數(shù)學必修ⅴ北師大版2.3 第1課時　距離和高度問題學案+練習

1、§3解三角形的實際應用舉例第1課時距離和高度問題知能目標解讀1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法求解不可到達的兩點之間的距離.2.學會處理測量距離、測量高度等解三角形的實際問題.3.深刻理解三角形的知識在實際中的應用，增強應用數(shù)學建模意識，培養(yǎng)自己分析問題和解決實際問題的能力. 重點難點點撥重點：分析測量的實際情景，找出解決測量距離的方法.難點：分析如何運用學過的解三角形知識解決實際問題中距離測量和高度問題.學習方法指導1.解三角形應用題的基本思路解三角形應用題要注意兩點：（1）讀懂題意，理解問題的實際背景，明確已知和所求，準確理解應用題中的有關術語、名稱.理清量與量之間的關系

2、.(2)將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位、近似計算要求.2.常見應用題型正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有：測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.3.解三角形應用題常見的幾種情況（1）測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個角和一條邊解三角形的問題，從而得到運用正弦定理去解決的方法.（2）測量兩個不可到達的點之間的距離問題，一般是把求距離轉(zhuǎn)化為應用余弦定理求三角形的邊長的問題.然后把求未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題，然后運用正弦定理解決.知能自主梳理實際問題中的名詞、術語1

3、.方位角：從指北方向時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角.如圖(1)所示.2.方向角：相對于某一正方向（東、西、南、北）的水平角.北偏東°，即由指北方向旋轉(zhuǎn)°到達目標方向，如圖（2）.北偏西°，即是由指北方向旋轉(zhuǎn)°到達目標方向.3.基線：在測量上，我們根據(jù)測量的需要適當確定的線段叫做基線.一般來說，基線越，測量的精確度越高.4.測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，這類問題不能直接用解三角形的方法解決，但常用和，計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.5.仰角與俯角：目標方向線（視線）與水平線的夾角中，當目標（

4、視線）在水平線時，稱為仰角，在水平線時，稱為俯角，如圖.答案1.順2.順時針逆時針3.長4.正弦定理余弦定理5.上方下方思路方法技巧命題方向測量高度問題例1如圖，測量人員沿直線MNP的方向測量，測得塔AB的仰角分別是AMB=30°，ANB=45°APB=60°，且MN=PN=500m，求塔高.分析解題的關鍵是讀懂立體圖形.解析設AB高為x.AB垂直于地面，ABM,ABN,ABP均為直角三角形，BM=x·cot30°x,BN=x·cot45°x,BP=x·cot60°=x.在MNB中,由余弦定理，得BM2=

5、MN2+BN2-2MN·BN·cosMNB,在PNB中，由余弦定理，得BP2=NP2+BN2-2NP·BN·cosPNB,又BNM與PNB互補，MN=NP=500，3x2=250000+x2-2×500x·cosMNB，x2=250000+x2-2×500x·cosPNB，+，得x2=500000+2x2,x=250.答：塔高250m.說明在測量高度時，要理解仰角和俯角的概念，區(qū)別在于視線在水平線的上方還是下方，一般步驟是：根據(jù)已知條件畫出示意圖；分析與問題有關的三角形；運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步

6、求解；把解出答案還原到實際問題中.還要注意綜合運用平面幾何和立體幾何知識以及方程的思想.變式應用1如圖，在塔底B處測得山頂C的仰角為60°，在山頂C測得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB=20m，求山高DC（精確到0.1m）.分析如圖，DC在RtBCD中，DBC=60°，只需求出邊BC的長，即可求出DC，而BC又在斜三角形ABC中，依據(jù)條件由正弦定理可求出BC.解析由已知條件，得DBC=60°,ECA=45°,則在ABC中，ABC=90°-60°=30°,ACB=60°-45°=15°

7、,CAB=180°-（ABC+ACB）=135°.在ABC中，.BC=.在RtCDB中，CD=BC·sinCBD=20(+1)×47.3.答：山高約為47.3m.命題方向測量距離問題例2要測量河對岸兩地A、B之間的距離，在岸邊選取相距100米的C、D兩點，并測得ACB=75°,BCD=45°,ADC=30°,ADB=45°（A、B、C、D在同一平面內(nèi)），求A、B兩地的距離.分析此題是測量計算河對岸兩點間的距離，給出的角度較多，涉及幾個三角形，重點應注意依次解哪幾個三角形才較為簡便.解析如圖所示，在ACD中，CAD=

8、180°-（120°+30°）=30°,AC=CD=100.在BCD中，CBD=180°-（45°+75°）=60°.由正弦定理,得BC=.在ABC中，由余弦定理,得AB2=（100）2+（200sin75°) 2-2×100×200sin75°·cos75°=1002(3+4×)=1002×5,AB=100.答：A、B兩地間的距離為100米.說明（1）求解三角形中的基本元素，應由確定三角形的條件個數(shù)，選擇合適的三角形求解，如本題選擇的

9、是BCD和ABC.（2）本題是測量都不能到達的兩點間的距離，它是測量學中應用非常廣泛的三角測量方法的原理，其中AB可視為基線.（3）在測量上，我們根據(jù)測量需要適當確定的線段叫做基線，如本例的CD.在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度.一般來說，基線越長，測量的精確度越高.變式應用2如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角（指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平轉(zhuǎn)角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時后船到達C點，觀測燈塔A的方位角是65°.問貨輪到達C點時與燈塔A的距離是

10、多少？分析根據(jù)所給圖形可以看出，在ABC中，已知BC是半小時路程，只要根據(jù)所給的方位角數(shù)據(jù)，求出ABC及A的大小，由正弦定理可得出AC的長.解析在ABC中，BC=40×=20,ABC=140°-110°=30°,ACB=(180°-140°)+65°=105°,A=180°-(30°+105°)=45°,由正弦定理，得AC= (km).答：貨輪到達C點時與燈塔A的距離是10 km.探索延拓創(chuàng)新命題方向綜合應用問題例3如下圖所示，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按

11、固定方向勻速直線航行，當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1處，此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？分析甲、乙兩船航行時間相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距離B1B2即可.連結(jié)A1B2，轉(zhuǎn)化為在A1B1B2中已知兩邊及夾角求對邊的問題.解析如上圖，連結(jié)A1B2，A2B2=10，A1A2=×30=10.A1A2B2是等邊三角形，B1A1B2=105°-60°=45°.在A1B2B1中，由余弦定理得B

12、1B22=A1B12+A1B22-2A1B1·A1B2cos45°=202+(10)2-2×20×10×=200,則B1B2=10.因此乙船的速度的大小為×60=30.即乙船每小時航行30海里.說明仔細觀察圖形，充分利用圖形的幾何性質(zhì)挖掘隱含條件，并通過添加適當?shù)妮o助線將問題納入到三角形中去解決是解此類問題的關鍵.變式應用3海中有小島A，已知A島四周8海里內(nèi)有暗礁.今有一貨輪由西向東航行，望見A島在北偏東75°，航行20海里后見此島在北偏東30°.如貨輪不改變航向繼續(xù)前進，問有無觸礁的危險？分析如圖所示，要判斷有無

13、觸焦危險，只要看AD的長與8的大小，若AD8，則無觸礁危險，否則有觸礁危險.解析如圖所示，作ADBC的延長線于D，由已知NBA=75°,ACD=60°,BC=20.由正弦定理，得，AC=10(- ),AD=AC·sin60°=15-58.無觸礁危險.說明本題中理解方位角是解題的關鍵.北偏東75°是指以正北方向為始邊，順時針方向轉(zhuǎn)75°.名師辨誤做答例4某觀測站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測得公路上B處有一人，距C為31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到達D處

14、，此時CD間的距離為21千米，問：這人還要走多少千米才能到達A城？誤解本題為解斜三角形的應用問題，要求這人走多少路才可到達A城，即求AD的長，在ACD中，已知CD=21千米，CAD=60°，只需再求出一個量即可.如圖，設ACD=,CDB=,在CBD中，由余弦定理，得cos=，sin=.在ACD中，AC=CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos60°，即212242+AD2-2×24×·AD，整理，得AD2-24AD+135=0,解得AD=15或AD=9，答：這個人再走15千米或9千米就可到達A城.辨析本題在解ACD時，利

15、用余弦定理求AD，產(chǎn)生了增解，應用正弦定理來求解.正解如圖，令ACD=,CDB=,在CBD中，由余弦定理得cos=，sin=.又sin=sin(-60°)sincos60°-sin60°cos=×+×，在ACD中，,AD=15(千米).答：這個人再走15千米就可以到達A城.課堂鞏固訓練一、選擇題1.如圖所示，在河岸AC測量河的寬度BC，測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是 ()A.a和cB.c和bC.c和D.b和答案D解析在ABC中，能夠測量到的邊和角分別為b和.2.如圖所示，D、C、B在地平面同一直線上，DC10m，從D、C兩地測得A點的仰角分別為3

16、0°和45°，則A點離地面的高AB等于 ()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5（+1）m答案D解析在ABC中，由正弦定理得AD=在RtABC中，AB=ADsin30°=5(+1)(m).3.(2012·福州高二質(zhì)檢)如圖所示，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時應當用數(shù)據(jù) ()A.,a,bB.,aC.a,b,D.,b答案C解析根據(jù)實際情況，、都是不易測量的數(shù)據(jù)，而a,b可以測得，角也可以測得，根據(jù)余弦定理AB2=a2+b2-2abcos能直接求出AB的長，故選C. 4.(2011·上海理，6)在相距2千米的A、B兩點處測量目

17、標點C，若CAB=75°,CBA=60°，則A、C兩點之間的距離為千米.答案解析本題考查正弦定理等解三角形的知識，在三角形中，已知兩角和一邊可求第三個角以及利用正弦定理求其它兩邊.CAB=75°,CBA=60°,C=180°-75°-60°=45°,由正弦定理：,AC=.二、填空題5.某地電信局信號轉(zhuǎn)播塔建在一山坡上，如圖所示，施工人員欲在山坡上A、B兩點處測量與地面垂直的塔CD的高，由A、B兩地測得塔頂C的仰角分別為60°和45°，又知AB的長為40米，斜坡與水平面成30°角，則該轉(zhuǎn)

18、播塔的高度是米.答案解析如圖所示，由題意，得ABC=45°-30°15°,DAC=60°-30°=30°.BAC=150°,ACB=15°,AC=AB=40米，ADC=120°,ACD=30°,在ACD中，由正弦定理，得CD=·AC·40.三、解答題6.如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A、B，望對岸的標記物C，測得CAB=45°,CBA=75°,AB=120米，求河的寬度.解析如圖，在ABC中，CAB=45°，CBA=75°，A

19、CB=60°.由正弦定理，得AC=20（3）.設C到AB的距離為CD，則CD=ACsinCAB=AC=20（3+）.答：河的寬度為20（+3）米.課后強化作業(yè)一、選擇題1.學校體育館的人字形屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m,A=30°,則其跨度AB的長為（）A.12mB.8mC.3mD.4m答案D解析在ABC中，已知可得BC=AC=4,C=180°-30°×2120°所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=42+42-2×4×4×（-)=48AB

20、=4 (m).2.從塔頂處望地面A處的俯角為30°,則從A處望塔頂?shù)难鼋鞘?()A.-60° B.30°C.60°D.150°答案B3.海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是 ()A.10海里B.10海里C.5海里D.5海里答案D解析如圖，由正弦定理得，BC=5.4.某人向正東方向走x km后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好km，那么x的值為（）A. B.2C.2或D.3答案C解析由題意畫出三角形如下圖.

21、則ABC=30°,由余弦定理得，cos30°=,x=2或.5.甲船在湖中B島的正南A處，AB=3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時乙船從B島出發(fā)，以12km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?，則行駛15分鐘時，兩船的距離是（）A. kmB. kmC. kmD. km答案B解析由題意知AM=8×，MB=AB-AM=3-2=1，所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×(-)=13，所以MN=km.6.在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分

22、別為30°、60°，則塔高為（）A.米B.米C.200米D.200米答案A解析如圖，設AB為山高，CD為塔高，則AB=200，ADM=30°,ACB=60°,BC=200cot60°=,AM=DMtan30°=BCtan30°=.CD=AB-AM=.7.一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為（）A.20（+）海里/時B.20（-）海里/時C.20（+）海里/時D.20（-）海里/時答案解

23、析題意可知NMS=45°，MNS=105°，則MSN=180°-105°-45°30°.而MS=20,在MNS中，由正弦定理得，MN=10(-).貨輪的速度為10(-)÷=20(-)(海里/時).8.如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角CAB=45°，沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1 000米到達S點，又測得山頂仰角DSB=75°，則山高BC為（）A.500mB.200mC.1000mD.1000m答案D解析SAB=45°-30°=15°,SBA=ABC-SBC=4

24、5°-（90°-75°)=30°,在ABS中，AB=1 000,BC=AB·sin45°=1 000×=1 000（m）.二、填空題9.一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東30°方向上，15 min后到點B處望見燈塔在船的北偏東75°方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是km.（精確到0.1 km）答案4.2解析作出示意圖如圖.由題意知，AB=24×=6，ASB=45°,由正弦定理得，=，可得BS=34.2（km）.10.從觀測點A看湖泊兩岸的建筑物B

25、、C的視角為60°,AB=100m,AC=200m,則B、C相距.答案100m解析在ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=1002+2002-2×100×200×=30000所以BC100m.11.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是.答案20米，米解析如圖，依題意有甲樓的高度AB=20·tan60°=20 (米)，又CM=DB=20米，CAM=60°，所以AM=CM·co

26、t60°=米，故乙樓的高度為CD=20-=（米）.12.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上從C處向正東行駛，到A處時，測量公路南側(cè)遠處一山頂D在東南15°的方向上，行駛15km后到達B處，測得此山頂在東偏南30°的方向上，仰角為15°，則此山的高度CD等于km.答案5（2-）解析在ABC中，A=15°,C=30°-15°=15°,由正弦定理，得BC=.又CD=BC·tanDBC=5×tan15°=5×tan(45°-30°)= 5(2-).三、解答題13.（2012·廈門高二檢測）海面上相距10海里的A、B兩船，B船在A船的北偏東45°方向上，兩船同時接到指令同時駛向C島，C島在B船的南偏東75°方向上，行駛了80分鐘后兩船同時到達C島，經(jīng)測算，A船行駛了10海里，求B船的速度.解析如圖所示，在ABC中，AB10，AC=10,ABC=120°由余弦定理，得AC2=BA2+BC2-2BA·BC