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1、提要61:聯(lián)立齊性O(shè)DE的解法(三)-矩陣解法(重根)本單元擬介紹重根時(shí),聯(lián)立齊性微分方程式之矩陣解法。若聯(lián)立齊性微分方程式可表示如下: (1)或 (1)上式亦可簡(jiǎn)寫為: (1”)其中、。式(1”)之解應(yīng)考慮為: (2)其中稱為特徵根(Characteristic Root, Eigenvalue)。上式亦可表為: (2)其中,稱為特徵向量(Eigenvector)。只要特徵根與特徵向量可以研討出,即可解出問(wèn)題之解。今再將式(2)代入式(1”),則: (3)上式可繼續(xù)化簡(jiǎn)為: (3)然後合併等號(hào)左右兩邊: (4)上式若展開,則可表為: (4)因?yàn)?,所以:?(5)上式亦可表為: (5)展開式(
2、5),可得一個(gè)以為未知數(shù)之一元n次方程式,稱為特徵方程式(Characteristic Equation),解析此方程式,即可得知問(wèn)題之n個(gè)特徵根。最後再將特徵根代回式(4),即可解出特徵向量,故式(2)之解可研討出。因所考慮之問(wèn)題為特徵根有產(chǎn)生重根,故解析特徵向量時(shí)需較為小心,此一重點(diǎn)將於後面及例題中加以說(shuō)明。 當(dāng)時(shí)則問(wèn)題之第一組解較為單純,只要將代回式(4),應(yīng)即可找出問(wèn)題之第一組特徵向量,並推求出問(wèn)題之第一組解:或 (6)然而,在推求第二組答案時(shí),應(yīng)考慮問(wèn)題之解為:或 (7)其中僅u為未知矩陣。只要將式(7)代回式(1”),即可解出未知之u矩陣,亦即問(wèn)題之第二組解亦可求出。 當(dāng)時(shí)同理,將
3、代回式(4),應(yīng)即可找出問(wèn)題之第一組特徵向量,並推求出問(wèn)題之第一組解:或 (8)在推求第二組答案時(shí),應(yīng)考慮問(wèn)題之解為:或 (9)其中僅u為未知矩陣。只要將式(9)代回式(1”),即可解出未知之u矩陣,亦即問(wèn)題之第二組解亦可求出。而問(wèn)題之第三組答案應(yīng)考慮為:或 (10)再將式(10)代回式(1”)解出v矩陣。其餘之重根情況,亦可依此觀念研討出問(wèn)題之解。範(fàn)例一試解出聯(lián)立常係數(shù)齊性微分方程式之通解:。解答:首先將聯(lián)立常係數(shù)齊性微分方程式寫成矩陣之型式如下: (a)再考慮問(wèn)題之解為: (b)然後代回式(a),則:上式可繼續(xù)化簡(jiǎn)為:合併等號(hào)左右兩邊後,可得:再整理為: (c)上式絕對(duì)不要誤寫為:因?yàn)楣位≈兄仃嚺c一個(gè)數(shù)相減是不對(duì)的!由於所以:亦即特徵方程式可表為:解此特徵方程式可得:經(jīng)整理後可知:再加以因式分解為:故問(wèn)題之特徵根(Eigenvalue)為:、 當(dāng)時(shí)將代回式(c),則:亦即:上式亦可表為:由此可知:故問(wèn)題之第一組解為:為單純起見(jiàn),以下之解析,可考慮。 討論問(wèn)題之第二組解因問(wèn)題係重根之情況,故問(wèn)題之第二組解應(yīng)考慮為:再代回式(a),則:上式亦可表為:再繼續(xù)化簡(jiǎn)為:由此可知:可考慮或或故問(wèn)題之第二組解為:因原聯(lián)立微分方程式
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