圓的有關(guān)證明與計算題專題

1、圓的證明與計算 專題研究圓的證明與計算是中考中的一類重要的問題，此題完成情況的好壞對解決后面問題的發(fā)揮有重要的影響，所以解 決好此題比較關(guān)鍵。一、考點(diǎn)分析：1.圓中的重要定理：(1) 圓的定義：主要是用來證明四點(diǎn)共圓(2) 垂徑定理：主要是用來證明一一弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等(3) 三者之間的關(guān)系定理：主要是用來證明一一弧相等、線段相等、圓心角相等(4) 圓周角性質(zhì)定理及其推輪：主要是用來證明一一直角、角相等、弧相等(5) 切線的性質(zhì)定理：主要是用來證明一一垂直關(guān)系.(6) 切線的判定定理：主要是用來證明直線是圓的切線(7) 切線長定理：線段相等、垂直關(guān)系、角相等 2.圓中幾個關(guān)鍵元素之

2、間的相互轉(zhuǎn)化：弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化這在圓中的證明和計算中經(jīng)常用到二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn)，第 1 問主要是判定切線；第 2 問主要是與圓有關(guān)的計算：求線段長(或面積)；求線段比；求角度的三角函數(shù)值(實(shí)質(zhì)還是求線段比)。三、解題秘笈：1、判定切線的方法：(1)若切點(diǎn)明確，則連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時可通過計算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；(2)若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑(過圓上一點(diǎn))；直

3、線與半徑的關(guān)系是互相垂直。 在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.例：(1)如圖，AB是OO的直徑，BQ AB AD/ OC交O0于D點(diǎn)，求證：CD為O0的切線；(2) 如圖，以RtABC勺直角邊AB為直徑作O0交斜邊AC于D,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE求證：DE是O0的切線(3)如圖，以等腰厶ABC勺一腰為直徑作OQ交底邊BC于D,交另一腰于F,若DEI AC于E(或E為CF中點(diǎn))， 求證：DE是OO的切線.(4) 如圖，AB是OO的直徑，AE平分/BAF交OO于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作直線EDL AF,交AF的延長線于點(diǎn)D,交AB的延長線于

4、點(diǎn)C求證：2、與圓有關(guān)的計算：計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結(jié)合，形式復(fù)雜，無規(guī) 律性。分析時要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn) 行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的 數(shù)學(xué)思想方法有：CD是OO的切線.B（1 ）構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所 有線段長）；構(gòu)造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型；構(gòu)造三角函數(shù)（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通

5、過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問 題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形 的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。3、典型基本圖型：圖形1：如圖 1 :AB是OO的直徑，點(diǎn)E、C是O0上的兩點(diǎn)，基本結(jié)論有：（1）在“AC平分/BAE; “ADLCD; “DC是O0的切線”三個論斷中，知二推一。(3)如圖(4)：若CKLAB于K則：11CK=CD BK=DE CKBE=DC AE+AB2BK=2AD22ADGACB AC=A? AB(4)在(1)中的條件、中任選兩個條件，當(dāng)B

6、GL CD于E時(如圖 5),則：11DE=GBDC=CGAD+BG=ABAD? BGDG2=DC4圖形2：如圖：RtABC中，/ACB90。點(diǎn)O是AC上一點(diǎn)，以BD=BC。四牛論斷中，知一推三。圖3BC?DE=COCECE；2AE 1OC為半徑作O0交AC于點(diǎn)E,基本結(jié)論有BCE的半弦EF。DG圖5（3）在圖（1）中的線段BC CE AE AD中，知二求四。（4）如圖（3）,若BC=CE貝V：=tanZADEBC AC AB=3： 4： 5 ；（在、中知一推AD 2BE、CD交于點(diǎn)H,則BH=2EH如圖：RtABC中,ZAB（=90 ,以 AB 為直徑作O設(shè)圖形3：如右圖：(1)DE切O0

7、E是BC的中點(diǎn);(2)若DE切OO,貝U:DE=BE=CE2D OB、E四點(diǎn)共圓/CED2/A3CD- CA=4BEDECD BCRBA-圖形特殊化：在(1)的條件下如圖 1：DE/ ABABCCDE是等腰直角三角形；如圖 2：若DE的延長線交AB的延長線于點(diǎn)F,若AB=BF則:如圖，ABC中,AB=AC以AB為直徑作O0,交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,基本結(jié)論有：(1)DEL AC DE切O0;(2)在DEL AC或DE切O0下，有：DFC是等腰三角形；EF=ECD是BF的中點(diǎn)。與 基本圖形 1 的結(jié)論重合。A連 AD,產(chǎn)生母子三角形。圖形5：:以直角梯形ABCD勺直腰為直徑的圓切斜腰于E,基

8、本結(jié)論有是OO的切線”四個論斷中，知一推三)4AD- BC=- AB2=F2；4(2) 如圖 2,連AE CO則有：CO/ AE CC? AE=2(與基本圖形 2 重合)(3)如圖 3,若EFLAB于F,交AC于G,貝U：EGFG圖形6：如圖：直線PFLOO的半徑OB于E,PQ切OO于Q,BQ 交直線PQ于R基本結(jié)論有：DE 1EF 3；圖形4：(1)如圖 1 :AD+B&CD/COD/AEB90;0D平分/ AD(或0C平分/BCD；(注：在、及CDBE圖(1)PQ=PR( PQF是等腰三角形);(2)在“PRLOB、“PQ切OO、“PQ=PR中，知二推一(3)2PR- RE=BR

9、RQ=BE2R=AB圖形7:如圖，ABC內(nèi)接于OO IABC的內(nèi)心。 基本結(jié)論有:2(1)如圖 1,BD=CD=IDDI=DE- DA13/AIB=90 +丄 /ACB2(2)如圖 2,若/BA(=60。，則：BD+CE=BC.圖形8:已知，AB是OO的直徑，C是BG中點(diǎn)，CDL AB于D。BG交CD AC于E、F。基本結(jié)論有：1(1)CD=丄BG BE=EF=QEGF=2DE2(反之，由CD=BG或BE=EF可得 :C是BG點(diǎn))21(2)0E丄AF,0曰AC0D邑AGF2(3)BE- BG=BD BA(4)若D是0B的中點(diǎn)，則：CEF是等邊三角形； 四、范例講解：圖 1BBC=CG=AG1.

10、 ABP中，/ABF=90，以AB為直徑作OO交AP于C點(diǎn)，弧CF=CB，過C作AF的垂線, 交BP于D.(1)求證：CD為OO的切線；(2)連BF交AP于E,若BE=6,EF=2，求的值。AF2.直角梯形ABCDh/BCD90,AB=AD+BCAB為直徑的圓交BC于E,求證：CD為OO的切線若BE3，求 竺 的值A(chǔ)B5DF3.如圖，AB為直徑，PB為切線，點(diǎn)C在OO上,AC/ OP(1)求證：PC為OO的切線。(2)過D點(diǎn)作DEL ABE 為垂足，連AD交BC于G CG3,DE=4, 求 竺的值。DB4。如圖，已知ABC中,以邊BC為直徑的OO與邊AB交于點(diǎn)D,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，ABC的角平

11、分線，且AFLEC(1)求證：AC與OO相切；(2)若AC=6,BC=8，求EC的長5.如圖，RtABC以AB為直徑作OO交AC于點(diǎn)D,和=范，過D作AE的垂線,(1)求證：DF為OO的切線；(2)若DF=3,OO的半徑為 5，求tan BAC的值.OFBE連OC BD交于F.P0&如圖，RtABC中，/C=90,BD平分/ABC以AB上一點(diǎn)0為圓心過B、D兩點(diǎn)作OO,O0交AB于點(diǎn)一點(diǎn)EEF丄AC于點(diǎn)F.(1)求證：O0與AC相切；(2)若EF=3,BC=4，求tan9.如圖，等腰ABC中,AB=AC以AB為直徑作O0交BC于點(diǎn)D, DEL AC于E.(1)求證：DE為O0的切線；(

12、2)若BO4.5,AE=1，求cos AE0的值.10如圖，BD為O0的直徑，A為BC的中點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)E, F為BC延長線上一點(diǎn)，且FD=FE.(1)求證：6.如圖，AB為OO的直徑，C、D為OO上的兩點(diǎn)，AD=DC，過D作直線BC的垂線交直線AB于點(diǎn)E,F為垂足.(1)求證：EF為O0的切線；(2)若AC=6,BD=5，求sinE的值.7 .如圖，AB為OO的直徑，半徑OCL AB D為AB延長線上一點(diǎn)，過D作O0的切線,E為切點(diǎn)，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)F.(1)求證：DE=DF(2)連結(jié)AE若0F=1,BF=3,求tan A的值.A的值.BDDF為O0的切線；(2)若AE=2,DE=4,

13、 BDF的面積為8 3，求tan EDF的值.F011、如圖，AB是OO的直徑，M是線段OA上一點(diǎn)，過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N交BC的延長線于點(diǎn)E,直線CF交EN于點(diǎn)F,且/EC=ZE.(1)求證：CF是O0的切線；(2)設(shè)O0的半徑為 1，且AOCE .3，求AM的長.12、 如圖，AB是OO的直徑，BCAB過點(diǎn)C作O0的切線CE點(diǎn)D是CE延長線上一點(diǎn)， 連結(jié)AD且AD+BC=CD(1)求證：AD是OO的切線；(2)設(shè)0E交AC于F,若0F=3,EF=2，求線段BC的長13、如圖，ABC中,AB=BC以AB為直徑的O0交AC于點(diǎn)D,且CD=BD(1)求證：BC是O0的切線；(2)已知點(diǎn)M N分別是AD CD的中點(diǎn)，BM延長線交O0于E,