數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)(3)

1、實(shí)驗(yàn)三 函數(shù)逼近與快速傅里葉變換 P95專業(yè)班級(jí):信計(jì)131班 姓名:段雨博 學(xué)號(hào):2013014907 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、熟悉matlab 編程。2、學(xué)習(xí)最小二乘法及程序設(shè)計(jì)算法。 二、實(shí)驗(yàn)題目 1、對(duì)于給函數(shù)(21125f x x=+在區(qū)間1,1-上取(10.20,1,10i x i i =-+= ,試求3次曲線擬合,試畫(huà)出擬合曲線并打印出方程,與第二章計(jì)算實(shí)習(xí)題2的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。 圖示數(shù)據(jù)曲線及相應(yīng)的三種擬合曲線。 3. 給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(,i i x y 如表所示 用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的二次多項(xiàng)式,并求平方誤差。 三、實(shí)驗(yàn)原理與理論基礎(chǔ)1.最小二乘原理與線性擬合:在函數(shù)的最佳平方逼近中,(b

2、 a C x f ,如果(x f 只在一組離散點(diǎn)集.,1,0,m i x i =上給出,這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常見(jiàn)到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).1,0,(m i y x i i =的曲線擬合,這里.1,0(m i x f y i i =,要求一個(gè)函數(shù)(*x S y =與所給數(shù)據(jù).1,0,(m i y x i i =擬合,若記誤差T m ,.(10=,設(shè)(,.(,(10x x x n 是Ca,b上線性無(wú)關(guān)函數(shù)族,在(,.(,(10x x x span n =中找一函數(shù)(*x S 使誤差平方和220222(min (*=-=-=mi i i m i i m i i y x S y x S ,這里 (.(1000x a

3、 x a x a x S n n += (m n <。這就是一般的最小二乘逼近,用幾何語(yǔ)言說(shuō),就稱為曲線擬合的最小二乘法。數(shù)據(jù)擬合是根據(jù)測(cè)定的數(shù)據(jù)間的相互關(guān)系,確定曲線,.,;(10n a a a x s y =的類型,然后再根據(jù)在給定點(diǎn)上誤差的平方和達(dá)到最小的原則,即求解無(wú)約束問(wèn)題:=-=mi i n i n y a a a x s a a a F 121010,.,;(,.,(min確定出最優(yōu)參數(shù):,.,1,0(*n k a k=,從而得到擬合曲線.(*x s y =2、多項(xiàng)式擬合。3、定義1:設(shè)有數(shù)據(jù),.,21m x x x X =和權(quán)系數(shù),.,2,1(m i i =稱:=mi i

4、 i ix g x f g f 1(,(為函數(shù)為權(quán)的內(nèi)積。上以在和,.,21m x x x X g f =4、用正交函數(shù)最佳平方逼近:為避免出現(xiàn)正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣是病態(tài)矩陣的情況,在選擇多項(xiàng)式時(shí)需要考慮正交的多項(xiàng)式n n b a C span ,.,.,.1010=設(shè)是正交基,即:=k i ki k k i ,0,(22 于是正規(guī)方程組可以簡(jiǎn)化為:,.,1,0,(22n k f a k k k = (1解方程得到:.,.,1,0,/,(22*n k f a a k k k k =這里避免了求解病態(tài)方程組,提高了計(jì)算系數(shù)的精確度。對(duì)任意的,(b a C x f 其最佳平方逼近函數(shù)為:(/,(2

5、2*x f x a x s k knk nk k k k=由式(1以及=-=-+-=-=nk k k f a fs f s f s fsf 0*22*22*22,(,(,(, 導(dǎo)出平方誤差為:=-=n k k k a f22*2222,(其平方根稱為均方誤差。 5、由題意決定,.,1(2x x span ,即決定擬合多項(xiàng)式,分別計(jì)算1(,(,ni j ijm k k k k =,1(,(,ni i j m k y k y -=,用(,i j k k 組成方陣A,用(,i k y -組成矩陣B ,利用A/B 求出該多項(xiàng)式的系數(shù),再利用1(2niii f x y =-求出平方誤差。四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容解:

6、1、 >> i = 0:10; >> x = -1+0.2*i;>> y = 1./(1+25*x.2; >> p=polyfit(x,y,3; >> s=vpa(poly2sym(p s = - 0.00000000000000016864439246388428423588689609742*x3 - 0.57518273581808898597955703735352*x2+ 0.000000000000000042557797397088199024277357508168*x +0.484124924848907012275

7、84486332489>> f=polyval(p,x;>> plot(x,f,x,y,'o '2、>> x=0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1;>> y=1 0.41 0.5 0.61 0.91 2.02 2.46;>> p1=polyfit(x,y,3%三次多項(xiàng)式擬合p1 =-6.6221 12.8147 -4.6591 0.9266>> p2=polyfit(x,y,4%四次多項(xiàng)式擬合p2 =2.8853 -12.3348 16.2747 -5.2987 0.9427>> y1

8、=polyval(p1,x;>> y2=polyval(p2,x;%多項(xiàng)式求值>> plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.'>> p3=polyfit(x,y,2%觀察圖像,類似拋物線,故用二次多項(xiàng)式擬合。p3 =3.1316 -1.2400 0.7356>> y3=polyval(p3,x;>> plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.',x,y3,'k-'%畫(huà)出四種擬

9、合曲線3、M文件:function =zuixiaoercinihe2(x,yn=length(x;k00=0;for i=1:nk00=k00+1;endk01=0;for i=1:nk01=k01+x(i;endk02=0;for i=1:nk02=k02+x(i*x(i;endk11=0;for i=1:nk11=k11+x(i*x(i;endk12=0;for i=1:nk12=k12+x(i*x(i*x(i;endk22=0;for i=1:nk22=k22+x(i*x(i*x(i*x(i;endk0y=0;for i=1:nk0y=k0y+y(i;endk1y=0;for i=1:

10、nk1y=k1y+x(i*y(i;endk2y=0;for i=1:nk2y=k2y+x(i*x(i*y(i;endA=k00 k01 k02;k01 k11 k12;k02 k12 k22;B=k0y;k1y;k2y;C=AB;p=C(1;q=C(2;r=C(3;syms m;'擬合的二次函數(shù)為'f=p+q*m+r*m*ml=0;for i=1:nl=l+(p+q*x(i+r*x(i*x(i-y(i*(p+q*x(i+r*x(i*x(i-y(i; end'該擬合函數(shù)的平方誤差為'end五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果1、>> i = 0:10;>> x =

11、 -1+0.2*i;>> y = 1./(1+25*x.2;>> p=polyfit(x,y,3;>> s=vpa(poly2sym(ps =- 0.00000000000000016864439246388428423588689609742*x3 - 0.57518273581808898597955703735352*x2 + 0.000000000000000042557797397088199024277357508168*x + 0.48412492484890701227584486332489>> f=polyval(p,x;&g

12、t;> plot(x,f,x,y,'o ' 2、>> x=0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1;>> y=1 0.41 0.5 0.61 0.91 2.02 2.46;>> p1=polyfit(x,y,3%三次多項(xiàng)式擬合p1 =-6.6221 12.8147 -4.6591 0.9266>> p2=polyfit(x,y,4%四次多項(xiàng)式擬合p2 =2.8853 -12.3348 16.2747 -5.2987 0.9427>> y1=polyval(p1,x;>> y2=polyval(p

13、2,x;%多項(xiàng)式求值>> plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.'>> p3=polyfit(x,y,2%觀察圖像,類似拋物線,故用二次多項(xiàng)式擬合。p3 =3.1316 -1.2400 0.7356>> y3=polyval(p3,x;>> plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.',x,y3,'k-'%畫(huà)出四種擬合曲線 3、>> x=0 0.5 0.6 0.7 0.8

14、0.9 1.0x =0 0.5000 0.6000 >> y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00 y= 1.0000 1.7500 1.9600 >> zuixiaoercinihe2(x,y ans = 擬合的二次函數(shù)為 f= m2 + m + 1 ans = 該擬合函數(shù)的平方誤差為 l= 5.8178e-030 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 2.1900 2.4400 2.7100 3.0000 六、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與小結(jié) 1、通過(guò)這次實(shí)習(xí)，我學(xué)會(huì)了如何使用 matlab 根據(jù)已知點(diǎn)或者函數(shù)進(jìn)行線性擬合，并慢慢熟 悉編寫(xiě)函數(shù)后如何進(jìn)行改錯(cuò)， 有些過(guò)程作了簡(jiǎn)單的注釋， 也明白了課本中最小二乘法算法如 何逼近、如何運(yùn)算，對(duì)第三章的理論