三角函數(shù)輔助角公式化簡(jiǎn)

1、. 三角函數(shù)輔助角公式化簡(jiǎn)一、解答題1已知函數(shù)，（1）求的對(duì)稱中心；（2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性.2已知函數(shù).（1）將化簡(jiǎn)為的形式，并求最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值及取得最值時(shí)的值.3已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間及最大值與最小值4設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及最大值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.5已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.6已知函數(shù).()求函數(shù)的對(duì)稱中心；()求在上的單調(diào)區(qū)間.7已知函數(shù)，求（1）求的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值.8設(shè)函數(shù).（1）求的最小

2、正周期；（2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性.9已知函數(shù)，（I）求的最大值和對(duì)稱中心坐標(biāo)；()討論在上的單調(diào)性。10已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11設(shè).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，求的值.12已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是，若，且的面積為，求的值.13設(shè)函數(shù).（1）求的最大值，并寫(xiě)出使取最大值時(shí)的集合；（2）已知中,角的邊分別為，若，求的最小值.14已知，其中，若的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）銳角三角形中，求的取值范圍.15已知=（sinx，cosx），=（c

3、os，sin）（|）函數(shù)f（x）= 且f（x）=f（x）（）求f（x）的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（）將f（x）的圖象向右平移單位得g（x）的圖象，若g（x）+1ax+cosx在x0，上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍16已知向量=（2cos，sin），=（cos，2cos），（0），設(shè)函數(shù)f（x）=，且f（x）的最小正周期為（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間17已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1） 求函數(shù)的解析式；（2） 如何由函數(shù)的通過(guò)適當(dāng)圖象的變換得到函數(shù)的圖象， 寫(xiě)出變換過(guò)程;（3） 若，求的值.18已知函數(shù)（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若且，求的值。19已知，（

4、1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)ABC的內(nèi)角A滿足，而，求邊BC的最小值20已知函數(shù)（1）求的最小正周期和最大值；（2）討論在上的單調(diào)性21已知，求：（1）的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.22已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為. （1）求的值；（2）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.23已知函數(shù).（1）求函數(shù)的遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值以及取最小值時(shí)的值.24已知函數(shù).（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），然后把

5、所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的表達(dá)式. v.參考答案1（1）對(duì)稱中心為，；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解析】試題分析：利用降冪公式和輔助角公式將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求對(duì)稱中心,其對(duì)稱中心能使函數(shù)值為0，從而角的終邊在x軸上；（2）首先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)自變量的取值范圍來(lái)求落在給定范圍上的的單調(diào)區(qū)間試題解析：1）由已知令，得，對(duì)稱中心為，.（2）令，得，,增區(qū)間為令，得，,增區(qū)間為上的增區(qū)間為，減區(qū)間為.2（1），；（2）時(shí)，時(shí)，.【解析】試題分析：（1）由三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范圍可得的范圍，可得f

6、（x）的范圍，結(jié)合三角函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性，可得最值及對(duì)應(yīng)的x值試題解析：（1）所以.（2）因?yàn)?，所以所以，所以，?dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，.3(1) (2)最大值為-2，最小值為1【解析】試題分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式得，根據(jù)求周期；（2）先求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再求其與區(qū)間的交集即可；根據(jù)的取值范圍確定函數(shù)在上的最大值與最小值。試題解析：（1）所以的最小正周期（2）令，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，由，得，設(shè)，易知所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增。，最大值為2，最小值為-1點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是將函數(shù)化成f(x)Asin(x)的形式后，把x看成一個(gè)整體去處理，特別是在求單調(diào)區(qū)間的時(shí)候，要注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)

7、律“同增異減”，如果<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)4（1），最大值為1（2）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期及最大值；（2）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.試題解析：解：（1）當(dāng)即時(shí)取最大值為1（2）令的單調(diào)增區(qū)間為5(1)答案見(jiàn)解析；(2).【解析】試題分析：(1)整理函數(shù)的解析式可得，則函數(shù)的最小正周期為；對(duì)稱軸方程為；(2)結(jié)合函數(shù)的定義域和(1)中整理的函數(shù)的解析式可得函數(shù)的值域?yàn)?試題解析：（1）由函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上

8、單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值 1又，當(dāng)時(shí)，取最小值所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?(1) (2) 【解析】試題分析：(1)，令解得x即可() 求在上的單調(diào)區(qū)間，則令解得x,對(duì)k賦值得結(jié)果.試題解析：()令，得，故所求對(duì)稱中心為()令，解得又由于，所以故所求單調(diào)區(qū)間為.點(diǎn)睛：三角函數(shù)的大題關(guān)鍵是對(duì)f(x)的化簡(jiǎn)，主要是三角恒等變換的考查，化簡(jiǎn)成類型，把wx+看成整體進(jìn)行分析.7（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為；（3），.【解析】試題分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化簡(jiǎn)得：，進(jìn)而得最小正周期；（2）由可得增區(qū)間；（3）由得，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得最值.試題解析：(1).的最小正周期.（2）由解得函數(shù)的單

9、調(diào)遞增區(qū)間為(3) 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)睛：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則（1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見(jiàn)的有“切化弦”；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等.8（1）（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得的最小正周期；（2）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求上單調(diào)區(qū)間，即得在區(qū)間上的單調(diào)性.試題解析：（1）（2）令，

10、解得（），在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.9() 最大值為，對(duì)稱中心為： ；() 遞增區(qū)間： 和；遞減區(qū)間： .【解析】試題分析：（1）由正弦的倍角公式和降冪公式，f(x)可化簡(jiǎn)為，可知最大值為2，對(duì)稱中心由，解得x可求。（2）先求得f(x)最大增區(qū)間與減區(qū)間，再與做交，即可求得單調(diào)性。試題解析：() ，所以最大值為，由，解得x=,r所以對(duì)稱中心為： ； ()先求f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由，解得，在上的增區(qū)間有和。同理可求得f(x)的單調(diào)減區(qū)間，在上的減速區(qū)間有.遞增區(qū)間： 和；遞減區(qū)間： .10（1） ；（2）的取值范圍為【解析】試題分析：(1)由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系整理

11、函數(shù)的解析式為：f(x)2sin，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式可知T.(2)原問(wèn)題等價(jià)于，結(jié)合函數(shù)的圖象可得或，求解不等式可得a的取值范圍為.試題解析：(1)f(x)2cosxcos(x )sin2xsinxcosxcos2xsinxcosxsin2xsinxcosxcos2xsin2x2sin，T.(2) 畫(huà)出函數(shù)在x的圖像，由圖可知或故a的取值范圍為.11（1）（2）【解析】試題分析：（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)得，由可解得增區(qū)間(2) 由得，由余弦定理得，即即得試題解析：（1）由題意知，由 可得所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）由得，又為銳角，所以.由余弦定理得：，即，即，而，所以12(1) 函數(shù)的

12、單調(diào)增區(qū)間為；(2) .【解析】試題分析：（1）由化一公式得，得結(jié)果；（2），再由余弦定理得.化簡(jiǎn)可得：.（1）由，.得：.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.（2），即.可得，.，.由，且的面積為，即.由余弦定理可得：.13(1), (2)a最小值為1.【解析】試題分析：（1）利用二倍角公式和兩角和差公式將原式子化一；（2）由得到，；由余弦定理得最小為1；（1）= 的最大值為2要使取最大值 ,故的集合為 .（2） ,化簡(jiǎn)得 ,，只有在 中，由余弦定理， ,由 當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立， 最小為1.點(diǎn)睛：（1）要求三角函數(shù)的最值，就要化成，一次一角一函數(shù)的形式；（2）巧妙利用三角函數(shù)值求得角A，再利余弦定理得邊的關(guān)系

13、，得到最值；14（1）（2）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：，再根據(jù)正弦函數(shù)周期性質(zhì)求，并根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)求單調(diào)增區(qū)間（2）先根據(jù)正弦定理將邊化為角，由誘導(dǎo)公式及兩角和正弦公式化簡(jiǎn)得，即得，根據(jù)銳角三角形得A取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍.試題解析：（1），最小正周期為，令，即，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），整理得：，銳角三角形，且，.15（）f（x）=sin（x+），；（）.【解析】試題分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再由f（-x）=f（x）可知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，所以+=+k，進(jìn)而得到=，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)區(qū)間即可

14、；（2）將f（x）的圖象向右平移單位得g（x）= sinx，即sinx+1ax+cosx在x0，上恒成立，利用數(shù)形結(jié)合分別研究h（x）=sinx-cosx和（x）= ax1即可.試題解析：（）f（x）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），再由f（-x）=f（x）可知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱， +=+k，kZ，又|，=f（x）=sin（x+）， 由2k- x+2k+可得2k-x 2k+， 函數(shù)的遞增區(qū)間為2k-，2k+，kZ； （）由圖象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1ax+cosx在x0，上恒成立也即sinx-cosxax-1在x0，上恒成立. 令h（x）=si

15、nx-cosx=sin（x-），x0，；（x）= ax-1 如下圖：h（x）的圖象在（x）圖象的下方， 則： a kAB=，故.16（1）f（x）=2sin（2x+）+1；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為 +k， +k，kZ【解析】試題分析：（1）先根據(jù)向量數(shù)量積得函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二倍角公式以及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求 （2）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式： ，再解不等式可得增區(qū)間試題解析：解：（1）向量=（2cos，sin），=（cos，2cos），（0），則函數(shù)f（x）=2cos2+2sincos=cosx+1+sinx=2sin（x+）+1，f（x）的最小正周期為，=解得=

16、2，f（x）=2sin（2x+）+1；（2）令+2k2x+2k，kZ，即+kx+k，kZ，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為+k，+k，kZ17（1）（2）見(jiàn)解析（3）【解析】試題分析：（1）直接由函數(shù)圖象求得和周期，再由周期公式求得，由五點(diǎn)作圖的第三點(diǎn)求；（2）由先平移后改變周期和先改變周期后平移兩種方法給出答案；（3）由求出，然后把轉(zhuǎn)化為余弦利用倍角公式得答案試題解析:解：（1）. （2）法1：先將的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，所得圖象即為的圖象. 法2：先將的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象即為的圖象. （3）由,得：

17、， 而.點(diǎn)睛：圖象變換(1)振幅變換 (2)周期變換 (3)相位變換 (4)復(fù)合變換 18(1)和。(2).【解析】試題分析：整理函數(shù)的解析式為.(1)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是和。(2)由題意可得，則.試題解析：.（1）令得所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和。（2）因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以所?19（1）;（2）【解析】試題分析：利用和差角及二倍角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得（1）令，解不等式可得答案；（2）由及0A可得，利用向量數(shù)量積的定義可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又ABC中，從而可求試題解析：（1）=由得，故所求單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由得，即，bc=2，又ABC中， =，20

18、(1)， 1(2)在，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減 【解析】試題分析：(1)整理函數(shù)的解析式，則函數(shù)的最小正周期為，最大值為；(2)結(jié)合(1)中函數(shù)的解析式和三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減試題解析：(1)f(x)cosxsinxcos2xcosxsinx (1cos2x)sin2xcos2xsin(2x)，因此f(x)的最小正周期為，最大值為 1 (2)當(dāng)x，時(shí)，2x.易知當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減所以f(x)在，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減21（1）（2）0,3【解析】試題分析：（1）根據(jù)二倍角公式及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù),再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)增區(qū)間；（2）根據(jù)自變量范圍求范圍,再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求值域試題解析：（1）由，得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?22（1）（2）【解析】試題分析：（1）由兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為可得半個(gè)周期為.進(jìn)而求出，由偶函數(shù)可得，由三角函數(shù)恒等變形可得.代入自變量即得的值；（2）先根據(jù)圖像變換得到的解析式.