估計(jì)水塔的水流量

1、估計(jì)水塔的水流量美國(guó)某州的各用水管理機(jī)構(gòu)要求各社區(qū)提供以每小時(shí)多少加侖計(jì)的用水率以及每天所用的總水量.許多社區(qū)沒(méi)有測(cè)量流入或流出當(dāng)?shù)厮乃康难b置,他們只能代之以每小時(shí)測(cè)量水塔中的水位,其精度不超過(guò)5%,更重要的是,當(dāng)水塔中的水位下降最低水位L 時(shí)水泵就啟動(dòng)向水塔輸水直到最高水位H,但也不能測(cè)量水泵的供水量.因此,當(dāng)水泵正在輸水時(shí)不容易建立水塔中水位和水泵工作時(shí)用水量之間的關(guān)系.水泵每?jī)商燧斔淮位騼纱?每次約二小時(shí).試估計(jì)任何時(shí)刻(包括水泵正在輸水的017921時(shí)間內(nèi))從水塔流出的流量f(t),并估計(jì)一天的總用水量.附表給出了某各小鎮(zhèn)一天中真實(shí)的數(shù)據(jù).附表給出了從第一次測(cè)量開始的以秒為單位

2、的時(shí)刻.以及該時(shí)刻的高度單位為百分之一英尺的水位測(cè)量值.例如,3316 秒后,水塔中水位達(dá)到31.10 英尺.水塔是一個(gè)高為40 英尺,直徑為57 英尺的正圓柱.通常當(dāng)水塔水位降至約27.00 英尺的水泵開始工作,當(dāng)水位升到35.50 英尺時(shí)水泵停止工作. 時(shí)間（秒）水位(0.01英尺)時(shí)間（秒）水位(0.01英尺)時(shí)間（秒）水位(0.01英尺)0317535932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579154水泵工作13937294746636335082649水

3、泵工作179212892499533260859683475212402850539363167899533397252232797572543087932703340285432752605743012  322842697645542927  問(wèn)題分析與數(shù)據(jù)處理 由問(wèn)題的要求,關(guān)鍵在于確定用水率函數(shù),即單位時(shí)間內(nèi)用水體積,記為f(t),又稱水流速度.如果能夠通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù),產(chǎn)生若干個(gè)時(shí)刻的用水率,也就是f(t)在若干個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值,則f(t)的計(jì)算問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為插值或擬合問(wèn)題 一,問(wèn)題假設(shè) 1)水塔中水流量是時(shí)間的連續(xù)光滑函數(shù),與水泵工作與否無(wú)關(guān),并忽

4、略水位高度對(duì)水流速度的影響. 2)水泵工作與否完全取決于水塔內(nèi)水位的高度,且每次加水的工作時(shí)間為2小時(shí). 3)水塔為標(biāo)準(zhǔn)圓柱體. 4)水泵第一次供水時(shí)間為32284, 39435,第二次供水時(shí)間段為75021,85948. 5)為了方便計(jì)算我們把表格中的秒轉(zhuǎn)化成小時(shí).6）我們規(guī)定以下符號(hào)：h:水塔中水位的高度，是時(shí)間的函數(shù)，單位為英尺；v:水塔中水的體積，是時(shí)間的函數(shù)，單位為加侖；t:時(shí)間，單位為小時(shí)；f:模型估計(jì)的水塔水流量，是時(shí)間的函數(shù)，單位為加侖/小時(shí)p:水泵工作時(shí)的充水水流量，也是時(shí)間的函數(shù)，單位為加侖/小時(shí)。 二.體積計(jì)算 水塔是一個(gè)圓柱體,體積為v=pi*D2*h,其中D=57英尺

5、 得到不同時(shí)刻水塔中水的體積如下 水塔中水的體積 時(shí)間（小時(shí)）水體積（加侖）時(shí)間（小時(shí)）水體積（加侖）時(shí)間（小時(shí)）水體積（加侖）009211184312949738714497815900070064792868967860612559371658302657157156259955209954408153396352537251487299810110.9256109542120328129544138758149822159039168261179317水泵工作水泵工作6777156576706395346223526045985893255750085587811903751995942

6、083922201522958123880024986925983542554528236514872水泵工作水泵工作663397648506637625 三,.水流速度的估算 水流速度應(yīng)該是水塔中水的體積對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)(微商).由于沒(méi)有水的體積關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式,而只有一個(gè)離散的函數(shù)值表,因此考慮用差商代替微商, 我們已經(jīng)得到了水塔中水的體積Vi與時(shí)間ti的關(guān)系，由于f(t)=|，要得到f(t)曲線，我們用差分公式得到fiti關(guān)系，當(dāng)然由于沒(méi)有水泵工作期間的Vi，由差分得到的fi也沒(méi)有水泵工作期間的數(shù)據(jù)?？梢钥闯?，Vi很像均勻隔開的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并因水泵工作而分成三組，我們這樣來(lái)處理這些數(shù)據(jù)：對(duì)每

7、一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，為了減少誤差，我們采用中心差分公式：fi:=f(ti)=| 及Fi:=f(ti)=|, Fi:=f:(ti)=| | 得到水流量值的表格如下:時(shí)間（小時(shí)）水體積（加侖）時(shí)間（小時(shí)）水體積（加侖）時(shí)（小時(shí)）水體積（加侖）0092111843129497387144978159000700647928689678144051118010063110128797999281241016084881101899811109256109542120328129544138758149822159039168261179317水泵工作水泵工作19469201961894115903180551

8、56461374114962190375199594208392220150229581238800249869259083166531449614648水泵工作1522515264137089633用SPSS大致畫出函數(shù)圖象如下： 四, 用三次樣條擬合fi上面所得到的fi是相當(dāng)粗糙的，而且還不包括水泵工作期間的數(shù)據(jù)。我們采用三次樣條函數(shù)插值表數(shù)據(jù)，得到光滑的水流量曲線f(t)。但有一個(gè)問(wèn)題：水泵工作期間的水流量如何擬合？根據(jù)假設(shè)，水流量只依靠于公眾對(duì)水的需求，是一種自然的規(guī)律，它本身是一條相當(dāng)光滑的曲線，有水泵工作時(shí)的數(shù)據(jù)當(dāng)然最好，現(xiàn)在不知道，我們只能依據(jù)連續(xù)性，領(lǐng)先充水前后的數(shù)據(jù)來(lái)擬合曲線

9、，為了得到水泵工作時(shí)的水流量，我們忽略水泵工作期間的數(shù)據(jù)，直接對(duì)充水前后的數(shù)據(jù)用三次樣條插值來(lái)擬合。PS：三次插值樣條函數(shù)定義 設(shè)在區(qū)間a,b上給定一個(gè)分割：a=x0<x1<<xn-1<xn=b,定義在a,b上的一個(gè)函數(shù)S(x)如果滿足下列條件：在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi(=1,2, ，n)內(nèi)S(x)是三次多項(xiàng)式；在整個(gè)區(qū)間a,b上，S(x)為二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，也就是說(shuō)，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=1,2,n-1)處，S(k)(xi-0)=S(k)(xi+0),k=0,1,2 (2)則稱S(x)為三次樣條函數(shù)對(duì)定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)f(x),如果存在三次樣條函數(shù)S(x)，使得

10、在節(jié)點(diǎn)處還滿足S(xi)=f(xi)(i=0,1, ，n),就稱S(x)為插值于f(x)的三次樣條函數(shù)對(duì)給定的一組有序數(shù)組yi(i=0,1, ，n),如果三次樣條函數(shù)S(x)滿足S(xi)=yi(i=0,1, ，n),就稱S(x)為插值于yi的三次樣條函數(shù)現(xiàn)在，如果對(duì)函數(shù)f(x)，我們并不知道其解析表達(dá)式，而只知道其在節(jié)點(diǎn)處的值fi=f(xi) (i=0,1, ，n),如何估計(jì)f(x)?一個(gè)很自然的方法就是求插值于fi的三次樣條函數(shù)S(x),以S(x)作為對(duì)f(x)的逼近那么，如何求出S(x)?我們將利用fi及一階、二階導(dǎo)數(shù)來(lái)建立求S(x)的表示式及連續(xù)性方程()連續(xù)性方程與S(x)的表示式記

11、S(x)在節(jié)點(diǎn)xi處的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別為S(xi)=fi,S(xi)=mi,S"(xi)=Mi, (i=0,1, ，n) (3)由于S(x)是分片三次多項(xiàng)式，在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi上，S(x)的二階導(dǎo)數(shù)是線性函數(shù)，記hi=xi-xi-1表示小區(qū)間長(zhǎng)度，有S(x)=Mi-1, (xi-1xxi) (4)將（4）式積分一次，得S(x)=-Mi-1 , (xi-1xxi) (5)再將（5）式積分一次，有S(x)=Mi-1 (xi-1xxi) (6)由插值條件（3），S（xi）=fi,S(xi-1)=fi-1,代入（6）式，有而由（5）式，有(7)但由一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，S(xi

12、-0)=S(xi+0)(i=1,n-1),由（7）式就得到n-1個(gè)等式iMi-1+2Mi+iMi+1=di, (i=1,n-1) (8)其中i=,i=di= (i=1,n-1)。 (9)方程組（8）稱為S(x)的M連續(xù)性方程。我們來(lái)看（6）式，假定fi(i=0,1,n)都已知，如果再知道M0,Mn,則（6）式就決定了S(x)的具體表達(dá)式。實(shí)際上方程組（8）具有和有直觀的力學(xué)意義，那就是i與i表示相鄰區(qū)間xi-1,xi與xi,xi+1的長(zhǎng)度比，而di為插值數(shù)據(jù)在xi處的二階中心差商的3倍，那么，（8）式說(shuō)明了插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在xi-1,xi,xi+1三點(diǎn)處的加權(quán)平均（權(quán)因子分別為i/3,2/3

13、,i/3）為被插數(shù)據(jù)在xi處的二階中心差商，這就是力學(xué)上的“三彎矩”關(guān)系。設(shè)有三次樣條函數(shù)S(t)通過(guò)表的數(shù)據(jù)點(diǎn)，具有端點(diǎn)to=0和t24=25.9083，設(shè)在每一個(gè)小區(qū)間ti,ti+1上，S(t)是一個(gè)三次方程，為Si(t)=a0i+a1i(t-ti)+a2i(t-ti)2+a3i(t-ti)3 在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)ti處，Si-1(t)與Si(t)的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)相等，都反映了水流量曲線f(t)的光滑性質(zhì)，這時(shí)就有限制方程fi= a0i+a1i(t-ti)+a2i(t-ti)2+a3i(t-ti)3 = a0I-1+a1I-1(ti-ti-1)+a2I-1(ti-ti-1)2+a3I-

14、1(ti-ti-1)3,fi=a1I+2a2I(t-ti)+3a3I(t-ti)2 =a1I-1+2a2I-1(ti-ti-1)+3a3I-1(ti-ti-12)f”i=2a2I+6a3I(t-ti)=2a2I-1+6a3I-1(ti-ti-1)但我們利用M連續(xù)性方程來(lái)求解。首先為了得到完整的連續(xù)性方程，設(shè)在端點(diǎn)t0和t24處被擬合曲線f(t)的斜率為 此時(shí)有hi,i,i和di(I=0,1,24)，求解Mi(I=0,1,24),進(jìn)而得到S(t)的表示式，算得qi,pi,從而得到Mi最后，有 （*）把fi與Mi(i=0,1,24)代入（*）就有Si(t)的系數(shù)，這樣就得到了-S(t)的分段表示式

15、，我們把S(t)作為對(duì)水流量的擬合曲線f(t)，表 ii和di的值ihiiIdi01234567891011121314151617181920212223240.92110.92201.10660.92171.10670.92191.10640.92221.03921.98641.07860.92160.92141.10640.92170. 92221.10561.10580.92190.87982.11890.92191.10690.921410.50020.54550.45440.54560.45440.54550.45460.52980.65650.35190.46070.49990.

16、54560.45450.50010.54520.50000.45460.48830.70660.30320.54560.4543000.49980.45450.54560.45440.54560.45450.54540.47020.34350.64810.53930.50010.45440.54550.49990.45480.50000.54540.51170.29340.69680.45440.545717453.787454.026119.69-9645.7610302.58-9186.7511437.51-10805.2612993.633608.92-7008.96-6106.69-6

17、300.4915511.03-13496.611782.989379.891152.65-11448.268371.74199.17-453.85-4282.39-8924.42-11164.92表 qi,pi與Mi的值IqipIMi0123456789101112131415161718192021222324-0.5000-0.2858-0.2917-0.2468-0.2890-0.2467-0.2890-0.2468-0.28120.3449-0.1981-0.2434-0.2662-0.2904-0.2468-0.2665-0.2902-0.2696-0.2453-0.2605-0.3

18、673-0.1739-0.2840-0.246203726.893194.862495.92-5901.076948.20-6957.017812.85-8076.748989.61276.90-3840.76-2159.41-2796.428983.59-9857.113594.724146.11-493.46-5990.276126.83-844.7471.73-2306.31-4108.96-3527.982832.161789.464917.46-8301.389725.71-9610.7710757.05-10187.538552.681553.81-3702.27-699.11-5

19、99.6112033.09-10501.042609.133698.261543.23-7554.506376.81-959.62312.76-1386.04-3240.37-3527.98表Si(x)的系數(shù)a0i,a1i,a2i,a3i的值i區(qū)間ti,ti+1a0i,a1a2iA3i012345678910111213141516171819202122230,0.92110. 9211,1.84311.8431,2.94972.9497,3.87143.8714,4.97814.9781,5.90005.9000,7.00647.0064,7.92867.9286,8.96788.9678

20、,10.954210.9542,12.032812.0328,12.954412.9544,13.875813.8758,14.982214.9822,15.903915.9039,16.826116.8261,17.931717.9317,19.037519.0375,19.959419.9594,20.839220.8392,22.858122.9581,23.880023.8800,24.986924.9869,25.90831440511180100631101287979992812410160848811018194692019618941159031805515646137411

21、4962166531429614648152251526413708-4646-2517575-1347-735-726-2484-79744512131-225-3302-556212-3436-5432353-998-1557840159-297-288614168952459-41514863-48055379-50944276777-1851-350-30006017-525113051849772-37773188-480156-693-1620-189565-19913260-29123682-31553387-1122-441464-9593262-33952371197-325-13712519-1390100-307-279-52因?yàn)闃訔l曲線S(t)的定義域區(qū)間并起來(lái)覆蓋了整個(gè)區(qū)間t0,t27,這樣擬合的f(t)就對(duì)任何時(shí)刻t都有了定