《高次方程》講義

1、高次方程一般地，我們把關(guān)于x的方程anxnan1xn1an2xn2La2x2a1xa00nZ,an0,aiR,i0,1,2,L,n1稱為x的n次代數(shù)方程一般式.其中當(dāng)n43且nZ時(shí),方程為高次方程.1 .代數(shù)基本定理代數(shù)基本定理：關(guān)于x的復(fù)系數(shù)方程anxnan1xn1an2xn2La2x2a1xa00nZ,an0,aiC,i0,1,2,L,n1有且只有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.代數(shù)基本定理的完整證明需要用到高等數(shù)學(xué)，在此就不多加敘述了.2 .因式定理根為 X , x2,x3, L ,xn時(shí)，方程anxn41xn1an?xn 2 La?x2axa00 an 0根據(jù)代數(shù)基本定理,設(shè)方程anxnan

2、1xn1an2xn2L2a2xaxa。0an0的根分別為X,x2,x3,L,xn（含重根，下同）,由方程與根的關(guān)系可知，上述方程可變形反 過(guò) 來(lái)， 方 程為anxx1xx2xx3Lxxn0x x2 x x3 L x xn0an0可化為根是x1,x2,x3,L,xn的方程nanxn1n2an1xan2xLa2axa00an0.由此可以得到，若小是方程nanxn1n2an1xan2x2&xaxa00an0的一個(gè)根，則xx0就是多項(xiàng)式nanxn1n2an1xan2xa?x2ax%的一個(gè)因式.3 .韋達(dá)定理我們知道復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)方程anxnan1xn1an2xn2La2x2a1x%0an0的等

3、價(jià)于方程an x x1 xx2 x x3 L x Xn0 an 0 .an X X1X X2 XX3 L X XnnanXann 1n 21X an 2X2La2x根據(jù)運(yùn)算法則，可得:an X X1XX2 X X3XnnanXann 1X1X2X3L Xn Xan KX2X1X3 L XiXnX2X3X2X4L X2XnX3X4X3X5LX3XnXn 1 Xnan X1X2X3X1X2X4Xn 2Xn 1Xn Xn 1an X1X2L Xn1X1X2L2XnX2X3L Xn Xn1anXXLXnn anXanann 2.2x L2 a?Xa1Xao一 XiX2X3Xnan 1;anX1X2X1

4、X3XiXnX2X3X2X4L X2XnX3X4X3X5LX3XnXn1XnananX1X2X3X1X2X4X1X2XnX2X3X4X2X3X5X2X3XnL Xn 2Xn 1XnananX1X2X3L Xnan這就是n次方程的韋達(dá)定理.特別的，當(dāng)n3時(shí),有 X1X2X3a2a3a1X1X2X1X3X2X3a3XX2X3a3當(dāng)n 2時(shí)，有x1X2a1a2X1X2aoa2程 anXnan 1Xn 1an 2Xn 2La2X2axa。0an0存在的根 4,X2,X3,L ,Xn 滿4 .試根法在復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)范圍內(nèi)，高次方程的一般解法相對(duì)較繁瑣，或非常低效率，甚至超過(guò)四次方程不存在一般的解法；而在有理

5、數(shù)范圍內(nèi)求解則會(huì)快捷和簡(jiǎn)便得多；事實(shí)上，多數(shù)情況下高次方程也只是被要求在有理數(shù)范圍內(nèi)求解.在有理數(shù)范圍內(nèi)求根時(shí)，由韋達(dá)定理可知，方足 x1x2x3L xn.nao一,一，1，即xi,x2,x3,L,xn均為anna0.一一、1的因子.因此，對(duì)于n次方an程的一般式anxnanixn1an2xn2La2x24xa00,我們可以先分別找出最高次項(xiàng)系數(shù)an和常數(shù)項(xiàng)ao各自的整數(shù)因子（含符號(hào)），然后將a。的各因子分別除以an的各因子，它們的商依次代入方程，若方程成立，該商便是方程的根.特別地，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)a。0時(shí)，x0定是方程anxnanixn1an2xn2La2axa00an0的一個(gè)根.當(dāng)ananian

6、2Laia0時(shí)，x1是方程的根.一般地，我們可以先嘗試特殊數(shù)值如x0,x1,x2等代入方程試根驗(yàn)證方程是否成立.5 .多項(xiàng)式除法（又叫大除法或綜合除法）通過(guò)試根法試出的根xx0滿足方程anxnanxn1an2xn2La2x2axa00an0,根據(jù)因式定理，則x設(shè)為多項(xiàng)式anxnan【xn1an2xn2L&x2a【xa0的一個(gè)因式.如，經(jīng)驗(yàn)證，x2是方程3x42x35x220的一個(gè)根，則x2是多項(xiàng)式3x42x35x22的一個(gè)因式.下面我們介紹多項(xiàng)式除法，將多項(xiàng)式anxnan1xn1an2xn2La2x2a1xa0除以它的因子xx,為了便于理解，我舉具體例子進(jìn)行講解：多項(xiàng)式3x42x35x

7、22除以它的因式x2.具體如下:323x34x28x11432x23x2x0x5x223x46x3,324x 0x4x3 8x2 sX 8x25x16x11x 2211x 220其中，被除數(shù)放在豎式根號(hào)內(nèi)，除數(shù)放在根號(hào)外，且均按降哥排列，遇有次數(shù)不連續(xù)如本題多項(xiàng)式3x42x35x22中2x3項(xiàng)和5x中沒(méi)有mx2(mR)項(xiàng)，則添加(如本題添加24x2 8x 11 ,這樣，我們就把求方程8x 11 0的根.如果降次后的方程還存降低新的方程的次數(shù)，依此類推下去直0x)中間次數(shù)不連續(xù)的項(xiàng)，且添加的項(xiàng)的系數(shù)為由上式得3x42x35x22x23x33x42x35x220的根降次為求方程3x34x2在有理數(shù)

8、根，我們就可以繼續(xù)試根后用多項(xiàng)式除法，至我們熟悉的一次方程或二次方程.6 .三次方程一般解法這里我們著重講解一般三次方程3 axbx2cx0 a 0,實(shí)常數(shù)b,c,d R在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的一般解法.32ax bxcx0可得x3Bx2Cx其中m,n，代入式得:23m n23mn32n Bm 2Bmn2BnCmCn3n23n m0得,一 23n 2Bn C m2Bn Cn D 0n旦，代入式得:3_22BBCD02732B2BCq組BCD,代入式可化簡(jiǎn)為:273pm再設(shè)muvu,vR代入式得:3uvpuvq033-2-2-uv3uv3uvpupvq033uv3uvuvpuvq03uvpuvq再令3uvp0,得:p3uv33uvq豈33q式兩邊同時(shí)乘以3u得，27u3uv27qu,將式代入式得，27u627qu3p3