基本不等式經典例題精講

1、新課標人教 A版高中數(shù)學必修五典題精講(3.4基本不等式)典題精講1例1 ( 1)已知Ov xv，求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值；31(2)求函數(shù)y=x+ 的值域.x思路分析：(1)由極值定理，可知需構造某個和為定值，可考慮把括號內外x的系數(shù)變成互為相反113838749.doc第1頁共8頁數(shù)；(2)中,(1 )解法一:/ y=x(1-3x)=未指出x> 0，因而不能直接使用基本不等式，需分x> 0與xv 0討論.c10v x v, 1-3x > 0.313x(1-3x) <33x (1 _3x)2 1:2=，當且僅當1213x=1-3x，即x=時，等號成611383

2、8749.doc第#頁共8頁121立. x= 時，6函數(shù)取得最大值113838749.doc第#頁共8頁113838749.doc第#頁共8頁解法二： 0v xv -x>0.331x x3:211 y=x(1-3x)=3x( 一-x) <3：3121當且僅當x= -x,即31x=時，等號成立.6 x= 1時，函數(shù)取得最大值612(2)解：當x>0時，由基本不等式，得1y=x+ >2xX=2,當且僅當x=1時，等號成立.113838749.doc第#頁共8頁113838749.doc第2頁共8頁當xv 0時,1 1y=x+ =- (-x)+x(-x)11 -x >

3、0,. (-x)+> 2當且僅當-x=，即x=-1時，等號成立.(-x)-x1-y=x+<2.x1綜上，可知函數(shù)y=x+的值域為(-s-2U 2,+ g).x綠色通道：利用基本不等式求積的最大值，關鍵是構造和為定值，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件, 同時要注意等號成立的條件是否具備變式訓練1當x > -1時，求f(x)=x+的最小值.X +1 1思路分析：x>-1= x+1 >0,變x=x+1-1時x+1與 的積為常數(shù)X +1/ f(x)=x+1=x+1 +x 1解： x > -1, x+1 > 0.-1 >2 (x 1)-仁1.X 1(x 1)1當

4、且僅當x+1=，即x=0時，取得等號x+1-f(x) min = 1.變式訓練2求函數(shù)y=x4 3x23x21的最小值.113838749.doc第3頁共8頁思路分析：從函數(shù)解析式的結構來看，它與基本不等式結構相差太大，而且利用前面求最值的方 法不易求解，事實上，我們可以把分母視作一個整體，用它來表示分子，原式即可展開 解：令 t=x2+1，則 t >1且 x2=t-1.4 2 2 2 y=x 3x 3 (t -1)3(t -1)3 t t 1 t 11-y2=t _ 1.x+1ttt t > 1/-t+1 >2t *=2,當且僅當t=1，即卩t=1時，等號成立當x=0時，函

5、數(shù)取得最小值3.19例2已知x > 0,y> 0,且一+ =1，求x+y的最小值.x y思路分析：要求x+y的最小值，根據極值定理，應構建某個積為定值，這需要對條件進行必要的 變形，下面給出三種解法，請仔細體會.解法一：利用“1的代換”，19T + =1,x y1 9y ± 9x x+y=(x+y) ( +)=10+xyx y當且僅當=9x，即y=3x時，取等號x y19+=1, x=4,y=12.x y當x=4,y=12時，x+y取得最小值16. 解法二：由-+ 9=1，得 x=y .x yy -9/ x> 0,y> 0,. y>9.yy 9 +999

6、x+y=+y=y+=y+1=(y-9)+10.y -9y _9 y -9y _9/ y > 9, y-9> 0.y -9 9y9>2 (y -9)9y9=6.113838749.doc第4頁共8頁113838749.doc第#頁共8頁9當且僅當y-9=，即y=12時，取得等號，此時x=4. 當x=4,y=12時，x+y取得最小值16.解y 9法三：由=1，得 y+9x=xy,y (x-1)(y-9)=9. x+y=10+(x-1)+(y- 9) > 10+2 (x - 1)(y - 9) =16,19當且僅當x-1=y-9時取得等號又1 + 9 =1,x y x=4,y

7、=12.當x=4,y=12時，x+y取得最小值16.綠色通道：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經常需要使用的方法，要學會觀察，學會變形，另外解法二，通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據被代換的變量的范圍對另外一個變量的范圍的影響黑色陷阱：本題容易犯這樣的錯誤：丄+9 >2 9 ，即 _6_ < 1.；. xy > 6.x y . xyxy x+y>2 xy >2X 6=1. x+y 的最小值是 12.19產生不同結果的原因是不等式等號成立的條件是-=-，不等式等號成立的條件是x=y.在同x y一個

8、題目中連續(xù)運用了兩次基本不等式，但是兩個基本不等式等號成立的條件不同，會導致錯誤結論.a b變式訓練已知正數(shù)a,b,x,y滿足a+b=10,=1 , x+y的最小值為18,求a,b的值.x y思路分析：本題屬于“1的代換問題.abbxaybxay解：x+y=(x+y)()=a+b=10+.xyyxyx/ x,y >O,a,b>0, x+y10+2.、ab=18，即ab =4.又 a+b=10,a = 2, a = 8,5 J， p. 5J丿或*jb = 8占=2.4例 3 求 f(x)=3+lgx+的最小值(Ov x v 1).lg x思路分析：T 0v xv 1, Igx v 0

9、,4 v 0不滿足各項必須是正數(shù)這一條件，不能直接應用基本不等式，正確的處理方法 lg x是加上負號變正數(shù).44解： Ov x v 1,.lgx v 0, v O. -> 0.lg xlg x (-|gx)+(-)>2 (-Igx)()=4.Igx Igx- lgx+ W4. f(x)=3+lgx+ < 3=-1.Igxlg x41當且僅當lgx= ，即x=時取得等號lg x100則有 f(x)=3+lgx+4lg x(0 v x v 1)的最小值為-1.黑色陷阱：本題容易忽略0vxv 1這一個條件.51變式訓練1已知xv ，求函數(shù)y=4x-2+-的最大值.44x 51138

10、38749.doc第7頁共8頁5思路分析：求和的最值，應湊積為定值 .要注意條件x V ，則4x-5 V 0.4解:5T xv ,. 4x-5 v 0.4y=4x_5+14x -5+3=- (5-4x)+15 4xW2(5 -4x)-15 4x+3=-2+3=1.113838749.doc第8頁共8頁113838749.doc第#頁共8頁y=x+ 8的最大值.2x 38思路分析：本題是求兩個式子和的最大值 ，但是x 并不是定值，也不能保證是正值2x-383+ + =2x-32一 1使用一些技巧對原式變形.可以變?yōu)閥= ( 2x-3)2L亠)23 -2x，所以，必須+ ，再求最2值.1解：y=

11、(2x-3)23 當 xv 3 時，283+ + =-(2x -323-2x > 0,3 2x-)3 2x3 2x 8-8 總=4,當且僅當23-2x23-2x3-2x281，即x=-時取等號3-2x21當且僅當5-4x=，即x=1時等號成立.5 4x1.所以當x=1時，函數(shù)的最大值是3變式訓練2當xV 時，求函數(shù)2113838749.doc第#頁共8頁355于是y二4+=，故函數(shù)有最大值.2 22例4如圖3-4-1，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成.圖 3-4-1(1 )現(xiàn)有可圍36 m長網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面

12、積最大？(2)若使每間虎籠面積為 24 m2,則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼 筋總長度最?。?思路分析：設每間虎籠長為x m，寬為y m ,則(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而 則是在xy=24的前提下來求 4x+6y的最小值.解：(1 )設每間虎籠長為 x m，寬為y m，則由條件，知 4x+6y=36，即2x+3y=18.設每間虎籠的面積為 S,則S=xy.方法一：由于 2x+3y>2 2x 3y =2 6xy ,2727 2 6xy w 18得 xy<：，即 Sw.人22當且僅當2x=3y時等號成立./X =2y,解得2x + 3y

13、= 18,儀=4.5,=y = 3.故每間虎籠長為4.5 m,寬為3 m時，可使面積最大3方法二：由 2x+3y=18，得 x=9-y.2/ x> 0,. 0v yv 6.33S=Xy=(9一 2y)y=(6-y)y./ 0v yv 6, 6-y > 0.sw3 (6"y 2=272 2 2當且僅當6-y=y,即y=3時，等號成立，此時由條件知S=xy=24.設鋼筋網總長為I,則l=4x+6y.x=4.5.故每間虎籠長 4.5 m,寬3 m時，可使面積最大方法一 :v 2x+3y>2 2x *3y =2 6xy =24, l=4x+6y=2(2x+3y) >

14、48當且僅當2x=3y時，等號成立.2x=3y,"x=6,由丿'解得丿刈=24,$=4.故每間虎籠長6m，寬4m時，可使鋼筋網總長最小.方法二:由 xy=24 ,得 x=24. l=4x+6y=9616+6y=6(+y)yyy =48,當且僅當16 =y，即y=4時，等號成立，此時yx=6.故每間虎籠長6 m,寬4 m時，可使鋼筋總長最小.綠色通道：在使用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時，要注意：(1) x,y都是正數(shù)；(2) 積xy (或x+y )為定值；(3) x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據條件構造滿足上述三個條件的結論變式訓練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積

15、為200平方米的三級污水處理池(平面圖如圖3-4-2所示),由于地形限制，長、寬都不能超過16米，如果池外周壁建造單價為每米400元，中間兩道隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計，試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價思路分析：在利用均值不等式求最值時 單調性進行求解解：設污水處理池的長為 x米,則寬為于是總造價 Q(x)=400(2x+2 X 200=800(x+324x)+16 000 > 800，必須考慮等號成立的條件，若等號不能成立，通常要用函數(shù)的200 米(0v xw 16，(k< 16)；. 12.5 < x

16、 w 16.xx200)+248 X X +80 X200.xx324X2 3T+ 16 000=44 800，113838749.doc第10頁共8頁113838749.doc第#頁共8頁324當且僅當 x= (x > 0)，即 x=18 時等號成立，而 18 : 12.5,16 ,； Q(x) > 44 800.x下面研究Q(x)在12.5,16上的單調性.對任意 12.5 <x< x2w 16則 x2-x1> 0,x1x2< 162v 324.1 1Q(x0-Q(x 1)=800 (X2-X1)+324():X2X1=800 X(x2捲)(x2324)

17、< 0,x1 x2；Q(X2)> Q(X1). Q(x)在: 12.5,16上是減函數(shù).； Q(x) > Q(16)=45 000.答：當污水處理池的長為16米，寬為12.5米時，總造價最低,最低造價為45 000元.問題探究問題某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高.當住第n層樓時, 上下樓造成的不滿意度為n.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環(huán)境8不滿意度降低.設住第n層樓時,環(huán)境不滿意程度為.則此人應選第幾樓，會有一個最佳滿意度.n導思：本問題實際是求n為何值時，不滿意度最小的問題，先要根據問題列出一個關于樓層的函數(shù)式，再根據基本不等式求解即可.探究：設此人應選第n層樓,此時的不滿意程度為y.8由題意知yn+.nn+ >2n x =42 ,n . n當且僅當n=，即n= 2 . 2時取等號.n但考慮到n N*,/ n2X 1.414=2.828 3,即此人應選3樓,不滿意度最低.例5解關于x的不等式a(x 1) > 1(a工1)x 2解原不等式可化為(a 1)X 巴衛(wèi) > 0,x 2a 2 當a > 1時，原不等式與(X)(x 2)> 0同解a -1由于匚21 ：2a1a1a 2原不等式的解為(一R,)U (2