提要61聯(lián)立齊性O(shè)DE的解法(三)--矩陣解法(重根)

1、提要61：聯(lián)立齊性O(shè)DE的解法(三)-矩陣解法(重根)本單元擬介紹重根時(shí)，聯(lián)立齊性微分方程式之矩陣解法。若聯(lián)立齊性微分方程式可表示如下： (1)或 (1)上式亦可簡(jiǎn)寫為： (1”)其中、。式(1”)之解應(yīng)考慮為： (2)其中稱為特徵根(Characteristic Root, Eigenvalue)。上式亦可表為： (2)其中，稱為特徵向量(Eigenvector)。只要特徵根與特徵向量可以研討出，即可解出問(wèn)題之解。今再將式(2)代入式(1”)，則： (3)上式可繼續(xù)化簡(jiǎn)為： (3)然後合併等號(hào)左右兩邊： (4)上式若展開，則可表為： (4)因?yàn)?，所以：?(5)上式亦可表為： (5)展開式(

2、5)，可得一個(gè)以為未知數(shù)之一元n次方程式，稱為特徵方程式(Characteristic Equation)，解析此方程式，即可得知問(wèn)題之n個(gè)特徵根。最後再將特徵根代回式(4)，即可解出特徵向量，故式(2)之解可研討出。因所考慮之問(wèn)題為特徵根有產(chǎn)生重根，故解析特徵向量時(shí)需較為小心，此一重點(diǎn)將於後面及例題中加以說(shuō)明。 當(dāng)時(shí)則問(wèn)題之第一組解較為單純，只要將代回式(4)，應(yīng)即可找出問(wèn)題之第一組特徵向量，並推求出問(wèn)題之第一組解：或 (6)然而，在推求第二組答案時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題之解為：或 (7)其中僅u為未知矩陣。只要將式(7)代回式(1”)，即可解出未知之u矩陣，亦即問(wèn)題之第二組解亦可求出。 當(dāng)時(shí)同理，將

3、代回式(4)，應(yīng)即可找出問(wèn)題之第一組特徵向量，並推求出問(wèn)題之第一組解：或 (8)在推求第二組答案時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題之解為：或 (9)其中僅u為未知矩陣。只要將式(9)代回式(1”)，即可解出未知之u矩陣，亦即問(wèn)題之第二組解亦可求出。而問(wèn)題之第三組答案應(yīng)考慮為：或 (10)再將式(10)代回式(1”)解出v矩陣。其餘之重根情況，亦可依此觀念研討出問(wèn)題之解。範(fàn)例一試解出聯(lián)立常係數(shù)齊性微分方程式之通解：。解答：首先將聯(lián)立常係數(shù)齊性微分方程式寫成矩陣之型式如下： (a)再考慮問(wèn)題之解為： (b)然後代回式(a)，則：上式可繼續(xù)化簡(jiǎn)為：合併等號(hào)左右兩邊後，可得：再整理為： (c)上式絕對(duì)不要誤寫為：因?yàn)楣位≈兄仃嚺c一個(gè)數(shù)相減是不對(duì)的！由於所以：亦即特徵方程式可表為：解此特徵方程式可得：經(jīng)整理後可知：再加以因式分解為：故問(wèn)題之特徵根(Eigenvalue)為：、 當(dāng)時(shí)將代回式(c)，則：亦即：上式亦可表為：由此可知：故問(wèn)題之第一組解為：為單純起見(jiàn)，以下之解析，可考慮。 討論問(wèn)題之第二組解因問(wèn)題係重根之情況，故問(wèn)題之第二組解應(yīng)考慮為：再代回式(a)，則：上式亦可表為：再繼續(xù)化簡(jiǎn)為：由此可知：可考慮或或故問(wèn)題之第二組解為：因原聯(lián)立微分方程式