二次函數(shù)與幾何綜合(有答案)中考數(shù)學(xué)壓軸題必做(經(jīng)典)

1、二次函數(shù)與幾何綜合題目背景07年課改后，最后一題普遍為拋物線和幾何結(jié)合（主要是與三角形結(jié)合）的代數(shù)幾何綜合題，計(jì)算量較大。幾何題可能想很久都不能動筆，而代數(shù)題則可以想到哪里寫到哪里，這就讓很多考生能夠拿到一些步驟分。因此，課改之后，武漢市數(shù)學(xué)中考最后一題相對來說要比以前簡單不少，而這也符合教育部要求給學(xué)生減輕負(fù)擔(dān)的主旨，因此也會繼續(xù)下去。要做好這最后一題，主要是要在有限的時(shí)間里面找到的簡便的計(jì)算方法。要做到這一點(diǎn)，一是要加強(qiáng)本身的觀察力，二是需要在平時(shí)要多積累一些好的算法，并能夠熟練運(yùn)用，最后就是培養(yǎng)計(jì)算的耐心，做到計(jì)算又快又準(zhǔn)。題型分析題目分析及對考生要求（1）第一問通常為求點(diǎn)坐標(biāo)、解析式：

2、本小問要求學(xué)生能夠熟練地掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，屬于送分題。（2）第二問為代數(shù)幾何綜合題，題型不固定。解題偏代數(shù)，要求學(xué)生能夠熟練掌握函數(shù)的平移，左加右減，上加下減。要求學(xué)生有較好的計(jì)算能力，能夠把題目中所給的幾何信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，再進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)計(jì)算。（3）第三問為幾何代數(shù)綜合，題型不固定。解題偏幾何，要求學(xué)生能夠?qū)︻}目所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，合理設(shè)參數(shù)，將點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線段長，再根據(jù)題目條件合理構(gòu)造相似、全等，或者利用銳角三角函數(shù)，將這些線段與題目構(gòu)建起聯(lián)系，再進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算求解，此處要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用韋達(dá)定理，本小問綜合性較強(qiáng)。在我們解題時(shí)，往往有一些幾何條件，我們直接在

3、坐標(biāo)系中話不是很好用，這時(shí)我們需要對它進(jìn)行相應(yīng)的條件轉(zhuǎn)化，變成方便我們使用的條件，以下為兩種常見的條件轉(zhuǎn)化思想。1、遇到面積條件：a.不規(guī)則圖形先進(jìn)行分割，變成規(guī)則的圖形面積；b.在第一步變化后仍不是很好使用時(shí)，根據(jù)同底等高，或者等底同高的三角形面積相等這一性質(zhì)，將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化；c.當(dāng)面積轉(zhuǎn)化為一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，以這條邊為底，根據(jù)面積公式轉(zhuǎn)化為線段條件。2、遇到角度條件：找到所有與這些角相等的角，以這些角為基礎(chǔ)構(gòu)造相似、全等或者利用銳角三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線段條件。二次函數(shù)與三角形綜合【例1】. （2012武漢中考）如圖1，點(diǎn)A為拋物線C1：y=x22的頂點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）直線AB交拋物

4、線C1于另一點(diǎn)C（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖1，平行于y軸的直線x=3交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線C1于點(diǎn)E，平行于y軸的直線x=a交直線AB于F，交拋物線C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如圖2，將拋物線C1向下平移m（m0）個(gè)單位得到拋物線C2，且拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)M，交射線BC于點(diǎn)NNQx軸于點(diǎn)Q，當(dāng)NP平分MNQ時(shí)，求m的值考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=2；A（0，2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則：，解得直線AB解析式為y=2x2點(diǎn)C為直線y=2x2與拋物線y=x22的交點(diǎn)，則點(diǎn)C的橫、縱坐標(biāo)滿足：，解得、（舍）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

5、（4，6）（2）直線x=3分別交直線AB和拋物線C1于DE兩點(diǎn)yD=4，yE=，DE= FG=DE=4：3，F(xiàn)G=2直線x=a分別交直線AB和拋物線C1于F、G兩點(diǎn)yF=2a2，yG=a22FG=|2aa2|=2，解得：a1=2，a2=2+2，a3=22（3）設(shè)直線MN交y軸于T，過點(diǎn)N做NHy軸于點(diǎn)H；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，0），拋物線C2的解析式為y=x22m；0=t22m，2m=t2y=x2t2，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，t2）點(diǎn)N是直線AB與拋物線y=x2t2的交點(diǎn)，則點(diǎn)N的橫、縱坐標(biāo)滿足：，解得、（舍）N（2t，22t）NQ=22t，MQ=22t，MQ=NQ，MNQ=45°MOT、NH

6、T均為等腰直角三角形，MO=OT，HT=HNOT=4，NT=，NH=（2t），PT=t+t2PN平分MNQ，PT=NT，t+t2=（2t），t1=2，t2=2（舍）2m=t2=（2）2，m=2【例2】. （2011武漢中考）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn).    （1）求拋物線的解析式；    （2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫

7、坐標(biāo)的值或取值范圍；    （3）如圖2，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn).問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使PEF的內(nèi)心在y軸上.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 【例3】. （2010武漢中考）如圖，拋物線y1=ax2-2ax+b經(jīng)過A(-1，0)，C(2，)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B； (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P為線段OB上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)Q在線段MB上移動，且ÐMPQ=45°，設(shè)線段OP=x，MQ=y2，求y2與x的函

8、數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍； (3) 在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線x=m，x=n分別與拋物線交于點(diǎn)E，G，與(2)中的函數(shù)圖像交于點(diǎn)F，H。問四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求m，n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請說明理由。PMQABOyx25. 解：(1) 拋物線y1=ax2-2ax+b經(jīng)過A(-1，0)，C(0，)兩點(diǎn)，a= -， b=，拋物線的解析式為y1= -x2+x+。PMQABOyxN (2) 作MNAB，垂足為N。由y1= -x2+x+易得M(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，AB=4，MN=BN=2，MB=2， ÐMBN=45&#

9、176;。根據(jù)勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。 (2)2-22=PM2= -(1-x)2j，又ÐMPQ=45°=ÐMBP， MPQMBP，PM2=MQ´MB=y2´2k。 由j、k得y2=x2-x+。0£x<3，y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2-x+(0£x<3)。OEFGHxy (3) 四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數(shù)量關(guān)系是 m+n=2(0£m£2，且m¹1)。點(diǎn)E、G是拋物線y1= -x2+x+ 分別與直線x=m，x=n的交點(diǎn)，點(diǎn)E、G坐標(biāo)為 E

10、(m，-m2+m+)，G(n，-n2+n+)。同理，點(diǎn)F、H坐標(biāo) 為F(m，m2-m+)，H(n，n2-n+)。 EF=m2-m+-(-m2+m+)=m2-2m+1，GH=n2-n+-(-n2+n+)=n2-2n+1。 四邊形EFHG是平行四邊形，EF=GH。m2-2m+1=n2-2n+1，(m+n-2)(m-n)=0。 由題意知m¹n，m+n=2 (0£m£2，且m¹1)。 因此，四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數(shù)量關(guān)系是m+n=2 (0£m£2，且m¹1)?！纠?】. （2009武漢中考）如圖，拋物線經(jīng)過、兩

11、點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；yxOABC（3）在（2）的條件下，連接，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)25解：（1）拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，解得拋物線的解析式為yxOABCDE（2）點(diǎn)在拋物線上，即，或點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為由（1）知設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，且，點(diǎn)在軸上，且yxOABCDEPF，即點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）（3）方法一：作于，于由（1）有：，且，設(shè)，則，點(diǎn)在拋物線上，（舍去）或，yxOABCDPQGH方法二：過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于過點(diǎn)作于，又，由（2）知，直線的解析式為解方程組得點(diǎn)的

12、坐標(biāo)為【例5】. （2011年四調(diào)）如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)，拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，那么，我們稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)（1）已知拋物線y=x2+2x1，判斷下列拋物線y=x2+2x+1；y=x2+2x+1與已知拋物線是否關(guān)聯(lián)，并說明理由（2）拋物線C1：y=（x+1）22，動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），將拋物線繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，若拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)，求拋物線C2的解析式（3）A為拋物線C1：y=（x+1）22的頂點(diǎn)，B為與拋物線C1關(guān)聯(lián)的拋物線頂點(diǎn)，是否存在以AB為斜邊的等腰直角ABC，使其直角頂點(diǎn)C在y軸上？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若

13、不存在，請說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析：（1）首先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后檢驗(yàn)是否此點(diǎn)在拋物線與上，再求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，檢驗(yàn)是否在拋物線上即可求得答案；（2）首先求得拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可得：點(diǎn)P在直線y=2上，則可作輔助線：作M關(guān)于P的對稱點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則可求得：點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式即可求得結(jié)果；（3）分別從當(dāng)A，B，C逆時(shí)針分布時(shí)與當(dāng)A，B，C順時(shí)針分布時(shí)分析，根據(jù)全等三角形的知識，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，注意別漏解解答：解：（1）拋物線y=x2+2x1=（x+1）22的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，2），當(dāng)x=1時(shí)，y=x2

14、+2x+1=12+1=2，點(diǎn)M在拋物線上；當(dāng)x=1時(shí)，y=x2+2x+1=12+1=0，點(diǎn)M不在拋物線上；拋物線與拋物線有關(guān)聯(lián)；拋物線y=x2+2x+1=（x1）2+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），經(jīng)驗(yàn)算：（1，2）在拋物線上，拋物線、是關(guān)聯(lián)的；（2）拋物線C1：y=（x+1）22的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），點(diǎn)P在直線y=2上，作M關(guān)于P的對稱點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則ME=NF=3，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6，當(dāng)y=6時(shí)，（x+1）22=6，解得：x1=7，x2=9，設(shè)拋物C2的解析式為：y=a（x7）2+6，點(diǎn)M（1，2）在拋物線C2上，2=a（1

15、7）2+6，a=拋物線C2的解析式為：y=（x7）2+6；設(shè)拋物C2的解析式為：y=a（x+9）2+6，點(diǎn)M（1，2）在拋物線C2上，2=a（1+9）2+6，a=拋物線C2的解析式為：y=（x+9）2+6；（3）點(diǎn)C在y軸上的一動點(diǎn)，以AC為腰作等腰直角ABC，令C的坐標(biāo)為（0，c），則點(diǎn)B的坐標(biāo)分兩類：當(dāng)A，B，C逆時(shí)針分布時(shí)，如圖中B點(diǎn)，過點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為H，F(xiàn)，則BCFCAH，CF=AH=1，BF=CH=c+2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（c+2，c1），當(dāng)點(diǎn)B在拋物線C1：y=（x+1）22上時(shí)，c1=（c+2+1）22，解得：c=1當(dāng)A，B，C順時(shí)針分布時(shí)，如圖中B點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸

16、的垂線，垂足為D，同理可得：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（c2，c+1），當(dāng)點(diǎn)B在拋物線C1：y=（x+1）22上時(shí)，c+1=（c2+1）22，解得：c=3+4或c=34綜上所述，存在三個(gè)符合條件的等腰直角三角形，其中C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：C1（0，1），C2（0，3+4），C3（0，34）點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，全等三角形的性質(zhì)等知識此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用【例6】. （2009年四調(diào)）已知拋物線yax22axb與x軸交于點(diǎn)A(3，0)，與y軸相交于點(diǎn)B(0，94)(1)求拋物線的解析式；(2)如圖(1)，P為拋物線上的

17、點(diǎn)，且在第二象限，若POA的面積等于POB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖(2)，C為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)D使DAC為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 【例7】. （2010年四調(diào)）拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于，為拋物線的頂點(diǎn)，直線軸，垂足為，.（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）為直線上的一動點(diǎn)，以為斜邊構(gòu)造直角三角形，使直角頂點(diǎn)落在軸上.若在軸上的直角頂點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）為拋物線上的一動點(diǎn)，過作直線，交直線于，當(dāng)點(diǎn)在拋物線的第二象限的部分上運(yùn)動時(shí)，是否存在使點(diǎn)三等分線段的情況，若存在，請求出所有符合條件的的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由 二次函數(shù)與四邊形【例8】. （2008武漢）如圖1，拋物線經(jīng)過A（1，0），C（3，2）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)D，與軸交于另一點(diǎn)B。求此拋物線的解析式；若直線將四邊形ABCD面積二等分，求的值；如圖2，過點(diǎn)E（1，1）作EF軸于點(diǎn)F，將AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得MNQ（點(diǎn)M，N，Q分別與點(diǎn)A，E，F(xiàn)對應(yīng)），使點(diǎn)M，N在拋