第十章練習(xí)題ppt課件

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容典型例題典型例題第十章微分方程與差分方程第十章微分方程與差分方程習(xí)習(xí) 題題 課課基本概念基本概念一階方程一階方程 類類 型型1.1.直接積分法直接積分法2.2.可分離變量可分離變量3.3.齊次方程齊次方程4. 4. 線性方程線性方程可降階方程可降階方程線性方程線性方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)相關(guān)定理相關(guān)定理二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根特征方程的根及其對應(yīng)項及其對應(yīng)項f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高階方程高階方程待定系數(shù)法待定系數(shù)法特征方程法特征方程法一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容微分方程微分方程微分方程解題思路微分方程解題思路一階方程

2、一階方程高階方程高階方程分離變量法分離變量法變量代換法變量代換法常數(shù)變易法常數(shù)變易法特征方程法特征方程法待定系數(shù)法待定系數(shù)法降降階階作作變變換換基本概念基本概念一階方程一階方程n n階常系數(shù)線性階常系數(shù)線性方程方程二階方程二階方程一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容差分方程差分方程特征方程的根特征方程的根及其對應(yīng)項及其對應(yīng)項f(x)f(x)的形式的形式及特解形式及特解形式代入法代入法特征特征 根法根法待定系數(shù)法待定系數(shù)法線性方程線性方程解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)相關(guān)定理相關(guān)定理特征方程的根特征方程的根及其對應(yīng)項及其對應(yīng)項f(x)f(x)的形式的形式及特解形式及特解形式特征方程法特征方程法待定系數(shù)法待定系數(shù)法差分方程

3、解題思路差分方程解題思路一階方程一階方程二階方程二階方程代入法代入法特征根法特征根法特征方程法特征方程法待定系數(shù)法待定系數(shù)法1.1.微分基本概念微分基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解式的函數(shù)稱為微分方程的解 通解如果微分方程的解中含有獨立的任意常數(shù)，通解如果微分方程的解中含有獨立的

4、任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這并且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解樣的解叫做微分方程的通解特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，特解確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始條件用來確定任意常數(shù)的條件初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題叫初值問題( )d( )dg yyf xx 形形如如(1) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程解法解法( )d( )dg yyf xx 分離變量法分離變量法2.2.一階微分方程的解

5、法一階微分方程的解法d()dyyfxx 形形如如(2) 齊次方程齊次方程解法解法xyu 作變量代換作變量代換d( )( )dyP x yQ xx 形形如如(3) 一階線性微分方程一階線性微分方程, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上述方程稱為齊次的上述方程稱為齊次的上述方程稱為非齊次的上述方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)齊次方程的通解為齊次方程的通解為( )dP xxyCe （用分離變量法）（用分離變量法）非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為( )d( )d( )dP xxP xxyeQ x exC （用常數(shù)變易法）（用常數(shù)變易法）3.3.可降階的高階微分方程的解法可降階的高階微分方程的解法解法

6、解法),(xPy 令令特點特點. y不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù)),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接連積分接連積分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,Py ),(xPy 令令特點特點.x不顯含自變量不顯含自變量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得d( ,).dPPf y Py d,dPyPy . .線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1 1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu): :)1(0)()( yxQyxPy形形如如定定理理 1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy是是方方程

7、程( (1 1) )的的兩兩個個解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21,CC是是常常數(shù)數(shù)）定定理理 2 2：如如果果)(1xy與與)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的兩兩個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特解解, , 那那么么2211yCyCy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. .（2 2二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu): :)2()()()(xfyxQyxPy 形如形如定理定理 3 3 設(shè)設(shè)*y是是)2(的一個特解的一個特解, , Y是與是與(2)(2)對應(yīng)對應(yīng)的齊次方程的齊次方程(1)(1)的通解的通解, ,

8、 那么那么*yYy 是二階是二階非齊次線性微分方程非齊次線性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是幾個函是幾個函數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . .二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形形如如n階常系數(shù)線性微分方程階常系數(shù)線性微分

9、方程0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法定其通解的方法稱為特征方程法.02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達達式式實實根根21rr 實實根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程為特征方程為. .二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法)(xfqy

10、ypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程型型)()()1(xPexfmx 解法待定系數(shù)法解法待定系數(shù)法., )(xQexymxk 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 設(shè)設(shè)次次多多項項式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的單根時是特征方程的單根時不是特征方程的根時不是特征方程的根時 iik差分的定義差分的定義.)1()()1()0(:).(11210 xxxxxxxyyyyyyyyyyxf

11、xfffxxfy 也也稱稱為為一一階階差差分分，記記為為的的差差分分，為為函函數(shù)數(shù)稱稱函函數(shù)數(shù)的的改改變變量量，將將之之簡簡記記為為，列列函函數(shù)數(shù)值值可可以以排排成成一一個個數(shù)數(shù)取取非非負負整整數(shù)數(shù)時時，當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)7. 差分方程基本概念xxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyxfy 12112122)()()()(,)(即即差差分分的的一一階階差差分分的的的的二二階階差差分分為為函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù).以以上上的的差差分分高高階階差差分分：二二階階及及二二階階)(),(3423xxxxyyyy 差差分分：同同樣樣可可定定義義三三階階、四四階階差分方程與差分方程的階差分方程與差分方程的階.

12、,2稱稱為為差差分分方方程程的的函函數(shù)數(shù)方方程程含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)的的差差分分xxyy0),(2 xnxxxyyyyxF形式：形式：定義定義1定義定義2.,1的的方方程程，稱稱為為差差分分方方程程個個以以上上時時期期的的符符號號含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)兩兩個個或或兩兩 xxyy)1(0),(0),(11 nyyyxGyyyxFnxxxnxxx或或形形式式：.稱稱為為差差分分方方程程的的階階大大值值與與最最小小值值的的差差方方程程中中未未知知數(shù)數(shù)下下標(biāo)標(biāo)的的最最差分方程的解差分方程的解.)(該該差差分分方方程程的的解解邊邊恒恒等等，則則稱稱此此函函數(shù)數(shù)為為兩兩代代入入差差分分方方程程后后，

13、方方程程如如果果函函數(shù)數(shù)xy 含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相同的差分方程的解階數(shù)相同的差分方程的解. .差分方程的通解差分方程的通解為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對性，往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程所附加的條件差分方程所附加的條件. .通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解. .初始條件初始條件差分方程的特解差分方程的特解01111 xnxnnxnxyayayayn階常系數(shù)齊次線性差分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)齊次線性差

14、分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式n階常系數(shù)非齊次線性差分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)非齊次線性差分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 xfyayayayxnxnnxnx 1111 1 2 .21方程方程階常系數(shù)齊次線性差分階常系數(shù)齊次線性差分所對應(yīng)的所對應(yīng)的為為注：注：n 0 xf8.常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)01111 xnxnnxnxyayayayn階常系數(shù)齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)階常系數(shù)齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu) 1（ 是任意常數(shù)）是任意常數(shù)） 定定理理 2 2：如如果果)(1xy, ,)()(2xyxyn， 是是方方程程( (1 1) )的的 n n 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特解解, , 那那么么nnyCyCyCy 2211就

15、就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. . nCCC， 21,定定理理 3 3 設(shè)設(shè)*xy是是n階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性差差分分方方程程 的的一一個個特特解解, , xY是是與與( (2 2) )對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*xxxyYy 是是n階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性差差分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. . xfyayayayxnxnnxnx 1111 2定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是幾個函是幾個函 數(shù)之和數(shù)之和, , 如如 而而*1y與與*2y分別是方程分

16、別是方程, , 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . xfxfyayayayxnxnnxnx211111 xfyayayayxnxnnxnx21111 xfyayayayxnxnnxnx11111 迭迭代代法法)0(01為為常常數(shù)數(shù) aayyxx 1）依依次次可可得得，為為已已知知，由由方方程程（設(shè)設(shè)10y01ayy 0212yaayy 0323yaayy 9.一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解.100 xxxxCaYCyyay 通通解解為為）的的方方程程（為為任任意意常常數(shù)數(shù)，于于是是差差分分滿滿足足差差分分方方程程，令令容容易易驗驗證證，01yaa

17、yyxxx 特特征征根根法法)0(01為為常常數(shù)數(shù) aayyxx 1）變變形形為為方方程程（1 )0(01為為常常數(shù)數(shù) ayayxx .1函函數(shù)數(shù)的的形形式式一一定定為為某某一一指指數(shù)數(shù)可可以以看看出出，根根據(jù)據(jù)xxxy ）得）得，代入（，代入（設(shè)設(shè)1)0( xxy01 xxa 0 a 即即a 特征方程特征方程特征根特征根）的一個解，）的一個解，是（是（于是于是1xxay .1）的的通通解解是是（從從而而xxCay 2 )00)(1 xfaxfayyxx為為常常數(shù)數(shù)，.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一項項是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次差差，解解一一項項是是該該方方程程的的一一個個特特的的和和

18、組組成成：差差分分方方程程的的通通解解由由兩兩項項一一階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性 .2 xxxyYy）的的通通解解為為即即差差分分方方程程（10.一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解 型型xpxfn )( 為為方方程程 2 xpayynxx 1 xpyaynxx 1即即是它的解，代入上式得是它的解，代入上式得設(shè)設(shè) xy xpyaynxx 1 .1 次次多多項項式式是是次次多多項項式式，是是且且也也應(yīng)應(yīng)該該是是多多項項式式，是是多多項項式式，因因此此由由于于 nynyyxpxxxn(1)nnnnxbxbxbxQy 110)(令令011 a不不是是特特征征方方程程的的根根，即即(2) nn

19、nnxbxbxbxxxQy 110)(令令011 a是是特特征征方方程程的的根根，即即綜上討論綜上討論，設(shè)設(shè))(xQxynkx 是是特特征征方方程程的的根根不不是是特特征征方方程程的的根根1110k 型型xpxfnx )( 101， 1類型類型 102， xxxzy 設(shè)設(shè)代入方程得代入方程得 為為方方程程 2 xpayynxxx 1 xpzaznxxxxx 11 xpazznxxx 1 ，即即得得消消去去1類型類型. xxxzy 于是于是型型xbxbxf sincos)(21 xbxbayyxx sincos211 差分方程為差分方程為(1)時時當(dāng)當(dāng)0sin)(cos22 aD，為為待待定定系

20、系數(shù)數(shù)令令),(sincos2121BBxBxByx 代代入入原原方方程程得得到到11sin)(cos2bBaB 221)(cossinbaBB sin)(cos1211babDB 解解方方程程組組得得 sin)(cos1122babDB xBxBAayxx sincos21 通通解解為為(2)sincos(021xBxBxyDx 時時，令令當(dāng)當(dāng)代代入入原原方方程程得得 xbxbxBBxBBaxBBxBBa sincossin)sincos(sin)(coscos)sincos(sin)(cos2112122121 的充要條件為的充要條件為注意到注意到0 D 1)12(12,0sin0cosa

21、kaka 或或即即 得得為為整整數(shù)數(shù)，將將上上式式代代入入其其中中 k22112211,bBbBbBbB 或或，故故得得方方程程的的通通解解為為或或由由于于11 aa xkbxkbAyxkbxkbxAytxx )12sin()12cos()1()2sin2cos(2121 或或，代代入入得得為為對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程一一個個解解設(shè)設(shè))0( xxY012 xxxba 02 ba 即即其其根根程程的的特特征征方方程程此此方方程程稱稱為為對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方,24,242221baabaa .稱稱為為相相應(yīng)應(yīng)方方程程的的特特征征根根.42式式的的符符號號來來確確定定其其通通解解形形現(xiàn)現(xiàn)根根據(jù)據(jù)ba

22、 11 .二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解如如下下形形式式：，此此時時的的通通解解具具有有與與有有兩兩個個相相異異的的實實特特征征根根21 ),(212211為為任任意意常常數(shù)數(shù)AAAAyxxx (2)第二種情形第二種情形時時ba42 的的通通解解具具有有如如下下形形式式：，此此時時征征根根方方程程有有兩兩個個相相等等的的實實特特221a ),()2)(2121為任意常數(shù)為任意常數(shù)AAaxAAyxx (1)第一種情形第一種情形時時ba42 (3)第三種情形第三種情形時時ba42 ,征征根根方方程程有有一一對對共共軛軛的的復(fù)復(fù)特特 iabiaiabia 2221421421：把把它它們們化化為為

23、三三角角表表示示式式aabbr2224tan, sin,cosrr 則則)sin(cos),sin(cos21 irir )sin(cos)sin(cos2)2(1)1( iryiryxxxxxx 解可以證明解可以證明都是對應(yīng)齊次方程的特都是對應(yīng)齊次方程的特)(21)(21)2()1()2()1(xxxxyyiyy 及及有有以以下下形形式式的的通通解解：也也都都是是特特解解故故可可得得具具),()sincos(2121是是任任意意常常數(shù)數(shù)AAxAxAryxx .xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一項項是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次差差，解解一一項項是是該該方方程程的的一一個個特特的的和和組組成成

24、：差差分分方方程程的的通通解解由由兩兩項項二二階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性 .2 xxxyYy）的的通通解解為為即即差差分分方方程程（12. 二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解即即方方程程為為為為常常數(shù)數(shù)),()()1(ccxf cbyayyxxx 12.sxkxy 可可設(shè)設(shè)其其特特解解形形式式為為代入原方程得代入原方程得，即，即時，取時，取當(dāng)當(dāng),001)kysbaix back 1bacyx 1所所求求特特解解ack 2acxyx 2此此時時有有特特解解，即即時時，取取且且當(dāng)當(dāng)22201)kxysabaiiix 221cxyx ，即即取取時時且且當(dāng)當(dāng)kxysabaiix , 1,20

25、1)代入原方程得代入原方程得此時有特解此時有特解，即即方方程程為為都都是是常常數(shù)數(shù))1,()()2( qccqxfxxxxxcqbyayy 12.的的特特解解設(shè)設(shè)其其具具有有形形式式為為xsxqkxy ，得得其其特特解解為為取取時時當(dāng)當(dāng)0,0)2 sbaqqibaqqcqyxx 2得得其其特特解解為為時時，取取但但當(dāng)當(dāng)1020)2 saqbaqqiiaqcxyqxx 21得其特解為得其特解為時，取時，取但但當(dāng)當(dāng)2020)2 saqbaqqiiiaqcxyqxx 41，即方程為，即方程為為常數(shù)為常數(shù))()()3(ccxxfn nxxxcxbyayy 12).,()(1010為為待待定定系系數(shù)數(shù)其

26、其中中的的特特解解設(shè)設(shè)其其具具有有形形式式為為nnnsxBBBxBxBBxy ; 001) sbai時時，取取當(dāng)當(dāng); 1201) sabaii時時，取取且且當(dāng)當(dāng). 2201) sabaiii時時，取取，且且當(dāng)當(dāng).,其其特特解解可可確確定定定定特特解解代代入入原原方方程程分分別別就就以以上上情情形形，將將設(shè)設(shè)二、典型例題二、典型例題.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求求通通解解例例1 1解解原方程可化為原方程可化為cossind(),dsincosyyyyyxxxyyyxxxxx ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsi

27、ncos(uuuuuuuuxu sincosd,2 cosuuuxduuux 分離變量分離變量兩邊積分兩邊積分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,cos2xCxyxy 所求通解為所求通解為.cosCxyxy .32343yxyyx 求求通通解解例例2 2解解原式可化為原式可化為,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式變?yōu)樵阶優(yōu)?3232xzxz ,322xzxz 即即對應(yīng)齊次方通解為對應(yīng)齊次方通解為,32Cxz 一階線性非齊次方程一階線性非齊次方程伯努利方程伯努利方程,)(32xxCz 設(shè)設(shè)代入非齊次方程得代入非齊次方程得,)(232

28、xxxC ,73)(37CxxC 原方程的通解為原方程的通解為.73323731xCxy 利用常數(shù)變易法利用常數(shù)變易法.212yyy 求通解求通解例例3 3解解.x方方程程不不顯顯含含d,dPyPyPy令令代入方程，得代入方程，得2d1,d2PPPyy ,112yCP 解解得得，, 11 yCP1d1,dyC yx 即即故方程的通解為故方程的通解為.12211CxyCC . 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求求特特解解例例4 4解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr對應(yīng)的齊次方程的通解為對應(yīng)的齊次方程的通解為.)(21xexCCY 設(shè)原方程的特解為設(shè)原方程的特解為,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 則則,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代入原方程比較系數(shù)得代入原方程比較系數(shù)得將將)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一個特解為原方程的一個特解為,2623*xxexexy 故原方程的通解為故原方程的通解為.26)(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy