推理與證明專題3――函數(shù)、數(shù)列、不等式中的應(yīng)用

1、專題3：推理與證明在函數(shù)、數(shù)列、不等式中的應(yīng)用例題分析：例1觀察圓周上個(gè)點(diǎn)之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)可以連一條弦，3個(gè)點(diǎn)可以連3條弦，4個(gè)點(diǎn)可以連6條弦，5個(gè)點(diǎn)可以連10條弦，由此可以歸納出個(gè)點(diǎn)可以連 條弦例2觀察下列四個(gè)不等式：，根據(jù)這些不等式的特點(diǎn)，可以歸納出一個(gè)一般的不等式為 例3設(shè)，利用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得的值為_(kāi)例4設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則有以下性質(zhì)：數(shù)列 也是等比數(shù)列.（1）類比上述性質(zhì)，寫(xiě)出等差數(shù)列的類似性質(zhì)；（2）證明（1）所得的結(jié)論.例5設(shè)數(shù)列滿足，（1）求，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并予以證明達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：1. 觀察：； ；.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，試寫(xiě)出使成立的一個(gè)條件

2、可以是 _.2. 設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則=_；當(dāng)時(shí)， 3. 在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式成立.4. 我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合：函數(shù)，對(duì)任意均滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（1）若定義在上的函數(shù)，試比較與大小.（2）設(shè)函數(shù)，求證：.5已知：等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，有如下的性質(zhì)：（1）anam(nmd.（2）若mnpq，其中，m、n、p、qN*，則amanapaq.（3）若mn2p，m，n，pN*，則aman2ap.（4）Sn，S2nSn，S3nS

3、2n構(gòu)成等差數(shù)列類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，寫(xiě)出相類似的性質(zhì)，并對(duì)結(jié)論（4）加以證明6求證：，課后作業(yè)：.考.1.在圓內(nèi)畫(huà)一條線段，將圓分成兩部分；畫(huà)兩條線段，彼此最多分割成4條線段，同時(shí)將圓分割成4部分；畫(huà)三條線段，彼此最多分割成9條線段，同時(shí)將圓分割成7部分. 那么（1）在圓內(nèi)畫(huà)四條線段，彼此最多分割成 條線段？同時(shí)將圓分割成 部分？（2）猜想：圓內(nèi)兩兩相交的(2條線段，彼此最多分割成 條線段，同時(shí)將圓分割成 部分.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則T4，_，_，成等比數(shù)列3根據(jù)給出的

4、數(shù)塔猜測(cè)12345697（）19211129311112394111 1123495111 11A111 111 B111 111 1 C111 111 2 D111 111 34函數(shù)由下表定義：2531412345若，則 5設(shè) ，又記 則（ ）A B C D6. 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖. 其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù).（1）求；（2）猜想，并寫(xiě)出猜想過(guò)程7. 證明不等式，能力提升： 1. 對(duì)大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式： 根據(jù)上述分解規(guī)律

5、，則 ，若的分解中最小的數(shù)是73，則的值為 .2. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)（且均為常數(shù)）的圖象上. （1）求的值； （2）當(dāng)時(shí)，記 證明：對(duì)任意的，不等式成立3. 求證：專題3：推理與證明在函數(shù)、數(shù)列、不等式中的應(yīng)用例題分析：例1. 例2例3. 解析：本題是“方法類比”因等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么經(jīng)類比不難想到而當(dāng)x1x21時(shí)，所以例4（1）解：數(shù)列也是等差數(shù)列（2）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則則所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列例5解：（1）由，得，（2）猜想的通項(xiàng)公式：，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，猜想成立假設(shè)當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，猜想

6、也成立所以，達(dá)標(biāo)訓(xùn)練： 圖B1. 2. 5；解析：由圖B可得，由，可推得n每增加1，則交點(diǎn)增加個(gè)，3. b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*解析：從分析所提供的性質(zhì)入手：由a100，可得aka20k0，因而當(dāng)n19n時(shí)的情形由此可知：等差數(shù)列an之所以有等式成立的性質(zhì)，關(guān)鍵在于在等差數(shù)列中有性質(zhì)：an1a19n2a100，類似地，在等比數(shù)列bn中，也有性質(zhì)：bn1b17nb1，因而得到答案：b1b2bnb1b2b17n (n17，nN*4. 解：（1）對(duì)于，令得（2） ，所以5解：等比數(shù)列bn中，公比為q（），前n項(xiàng)和為Sn.（1）bnbmqnm.（2）若mnpq，其中m，n，p，qN

7、*，則bmbnbpbq.（3）若mn2p，其中，m，n，pN*，則bbmbn.（4）Sn，S2nSn，S3nS2n構(gòu)成等比數(shù)列證明：當(dāng)時(shí)，則是公比為1的等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，則，即則是公比為的等比數(shù)列6證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊=右邊，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即則當(dāng)時(shí)，等式也成立綜合（1）（2），對(duì)任意的，原等式成立課后作業(yè)：1.（1）16，11 （2）2. 設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，首項(xiàng)為b1，則T4b14q6，T8b18q127b18q28，T12b112q1211b112q66，b14q22，b14q38，即（）2T4，故T4，成等比數(shù)列3B44. 解析：，5C. ，1 卓奮.廣州環(huán)境科學(xué).廣州：廣州環(huán)境科學(xué)出版社，1998，13（2）2 國(guó)家環(huán)境保護(hù)總局監(jiān)督管理司.中國(guó)環(huán)境影響評(píng)價(jià)培訓(xùn)教材7. 證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=24 國(guó)家環(huán)境保護(hù)總局環(huán)境工程評(píng)估中心.環(huán)境影響評(píng)價(jià)技術(shù)方法2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)， 不等式也成立綜合（1）（2），對(duì)任意的，原不等式成立能力提升：1. ；9解析：的分解中，最小的數(shù)依次為3，7，13，由得2. 解：（1）依題意得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)閷?duì)，為等比數(shù)列，所以，即（2）當(dāng)時(shí)，, 則，所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.1 當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，因?yàn)椋?/p>