授課題目： 第七章 參數(shù)估計(jì) - 仲愷農(nóng)業(yè)技術(shù)學(xué)院

1、授課題目： 第七章參數(shù)估計(jì)教學(xué)目的、要求（分掌握、熟悉、了解三個(gè)層次）： 1、理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念； 2、掌握矩估計(jì)法（一階、二階）和最大似然估計(jì)法； 3、了解估計(jì)量的無偏性，有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗(yàn)證估計(jì)量的無偏性； 4、了解區(qū)間估計(jì)的概念，會求單正態(tài)總體的均值與方差的置信區(qū)間。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)： 矩法估計(jì)，極大似然估計(jì)；估計(jì)量的評價(jià)準(zhǔn)則；正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)課時(shí)安排：7課時(shí)授課方式：理論課教學(xué)基本內(nèi)容：7.3 區(qū)間估計(jì)1. 區(qū)間估計(jì)的一般步驟 我們在討論抽樣分布時(shí)曾提到過區(qū)間估計(jì)。與點(diǎn)估計(jì)不同的是，它給出的不是參數(shù)空間的某一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)區(qū)間（

2、域）。按照一般的觀念，似乎我們總是希望能得到參數(shù)的一個(gè)具體值，也就是說用點(diǎn)估計(jì)就夠了，為什么還要引入?yún)^(qū)間估計(jì)呢？這是因?yàn)樵谑褂命c(diǎn)估計(jì)時(shí)，我們對估計(jì)量是否能“接近”真正的參數(shù)的考察是通過建立種種評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，然后依照這些標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評價(jià)，這些標(biāo)準(zhǔn)一般都是由數(shù)學(xué)特征來描繪大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的平均效果，而對于估值的可靠度與精度卻沒有回答。即是說，對于類似這樣的問題：“估計(jì)量在參數(shù)的鄰域的概率是多大？”點(diǎn)估計(jì)并沒有給出明確結(jié)論，但在某些應(yīng)用問題中，這恰恰是人們所感興趣的，如 例7.12 某工廠欲對出廠的一批電子器件的平均壽命進(jìn)行估計(jì)，隨機(jī)地抽取件產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)，通過對試驗(yàn)的數(shù)據(jù)的加工得出該批產(chǎn)品是否合格的結(jié)論？并要

3、求此結(jié)論的可信程度為95%，應(yīng)該如何來加工這些數(shù)據(jù)？ 對于“可信程度”如何定義，我們下面再說，但從常識可以知道，通常對于電子元器件的壽命指標(biāo)往往是一個(gè)范圍，而不必是一個(gè)很準(zhǔn)確的數(shù)。因此，在對這批電子元器件的平均壽命估計(jì)時(shí)，壽命的準(zhǔn)確值并不是最重要的，重要的是所估計(jì)的壽命是否能以很高的可信程度處在合格產(chǎn)品的指標(biāo)范圍內(nèi)，這里可信程度是很重要的，它涉及到使用這些電子元器件的可靠性。因此，若采用點(diǎn)估計(jì)，不一定能達(dá)到應(yīng)用的目的，這就需要引人區(qū)間估計(jì)。 區(qū)間估計(jì)粗略地說是用兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，（）所決定的區(qū)間，作為參數(shù)取值范圍的估計(jì)。顯然，一般地這樣說是沒有多大的意義的，首先，這個(gè)估計(jì)必須有一定的精度，即是說-不

4、能太大，太大不能說明任何問題；第二，這個(gè)估計(jì)必須有一定的可信程度，因此-又不能太小，太小難以保證這一要求。比如從區(qū)間1，100去估計(jì)某人的歲數(shù)，雖然絕對可信，卻不能帶來任何有用的信息；反之，若用區(qū)間30，31去估計(jì)某人的歲數(shù)，雖然提供了關(guān)于此人年齡的信息，卻很難使人相信這一結(jié)果的正確性。我們希望既能得到較高的精度，又能得到較高的可信程度，但在獲得的信息一定（如樣本容量固定）的情況下，這兩者顯然是不可能同時(shí)達(dá)到最理想的狀態(tài)。通常是采取將可信程度固定在某一需要的水平上，求得精度盡可能高的估計(jì)區(qū)間。下面給出區(qū)間估計(jì)的正式的定義。 定義7. 4 對于參數(shù)，如果有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,，滿足對給定的，有則稱區(qū)間，

5、是的一個(gè)區(qū)間估計(jì)或置信區(qū)間(Confidence Interval)，分別稱作置信下限(Confidence lower limit)、置信上限(Confidence upper limit)，稱為置信水平(Confidence level)。 這里的置信水平，就是對可信程度的度量。置信水平為1-，在實(shí)際上可以這樣來理解:如取，就是說若對某一參數(shù)取100個(gè)容量為的樣本，用相同方法做100個(gè)置信區(qū)間。，=1,2,100,那么其中有95個(gè)區(qū)間包含了真參數(shù)因此,當(dāng)我們實(shí)際上只做一次區(qū)間估計(jì)時(shí)，我們有理由認(rèn)為它包含了真參數(shù)。這樣判斷當(dāng)然也可能犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率只有5%. 下面我們來討論一下區(qū)間估計(jì)

6、的一般步驟。 1) 設(shè)欲估參數(shù)為，先取的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)，它滿足兩點(diǎn)：一是它較前面提出的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是一個(gè)“好的”估計(jì)量，二是它的分布形式應(yīng)該已知，只依賴未知參數(shù) 2) 所求的區(qū)間考慮為的一個(gè)鄰域,(或者等等)，使得對于=1- 且一般要求盡可能小。為確定，須用解不等式的方法將(6.22)式中的隨機(jī)事件變成類似于下述等價(jià)形式： 其中，為可逆的的已知函數(shù),的分布與無關(guān)且已知，一般其分位點(diǎn)應(yīng)有表可查，這是關(guān)鍵的一步。于是就可得出，為某個(gè)分位點(diǎn),如，. 3) 從，的表達(dá)式中解出即可。區(qū)間估計(jì)涉及到抽樣分布，如節(jié)中所述,對于一般分布的總體,其抽樣分布的計(jì)算通常有些困難，因此，我們將主要研究正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問

7、題。2. 單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 設(shè)為的樣本，對給定的置信水平，我們來分別研究參數(shù)與的區(qū)間估計(jì)。 例7.13 在上述前提下，求的置信水平為的區(qū)間估計(jì)。 解； 考慮的點(diǎn)估計(jì)為，確定使且使區(qū)間長盡可能小。下面分兩種情況 1) 已知，變換事件，使表成式：這里。為使，又要盡量使最小，亦即使最小，如圖7-1，從密度函數(shù)的特點(diǎn)來看（對稱、原點(diǎn)附近密度最大，往兩邊密度減?。?，只有取，即，從而所求的區(qū)間是 圖7-1 2) 未知，將事件變換成式：其中由例7.14知，為使，且區(qū)間盡量短。與情形一樣，只有取因此所求區(qū)間為 例7.14 在上述前提下求的置信水平為1-的區(qū)間估計(jì)。 解； 的點(diǎn)估計(jì)量為，注意到，考慮，

8、及的鄰域，使變換事件由定理5.3（ii）知，故為使，通常取于是，所求區(qū)間為 這里要使區(qū)間最短，計(jì)算太麻煩，因此，在取分位點(diǎn)時(shí)采用類似主對稱型分布的取法，使密度函數(shù)圖形兩端的尾部面積均為（如圖7-2）。圖7-2 例7.15 一批零件尺寸服從，對進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（未知）,要求估計(jì)精度不低于2，置信水平保持為，問至少要抽取多少件產(chǎn)品作為樣本？ 解； 顯然，此處要求由例7.24，故 7.5式（7.5）不是的顯式，但對于具體數(shù)值，可采取“試算法”來確定一般是先對作個(gè)大致估計(jì)(可以由以往的經(jīng)驗(yàn)確定),然后用試算的方式確定適合方程7.5的例如若估計(jì)出200，又已知,來試算： 顯然，如果任正整數(shù)不可能嚴(yán)格滿足方程（7。5）的話，則應(yīng)取使式（7.5）左邊大于右邊的最小的，因此應(yīng)該取=11參考書目：1吳贛昌，大學(xué)數(shù)學(xué)立體化教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)濟(jì)類），中國人民大學(xué)出版社，2006年3月。2盛 驟，謝式千等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版），高等教育出版社，2003年2月。作業(yè)和思考題： 作業(yè)：P127 1 4-7 9-11 課后小結(jié)： 本章中介紹了參數(shù)估計(jì)的基本方法。 參數(shù)的估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)、貝葉斯估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法是