反證法在不等式證明中的應(yīng)用

1、反證法在不等式證明中的應(yīng)用反證法也叫歸謬法，其證明步驟可概括為“否定 推理否定肯定” 四個部分 . 關(guān)鍵是第二步， 即由“暫 時假設(shè)” 推出矛盾 .那么怎樣才能導(dǎo)出矛盾呢？通常有以下幾 種情形：或與公理矛盾、或與定義矛盾、或與定理矛盾、或 與已知條件矛盾、或與“暫時假設(shè)”矛盾、或與顯然的事實 矛盾、或自相矛盾等 .一 命題結(jié)論為“至多” “至少”的形式，宜用反證法例 1 實數(shù)a，b， c，d滿足a+b=c+d=1 ，ac+bd>1.求 證： a，b， c， d中至少有一個是負數(shù) .證法 1 假設(shè) a， b，c，d都是非負數(shù)， a+b=c+d=1 ，a，b，c，d0， 1， ac，bd0，

2、 1. acaca+c2，bdbdb+d2. ac+bd a+c+b+d2= 1 ，這與已知 ac+bd>1矛盾 . a， b，c，d中至少有一個是負數(shù) .證法 2 假設(shè) a，b，c，d都是非負數(shù)，則 （a+b）（c+d） = （ ac+bd） +（ ad+bc） ac+bd.a+b=c+d=1 ， （a+b）（c+d）=1. ac+bd 1 ，這與已知 ac+bd>1 矛盾 .a， b，c，d中至少有一個是負數(shù) .例 2 已知 f （x ）=x2+ax+b ，求證： |f（1）|，|f（2）|，|f （3）|中至少有一個不小 于12.證明 假設(shè)|f（1）|，|f（2）|，|f（3

3、）|都小于 12， 則|f（1）|+2|f（2）|+|f （3）|0， b>0 ，且a+b>2 ， 求證： 1+ba 與1+ab 中至少有一個小于 2.證明 設(shè)1+ba 與1+ab都不小于 2，即1+ba 2，1+ab 2 ，a>0 ， b>0 ，1+b 2a，1+a2b， 將兩式相加得 1+b+1+a 2a+2b ，a+b 2 ，這與已知矛盾，假設(shè)不成立 .1+ba 與1+ab中至少有一個小于 2.二、命題結(jié)論呈“都是” “都不是”形式，宜用反證法 例 4 已知 a+b+c>0 ， ab+bc+ca>0 ， abc>0 ， 求證： a>0 ，

4、b>0， c>0.證明 （1）假設(shè) a0知， bc0知， b+c>-a>0.于是 ab+bc+ca=a（ b+c） +bc0矛盾 .a>0. 同理可證 b>0 ， c>0.例 5 設(shè)實數(shù) a0， a1， a2， ， an-1 ，an 滿足 a0=an=0 ， 且 a0-2a1+a2 0，a1-2a2+a3 0， ， an-2-2an-1+an 0.試證明： ak 0（ k=1， 2， 3， ， n-1） .證明 假設(shè) ak（k=1 ， 2， 3， ， n-1）中至少存在 一個正數(shù)且 ai 是序列 a0， a1， a2， ， an-1 中第一個出 現(xiàn)的正

5、數(shù)，則 a1 0， a2 0， ， ai-1 0， ai>0， 從而 ai-ai-1>0.據(jù)題設(shè) ak+1-ak ak-ak-1（ k=1 ， 2， 3， ， n-1）， 故從 k=i 起有 an-an-1 an-1-an-2 ai-ai-1>0.于是有 an>an-1> >ai+1>ai>0 ，這與 an=0 矛盾，故 ak 0（k=1， 2， 3， ， n-1）.三、已知命題的逆命題是正確的，宜用反證法例 6 已知函數(shù) f（x）是（ -， +）上的增函數(shù)， a， bR.（1）證明：若 a+b 0，則 f（a）+f（b） f （ -a） +f

6、（-b）；（2）證明：若 f（a）+f（b） f（-a）+f（-b），則 a+b 0.證明 （1） a+b 0， a -b， b -a.f（ x）是（ -， +）上的增函數(shù)，f（a） f（-b），f（b） f（-a）.f（a）+f（b） f（-a）+f（-b）.（ 2）假設(shè) a+bb>0，n N 且 n 2.求證：an>bn.證明 假設(shè) anbn ，由于 a>b>0，an>0 ， bn>0 ，則 （ an） n（ bn） n ，即 ab. 這與已知條件 a>b>0 矛盾，故 an>bn 成立 .四、在證明的方法上用直接法較困難，或在證明的方

7、向 上從結(jié)論的反面著手較易的命題，宜用反證法例 8 如果正實數(shù) a， b 滿足 ab=ba，且 ab 或 ab 時，由 于 1>a>b>0 ，可得 ab>bb（冪函數(shù)的單調(diào)性） ， bb>ba（指數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性） ，由不等式的傳遞性得 ab>ba，這與已知 ab=ba 矛盾 .（ 2）當(dāng) b>a 時，由 b>a>0， aaa（冪函數(shù)的單調(diào)性） ， aa>ab（指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性） ，所以 ba>ab，與已知 ab=ba 矛盾 .綜上可得 a=b.例 9 已知 f（x）= （ cos sin ） x+（ cos sin ） x ， 且 x2.求證： + > 2.證明 假設(shè) 00，01且 x2矛盾，故+> 2.利用反證法證明不等式應(yīng)注意以下幾點： （ 1） 用反證 法證明不等式必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論 的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各