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1、A4021 找出4個不同的正整數(shù),它們的積能被它們中的任意兩個數(shù)的和整除你能找出一組5個或更多個數(shù)具有同樣的性質嗎?【題說】1992年英國數(shù)學奧林匹克題3【解】顯然,2、6、10、14滿足要求任取n個不同的正整數(shù)。a1、a2、an,令則n個不同的正整數(shù)la1、la2、lan中任意兩個的和顯然整除l2,從而整除它們的積lna1a2anA4022 求最大自然數(shù)x,使得對每一個自然數(shù)y,x能整除7y12y1【題說】1992年友誼杯國際數(shù)學競賽七年級題1【解】當y=1時,7y12y1=18假設7y12y1是18的倍數(shù),因為7y+112(y1)1=6×7y12(7y12
2、y-1)=6×(7y2)(7y12y-1)7y2120(mod 3)所以,7y+112(y1)1是18的倍數(shù)從而對一切自然數(shù)y,18整除7y12y1,所求的x即18 A4023 證明:若n為大于1的自然數(shù),則2n1不能被n整除【題說】1992年友誼杯國際數(shù)學競賽九年級題2【證】若n是偶數(shù),顯然有n (2n1)若n是奇素數(shù),由費馬定理知2n2(mod n),所以2n11(mod n),即n (2n1)若n是奇合數(shù),設p是n的最小素因子,由費馬定理知2p-11(mod P);若i是使2i1(mod P)成立的最小自然數(shù),則2iP1,從而i n,設n=qir,0ri,
3、則2n2r 1(mod p),即p (2n1),故n (2n1)A4024 當n為何正整數(shù)時,323整除20n16n3n1?【題說】第三屆(1993年)澳門數(shù)學奧林匹克第一輪題5【解】
4、0; 323=17×19當n為偶數(shù)時,20n16n3n113n3n10(mod 19)20n16n3n13n1n3n10(mod 17)所以此時323整除20n16n3n1當n為奇數(shù)時,20n16n3n13n13n2 0(mod 17),所以此時323不整除20n16n3n1A4025 設x、y、z都是整數(shù),滿足條件(xy)(yz)(zx)=xyz
5、 (*)試證:xyz可以被27整除【題說】第十九屆(1993年)全俄數(shù)學奧林匹克九年級二試題5【證】(1)整數(shù)x、y、z被3除后余數(shù)都相同時,27|(xy)(yz)(zx),即27|xyz(2) x、y、z被3除后有且僅有兩個余數(shù)相同,例如xy(mod 3),且y z(mod 3),這時3 xyz且3|(xy),與(*)式矛盾,可見情形(2)不會發(fā)生(3)x、y、z被3除后余數(shù)都不相同,這時3|(xyz),但3 (xy)(yz)(zx)仍與(*)式矛盾,可見情況(3)也不會發(fā)
6、生于是,x、y、z除以3余數(shù)都相同,并且,27|xyzA4026 對于自然數(shù)n,如果對于任何整數(shù)a,只要n|an1,就有n2|an1,則稱n具有性質P(1)求證每個素數(shù)n都具有性質P;(2)求證有無窮多個合數(shù)也都具有性質P【題說】第三十四屆(1993年)IMO預選題本題由印度提供【證】(1)設n=P為素數(shù)且p|(ap1),于是,(a,p)=1因為ap1=a(ap-11)(a1)由費馬小定理p|(ap-11)所以,p|(a1),即a1(mod p)因而ai1(mod p),i=0,1,2,p1將這p個同余式加起來即得ap-1ap-2a10(mod p)所以,p2|(a1)(ap-1a
7、p-2a1)=ap1a1(mod n)于是,像(1)一樣又可推得n2|(an1)因此,(q1)(p1)因為q|(p2),所以q (p1)又因具有性質P顯然pnp2取大于p2的素數(shù),又可獲得另一個具有性質P的合數(shù)所以,有無窮多個合數(shù)n具有性質pA4027 證明:對于自然數(shù)k、m和n不等式k,m·m,n·n,kk,m,n2成立(其中a,b,c,z表示數(shù)a、b、c,z的最小公倍數(shù))【題說】第二十屆(1994年)全俄數(shù)學奧林匹克十年級(決賽)題5【證】將k、m、n分解設其中pi(i=1,2,l)為不同的素數(shù),i、i、i為非負整數(shù)對任一個素因數(shù)pi,不妨設0iii在所要證明的不等式左邊,pi的指數(shù)為iii=i2i;而右邊pi的指數(shù)為i·2=2i因而所要證明的不等式成立A4029 證明;所有形如10017,100117,1001117,的整數(shù)皆可被53整除【題說】第五十八屆(1995年)莫斯科數(shù)學奧林匹克八年級題2【證】易知第一個數(shù)10017可被53整除,而數(shù)列中相鄰二數(shù)的差也可被53
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