文科選修坐標系與參數(shù)方程

1、1選修 4 4 坐標系與參數(shù)方程基礎(chǔ)知識”自主學(xué)習(xí)I要點梳理1.極坐標系長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個極坐標系.的M設(shè) M 是平面內(nèi)一點，極點 0 與點 M 的距離 0M 叫做點，記為p,以極軸 Ox 為始邊，射線 0M 為終邊的角叫做點 M 的極角，記為有序數(shù)對(pB)叫做點的極坐標，記作 M (p, 0).(2)極坐標與直角坐標的關(guān)系：把直角坐標系的原點作為極點，長度單位，設(shè) M 是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標為(px 軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的，則它們之間的關(guān)系為x=_另一種關(guān)系為p=_， tan

2、0=_.2.簡單曲線的極坐標方程(1)直線的極坐標方程0= a(pR)表示過極點且與極軸成a角的直線；pcos0=a 表示過(a,0)且垂直于極軸的直線；pin0=b 表示過，=且平行于極軸的直線；pin(a 0)=psin(a 01)表示過(pi，0i)且與極軸成a角的直線方程.(2) 圓的極坐標方程p=2rcos0表示圓心在(r,0)，半徑為|r|的圓;p=2rsin0表示圓心在 r， 2，半徑為I 的圓；p=r 表示圓心在極點，半徑為|r|的圓.3.曲線的參數(shù)方程x= ft), y= g(t) 并且對于 t 的每一個允許值上式所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，則稱上式為該曲線的 .在

3、平面直角坐標系 xOy 中，如果曲線上任意一點的坐標x，y 都是某個變量 t 的函數(shù)中變量 t 稱為4. 一些常見曲線的參數(shù)方程，其(1)極坐標系的建立：在平面上取一個定點0,叫做，從 0 點引一條射線 Ox，叫做，再選定一個23(1)過點 Po(xo, yo),且傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為_(t 為參數(shù)).圓的方程(x- a)2+ (y b)2= r2的參數(shù)方程為_(B為參數(shù)).2 2橢圓方程 拿+詁=1(ab0)的參數(shù)方程為_(0為參數(shù)).拋物線方程 y2= 2px(p0)的參數(shù)方程為_(t 為參數(shù)).旁實茶別突破疑嘩1.在極坐標系中，直線_pin(0+=2 被圓p=4 截得的弦長為.2

4、.極坐標方程p=sin0+2cos0能表示的曲線的直角坐標方程為_x = 4t2,3.已知點 P(3, m)在以點 F 為焦點的拋物線 j(t 為參數(shù))上，貝 U PF =.ly = 4tx= 1 + tsin 40 , 4.直線彳_o(t 為參數(shù))的傾斜角為 .|y= 3+ tcos 405.已知曲線 C 的參數(shù)方程是,=3t21(t 為參數(shù)).則點 M1(0,1), M2(5,4)在曲線 C 上的是y= 2t + 1-題型分類*深度剖析2 3題型一 極坐標與直角坐標的互化【例 1】在直角坐標系 xOy 中，以 0 為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C 的極坐標方程為 pcos(0

5、-n3=1, M , N 分別為 C 與 x 軸、y 軸的交點.(1)寫出 C 的直角坐標方程，并求 M、N 的極坐標；設(shè) MN 的中點為 P,求直線 OP 的極坐標方程.4題型二參數(shù)方程與普通方程的互化思維升華直角坐標方程化為極坐標方程，只需把公式x=pos0及 y= psin0直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形，構(gòu)造形如pcos0, pin0, p的形式，進行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)P及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗.代H:戈i在極坐標系中，已知圓p=2cosB與直線 3 pcos0+

6、4pin0+a = 0 相切，求實數(shù) a 的值.【例 2】已知兩曲線參數(shù)方程分別為x/5cos0y=sin0（tR），求它們的交點坐標.5思維升華（1）參數(shù)方程化為普通方程常用的消參技巧有代入消元、加減消元、平方后再加減消元等.對于與角0有關(guān)的參數(shù)方程，經(jīng)常用到的公式有sin20+ cos20=1,1+ tan20=CoSo等.（2）在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，還要注意其中的x, y 的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普 通方程與參數(shù)方程的等價性.丘蹤訓(xùn)蚣2將下列參數(shù)方程化為普通方程.廣2x=24cos0,叫y=1+sin20題型三極坐標、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【例 3】在直角坐標平

7、面內(nèi)，以坐標原點O 為極點，x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.曲線C 的極坐標方程是px=(1)21 + t2,4 2t2（t 為參數(shù)）;1 +12（0為參數(shù)）.6（t 為參數(shù)）,M , N 分別為曲線 C、直線 l 上的動點，求 MN 的最小值.思維升華 涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解轉(zhuǎn)化后可使問題變得更加直觀，它體現(xiàn)了化歸思想的具體運用.厲蹤匚（2013 遼寧）在直角坐標系 xOy 中，以 O 為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓0,直線 C?的（1）求 Cl與 C2交點的極坐標；x=+a,設(shè) P 為 Cl的圓心，Q 為 6

8、與 C2交點連線的中點.已知直線 PQ 的參數(shù)方程為 b3（t R 為參數(shù)），求 a,y= 2t+1b 的值.參數(shù)的幾何意義不明致誤極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C 的極坐標方程為p=2cos（0才）.（1）求直線 I 的傾斜角；若直線 I 與曲線 C 交于 A, B 兩點，求 AB.x= 3+=4cos0,直線 l 的參數(shù)方程是典例：（10 分）已知直線 I 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)），若以直角坐標系 xOy 的 O 點為極點，Ox 方向為極坐標方程分別為尸 4sin 0,posx= 2t,7易錯分析不明確直線的參數(shù)方程中的幾何意義導(dǎo)致錯誤.規(guī)范解答8傾斜角為 604 分直線

9、I 的直角坐標方程為 y=3x2=, 6 分p=2cos（0-4）的直角坐標方程為（x-=）=+ （y=）= 1， 8 分所以圓心迸,-=）到直線 I 的距離所以 AB=號.10 分x=xo+tcosa,溫馨提醒對于直線的參數(shù)方程.（t 為參數(shù)）來說，要注意 t 是參數(shù)，而y=yo+tSinax= acos6,與此類似，橢圓參數(shù)方程0,000,0Wft2n).4標 （用極坐標表示 ）；求圓 Ci與 C2的公共弦的參數(shù)方程.4(2012 寧)在直角坐標系 xOy 中，圓 Ci： x2+ y2= 4，圓 C?： (x 2)2+ y2= 4.(1)在以 O 為極點，x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，分

10、別寫出圓 Ci, C2的極坐標方程，并求出圓Ci, C2的交點坐x 軸的正半軸為極14要點梳理1.極點極軸極徑pos0pin0 x2+y2y3 .參數(shù)方程參數(shù)x=xo+tcosax=a+rcos04.t(2)1y=yo十 tsinay=b+rsin0(-廠2x=acos0 x=2pti1y=bsin0y=2pt夯基釋疑1. 4,3 2.x2+ y2 2x- y= 03.4 4.50 5.M!題型分類深度剖析n【例 1】解由 pcos(0 3)= 1 得pcos0+_23sin0 =1.從而 C 的直角坐標方程為 2x23y= 1,即 x+ . 3y= 2.當0=0 時，p=2,所以 M(2,0

11、).當0=2 時，p=穿，所以N(穿,n.M 點的直角坐標為(2,0).所以 P 點的直角坐標為(1 , 則 P 點的極坐標為(彳嚴,36n所以直線 OP 的極坐標方程為0=n(pR).跟蹤訓(xùn)練 1 解將極坐標方程化為直角坐標方程,得圓的方程為 x2+ y2= 2x,即(x 1)2+ y2= 1, 直線的方程為 3x+4y+ a = 0.由題設(shè)知，圓心(1,0)到直線的距離為 1,答案N 點的直角坐標為(0,2 .33).15|3X1+4x0+a|即有=1,解得 a = 8 或 a = 2.,32+ 42故 a 的值為一 8 或 2.4.5xw5）和 y = x,聯(lián)立解得交點為2 2 242t

12、 4(1+t6t2t2二 y=7 =2一=43X-=43x.1+1 1+1 1+1又 x=也 2 = 2-亠 0,2).1 +1 1 +1 1 +1 x 0,2).所求的普通方程為 3x+ y 4 = 0(x 0,2).2 2(2)4cos0=2x,4sin0=4(y+1).2 24cos0+4sin0=2x+4y+4.4y x+ 2 = 0.2/ 0w4cos0w4, 0w2xw4, 2wxw2.所求的普通方程為 x 4y 2 = 0(x 2,2).【例 3】解 化極坐標方程尸 4COS0為直角坐標方程 x2+ y2 4x= 0,所以曲線 C 是以(2,0)為圓心，2 為半徑的圓. 也 x=

13、 3+2t,化參數(shù)方程(t 為參數(shù))為普通方程 x . 3y+ 3= 0.|2+ 3|5圓心到直線 l 的距離 d= 2,W + 32此時，直線與圓相離，51所以 MN 的最小值為5 2 = 2.1，語.跟蹤訓(xùn)練 2 解- x=2t21 + t2【例 2】解 將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程分別為16跟蹤訓(xùn)練 3 解 圓 Ci的直角坐標方程為x4+ (y 2)2= 4，直線 C2的直角坐標方程為x+ y 4= 0.x2+ y 22= 4,解 |x+ y 4= 0,xi= 0,x2= 2,得yi= 4,y2= 2.所以 Ci與 C2交點的極坐標為 4,n,2 2,n,注：極坐標系下點的表示不唯一.

14、由(1)可得，P 點與 Q 點的直角坐標分別為(0,2), (1,3).故直線 PQ 的直角坐標方程為 x y + 2= 0,由參數(shù)方程可得 y= 2x乎+ 1,4x + y= 1, x 1,1.由pin(0+=U2 得曲線 D 的普通方程為x + y+ 2= 0.解得 a= 1, b = 2.所以17練出高分A 組|x = t +1,1.解因為直線 I 的參數(shù)方程為$(t 為參數(shù)),ly = 2t由 x= t + 1 得 t = x 1,代入 y= 2t，得到直線 I 的普通方程為 同理得到曲線 C 的普通方程為 y2= 2x.y=2（x1）聯(lián)立方程組oLy =2x,解得公共點的坐標為（2,

15、2）,1 .x= sina,2.解（1）由2% 0,2 彳得y=cosa ,2x y 2= 0.y= 3y,18x+ y+ 2 = 0,2得 x x 3 = 0.x + y= 1解得 x= !? 1,1,故曲線 C 與曲線 D 無公共點.3.解 (1)由點 A( 2, 4)在直線pos( 0 4) = a 上，可得 a= 2.所以直線 I 的方程可化為pcos0+ psinB= 2,從而直線 I 的直角坐標方程為x + y 2= 0.2 2由已知得圓 C 的直角坐標方程為(x 1) + y = 1, 所以圓 C 的圓心為(1,0)，半徑 r = 1,因為圓心 C 到直線 I 的距離 d=1=】

16、1,寸 22，所以直線 I 與圓 C 相交.24.解T尸 12sin0,二p =12pin0,2 2 2 2二 x + y 12y= 0，即 x + (y 6) = 36.x + y 6i.;3x 6y= 0, (x 3 3)2+ (y 3)2= 36,二 PQmax= 6+ 6+ :3 .32+ 32= 18.x= pcos0,廠5.解(1)由公式 得 M 的直角坐標為(1, . 3);y=psin0N 的直角坐標為(2,0); P 的直角坐標為(3, . 3). TklMN- kMN= kNP, M、N、P 三點在一條直線上.2n. p =12pcos 9cos 6+sin0inx= 2x

17、, 則196.解 圓 x2+ y2= 36上任一點為 P(x, y)，伸縮變換后對應(yīng)的點的坐標為P (x , y),20,2,24x2+ 9y2= 36,即 分 + 亍=1.2 2曲線 C 在伸縮變換后得橢圓 石+ y4 = 1 ,其焦點坐標為( 5 , 0). IB 組21.解 圓 O: P=cos0+sin 即p =pcos0+ pin0,圓 O 的直角坐標方程為 x2+ y2= x+ y,即 x2+ y2 x y= 0,直線 l:psin(0，即pin0Pos0=1,則直線 l 的直角坐標方程為 y x= 1,即 x y+ 1 = 0.x2+ y2 x y = 0,x= 0,由5得丫|x

18、 y+ 1 = 0y= 1,n故直線 l 與圓 O 公共點的極坐標為(1,n.2.解(1)由p=2 知p=4,所以 x2+y2=4;因為p2 2 2 pcos(0=2 ,所以p222pcos0cosnsin Osin=2 ,所以 x2+ y2 2x 2y 2 = 0.(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x+ y= 1.化為極坐標方程為pos0+pin0=1 ,即0+n=x = 4 + 5cos t3.解(1) / C1的參數(shù)方程為y = 5 + 5si n t5sin t = y 52 2 2 2.(x 4) + (y 5) = 25(cos t+ sin t)= 25 , 即 Ci的直角坐標方程為(x 4)5+(y 5)2= 25,22把 x= pcosay=pinB代入(x 4) + (y 5) = 25,化簡得：p 8 pcos a 10pinB+16= 0.得叩0=1,從而p=亦于是圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程為 y= tan0,扌i5cos t= x 421(2)C2的直角坐標方程為 x2+ y2= 2y,(x 4f+ (y 52= 25解方程組o o2 2x + y = 2yx= 1|x= 0得彳 或彳 .y= iy=2二 Ci與 C2交點的直角坐標為