離心率ec13 .故選 A。ca33=(2,-5)，則立即有直線的斜率為 點 撥 ： 本 題 中 光 線 所 處 直 線 的 方 向 向 量 是 aK PQ5 ,從而有 l PQ方程

4、為 : y15 ( x3) 。22【題 2 】設(shè)橢圓 x2y21 上一點 P 到左準(zhǔn)線的距離為10， F 是該橢圓的左焦點，若點M 滿足2516OM1OF)，則 |OM |(OP2解：依據(jù)橢圓的第二定義則有：|PF|=6 ，再由第一定義則|PF |=4 ；由于OM1 (OPOF ) ，由向量加法的平行四邊形法則，則點M處于 PF 的中點2處，故由中位線定理可知|OM | 2。點撥 ：本題中的向量條件OM1 (OPOF ) ，抓住向量加法的平行四邊形法則，從而轉(zhuǎn)化得出點M2處于 PF 的中點位置?！纠} 3】已知 A,B 為橢圓 x2y2x2y21的公共頂點 ,P,Q 分別為雙曲線和橢a2b21

5、(ab0) 和雙曲線 a2b2 R,|1), 設(shè) AP,BP,AQ,BQ斜率分別為 k1,k 2,k 3,k 4, 求圓上不同于 A,B 的動點 , 且有 AP+BP=( AQ+BQ)(證 :k 1 +k2+k3+k 4 為一個定值 .解、點 A(-a,0) ； B(a,0) ；由 AP+BP=( AQ+BQ), 依據(jù)向量加法的平行四邊22x1y1形法則 , 則有 O、 Q、 P 三點共線；設(shè) P(x1,y 1) 、Q（ x2， y2）, 則 a2 -b2 =1,22a22y1y12x1y12b2x1則 x1 -a=2 y1； k 1+k 2 =1+1=122=2 y1；bx +ax -ax-

6、aa-2b 2x2x1x2同樣有 k3+k 4=2 ；由于=， 所求的定值為 0。ay2y1y2 , 從而轉(zhuǎn)化得出了O、Q、 點撥：本題中的向量條件 : AP+BP=( AQ+BQ)，通過向量加法的平行四邊形法則P 三點共線；然后再繼續(xù)進(jìn)行推理、求解，從而得出結(jié)論。【例題 4】(2007年全國高考理科12 題) 設(shè) F 為拋物線 y24x 的焦點， A， B， C 為該拋物線上三點，若 FA FB FC0，則 FAFBFC （）A 9B 6C 4D 3解：拋物線的焦點 F（ 1，0）設(shè) A 、B、C 三點的坐標(biāo)分別為( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) 、( x3 , y3 ) ；

7、則有 FA=( x11, y1 ) ， FB=(x21, y2 ) ， FC=( x3 1, y3 ) ， FAFBFC0 ； x1 1 + x21 + x31 =0 ； x1+x 2+x3=3, 又 由 拋 物 線 的 定 義 可 知FAFBFCx 1+1+x2+1+x3 +1=6，從而選（ B) 。點撥：本題中，向量條件FAFBFC0 ；利用向量的坐標(biāo)運算規(guī)律進(jìn)行轉(zhuǎn)化后可得x1+x 2+x3=3, 再由于所求均為焦半徑，從而利用拋物線的定義馬上可得到所求之答案為（B）?！纠}5】、（ 2004 年全國高考）給定拋物線C：y24x,F 是C 的焦點，過點F的直線 l與 C相交于 A、 B 兩

8、點 . （）設(shè) l 的斜率為1，求 OA與OB 夾角的大?。唬ǎ┰O(shè) FBAF, 若 4,9 ，求 l 在 y 軸上截距的變化范圍 .解：（） C的焦點為 F（ 1， 0），直線 L 的斜率為1，所以 L 的方程為 yx1.將 yx 1 代 入 方 程 y 24x ， 并 整 理 得 x26x 10. 設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 則 有x1 x26, x1 x21.OA OB (x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2y1 y22x1 x2( x1x2 ) 13.| OA |OB |x12y12x22y22x1 x2 x1 x24( x1x2 )16

9、41.cos(OA,OB)OA OB3 14所以與OB夾角的大小為arccos3 14 .| OA |OB |.OA4141（）由題設(shè) FBAF得 ( x21, y2 )(1x1 , y1 ), 即x2 1(1x1 ),y2y1. 又由于點 F 為拋物線的焦點， 則有 | FB | AF | 依據(jù)拋物線的定義有： x +1=(x+1) ； 聯(lián)立方程21和可求得 x1=11） 或求得點 B( ,2), ；又 F（ 1，0），則可得直線L 的；則點 A（， 2方程為：(1) y 2( x1)或(1) y2(x1), 當(dāng) 4,9 時， l在方程 y 軸上的截距為 2或2, 由 21212,可知 2在

10、 4 ， 9 上是遞減的，1111 3214,4213 ,直線 L 在 y 軸上截距的變化范圍為4 ,3 3,4.43343443點拔：本題主要是將向量相等的條件FBAF ，轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)關(guān)系等式：( x2 1, y2 )(1x1, y1 ), 即x21(1 x1 ),A 的坐標(biāo)數(shù)值，再往下進(jìn)行轉(zhuǎn)y2y1.然后可以此去求出交點化推理，從而使問題得以解決。【例題 6】（2007年湖南高考理科20 題）已知雙曲線 x2y22 的左、 右焦點分別為 F ， F ，過點 F122的動直線與雙曲線相交于A，B 兩點（I）若動點 M 滿足 FMFA FBFO （其中 O 為坐標(biāo)原點） ，求點 M 的軌跡方

11、程； （ II ）在 x 軸1111上是否存在定點C ，使 CA CB 為常數(shù)？若存在，求出點C 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：由條件知F1(2，0) ， F2 (2，0) ，設(shè) A(x1，y1) ， B( x2， y2 ) （ I ）設(shè) M ( x， y) ，則， ， ，由F M ( x 2 y)F A ( x 2 y )F B ( x 2 y)FO (20)11111221x 2 x1x2，x1x2，F(xiàn) MF AF BF O6x 4當(dāng) AB不與x軸垂直時，設(shè)直線 AB即1111得yy1y2y1y2y的方程是 yk (x 2)( k1)代入 x2y22有 (1k 2 ) x24k 2 x(

12、4k 22)0則 x1， x2 是上述方程的兩個實根，所以x1x24k2 yy2k( xx24)k4k 244k 由得k 2111k1k21x44k 2 ； y4k ；當(dāng) k0 時， y0 ，由得，xy4k ，將其代入有k 21k 214x4y4 y( x4)22y整理得( x 6)y4當(dāng) k0 時，點 M 的坐標(biāo)為(4，0)，滿足上( x 4)2(x 4) 2y2y21述方程當(dāng) AB 與x軸垂直時，x1x22，求得M(80)，也滿足上述方程故點M 的軌跡方程是，( x6)2y24 （ II ）假設(shè)在 x 軸上存在定點點C ( m，0) ，使 CA CB 為常數(shù)，當(dāng) AB 不與 x 軸垂直時，

13、由（ I ）有x1x24k21， x1x24k 22 于是k 2k 21CA CB( xm)( xm)k 2 (x12)( x22)(k 2 1) x1 x2(2k 2m)( x1x2 )4k 2m212(k21)(4 k22)4k2 (2 k2m)4k 2m22(12m)k 22m22(12m)44mm2 k 2 1k 2 1k21k21因為 CA CB 是與 k 無關(guān)的常數(shù)，所以44m0 ，即 m 1，此時 CA CB =1當(dāng)AB與x軸垂直時，點A，B的坐標(biāo)可分別設(shè)為， 此 時(22)(22)CA CB(，12，)(12)1故在 x 軸上存在定點C (1，0) ，使 CA CB 為常數(shù)點撥

14、：本題中的向量條件的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是利用向量坐標(biāo)的運算規(guī)律去加以運用與轉(zhuǎn)化！【例題 7】設(shè)過點 P( x, y) 的直線分別與x 軸的正半軸和y 軸的正半軸交于A, B 兩點，點 Q 與點 P 關(guān)于y 軸對稱， O 為坐標(biāo)原點，若BP2PA 且 OQ AB1 ，則點 P 的軌跡方程是( )A 3x23y21( x0, y0)B3x23y21(x0, y0)C 3 x223 x223 y21(x0, y0)D3y 21(x0, y0)22解：設(shè)P（ x， y），則Q（ x ， y ），又設(shè)A（ a， 0）， B（ 0 ， b ），則 a0 ， b0 ，于是（ ， ）， （ ， ），由 BP2PA 可

15、得 a 3x， b 3y，BPx yb PAa xy2所以 x0，y0 又 AB （ a，b）（ 3 x，3y），由 OQ ?AB 1 可得 3 x 23y 21( x 0, y 0)22故選 D點撥：本題中的向量條件的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵也是利用向量坐標(biāo)運算規(guī)律去加以運用與轉(zhuǎn)化！【例題 8】已知兩點 M（ 2，0）、N（ 2，0），點 P 為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點， 滿足 | MN | | MP | MN NP0，則動點 P（ x， y）的軌跡方程為（）（ A） y 28x（B） y28x（C） y24 x（ D） y 24x解答、設(shè) P(x, y) ， x0, y0，M (2,0), N (2,0) ，

16、MN4；則 MP( x 2, y), NP( x2, y)由 MNMP MNNP0，則 4( x2) 2y24( x2)0，化簡整理得 y28x 所以選 B點撥：本題中的向量條件的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵還是利用向量坐標(biāo)運算規(guī)律去加以運用與轉(zhuǎn)化！【例題 9】已知點 M（ 2，0），N（ 2，0），動點 P 滿足條件 |PM | |PN |= 2 2 ，記動點 P 的軌跡為 W.（）求 W 的方程；（）若 A ，B 是 W上的不同兩點， O 是坐標(biāo)原點，求OA OB 的最小值 .解：（）由 |PM| |PN|=2 2知動點 P的軌跡是以M , N 為焦點的雙曲線的右支，實半軸長a2 ；又半焦距c=2 ，故虛半

17、軸長bc2a22；所以 W 的y方程為 x2y21, x2MHP22x（）設(shè) A ， B 的坐標(biāo)分別為 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) ；當(dāng) AB x 軸時 , x1x2 ,OF從而 y1y2 , 從而 OA OB x1 x2y1 y2x12y122. 當(dāng) AB與 x 軸不垂直時 , 設(shè)直線 AB 的方程為 ykxm , 與 W的方程聯(lián)立 , 消去 y 得2km2 ,22 ,所以(1k2 )x22kmxm220. 故 x1x2x1 x2m21kk1OA OBx1x2y1 y2x1 x2(kx1m)( kx2m)(1k 2 ) x1 x2km(x1x2 ) m2(1 k2 )(

18、m22)2k2 m2m22k 2224. 又因為 x1x20,所以k 211 k 2k 2 1k21k210 , 從而 OA OB2.綜上 , 當(dāng) AB x 軸時 ,OA OB 取得最小值2.點撥：向量條件OA OBx1x2y1 y2 在綜合題中的轉(zhuǎn)化是經(jīng)常要用到的，它實質(zhì)是向量坐標(biāo)運算規(guī)律的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化。【例題 10】（ 2006 年遼寧卷） 已知點 A(x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x20) 是拋物線 y22 px( p0) 上的兩個動點,O是坐標(biāo)原點,向量OA,OB滿足 OAOBOA O.設(shè)B圓C的方程為x2y2( x1x2 )x ( y1 y2 ) y 0(I

19、)證明線段 AB 是圓 C 的直徑 ;(II)當(dāng)圓 C的圓心到直線x-2y=0 的距離的最小值為時， 求 P的值?！窘馕觥?(I)OAOBOAOB ,(OAOB )2(OAOB) 2 ；整理得 :OA OB0x1x2y1 y20 ；設(shè) M(x,y)是以線段 AB為直徑的圓上的任意一點,則 MA MB 0即( xx1 )( xx2 )( yy1)( yy2 )0 ；整理得 :x2y2( xx) x( yy) y01212故線段 AB 是圓 C 的直徑xx1x2y12 y22(II)解 : 設(shè)圓 C 的圓心為 C(x,y),則2；22y1y12 px1 , y22 px2 ( p 0) x1 x2

20、4 p2yy22又因 x1 x2y1 y20 x1 x2y1 y2y1 y2y12 y2 2； x1 x20, y1 y20 y y24 p 24p21xx1x21( y12y22 )1( y12y222 y1 y2 )y1 y21( y22 p2 ) ；所以圓心的軌跡方程為24 p4 p4 ppy2px2 p2 ；設(shè)圓心 C 到直線 x-2y=0的距離為 d, 則| x 2y | 1 ( y22p2 ) 2 y | y 22 py 2 p2 | | ( y p)2p2 |dp555 p5p當(dāng) y=p 時 ,d有最小值p , 由題設(shè)得p25p2 .555點撥：本小題考查了平面向量的基本運算，圓

21、與拋物線的方程、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力?！纠} 11】（ 2006 年天津卷） 如圖，以橢圓 x2y 21 a b 0 的中心 O 為圓心，分別以 a 和 b 為a2b 2半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點F c,0 cb 作垂直于 x 軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點A 連結(jié)OA 交小圓于點 B 設(shè)直線 BF 是小圓的切線 （ 1）證明 c2ab，并求直線 BF 與 y軸的交點 M 的坐標(biāo)；（ 2）設(shè)直線 BF 交橢圓于 P 、 Q 兩點，證明 OP OQ1 b2 2 證明：（）由題設(shè)條件知，RtOFA RtOBF 故 OFOB ，即 cb ；OAOF

22、ac因此， c2ab ；在 RtOFA ，22a222ab. 在 RtOFA中，F(xiàn)A OAOFcb.因此， cFA OA2OF 2a2c2b .于是，直線OA的斜率koab. 設(shè)直線 BF 的斜率為 k ，則 k1cBF與 y 軸的交ckoa. 這時，直線b點為 M (0, a) ；( ) 由（），得直線 BF得方程為 ykxa,且 k 2c2abab2b2b由已知，設(shè) P(x1, y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，則它們的坐標(biāo)建立方程組x2y21y ，并整理得 (b2a2k 2 ) x22a3kxa4a2b2a2b2；由方程組消去0ykx a由 式 、 和 ； x1 x2a4a2 b2a2 (a2b2 )a3b2； 由 方 程 組 消 去 x ， 并 整 理 得b2a2 k222 aa3b3b ab(b2a2k 2 ) y 22ab2 ya2 b2a2b2k 20a22(1k2)a2b2 (1 a )2 2(ba)由式和，y1 y2bba bb2a2k222 ab3a3bab綜上，得到 OP OQx1 x2y1 y2a3b2a2b2 (b a)a2b3a3b3a3b3a3b3注意到 a2abb2a 2c2b22b2，得OP OQa2 b3(aa2b32b2a2 bac2b)a(a2b2) 1(a2ab)1(a2c2 )1b2a3b3b)2