教學(xué)設(shè)計《勾股定理》

1、課題： 17.1 勾股定理教學(xué)設(shè)計（第 1 課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1、教材地位作用這節(jié)課內(nèi)容為九年制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書， 人教版八年級第十七章 第一節(jié)勾股定理第一課時。 勾股定理是學(xué)生在學(xué)習(xí)了直角三角形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ) 上進(jìn)行本課學(xué)習(xí)， 它是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)， 是幾何中最重要的定 理之一，在實際生活中用途很大。通過課題的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以經(jīng)歷從實際問題觀察、發(fā)現(xiàn)、抽象出數(shù)學(xué)問題， 猜想并驗證直角三角形三條邊之間滿足的數(shù)量關(guān)系，到綜合應(yīng)用已學(xué)知識聯(lián)想、 證明的全過程，從而加深對相關(guān)知識的理解，提高思維能力。本節(jié)課學(xué)習(xí)過程中滲透了數(shù)形結(jié)合、 從特殊到一般和方程思想等重要數(shù)學(xué)思 想

2、，同時為勾股定理逆定理和后續(xù)解直角三角形的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)， 也為高中學(xué) 習(xí)的一般三角形中余弦定理和平面解析幾何的部分公式做鋪墊。2、教學(xué)重點勾股定理的學(xué)習(xí)是建立在掌握一般三角形的性質(zhì)、 直角三角形以及三角形全 等的基礎(chǔ)上 , 是直角三角形性質(zhì)的拓展。 本節(jié)課主要是對勾股定理的探索和勾股 定理的證明。 勾股定理的證明方法很多， 本節(jié)課介紹的是等積法 。通過本節(jié)課的 教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生從不同的角度發(fā)現(xiàn)問題、用多樣化策略解決問題，從而提高學(xué) 生分析、解決問題的能力?；谝陨峡紤]，本節(jié)課的教學(xué)重點為：探索、驗證、證明勾股定理過程八年級學(xué)生已初步具備幾何的觀察能力和說理能力， 也有了一定的空間想象 和動手操

3、作能力， 但是他們的推理能力較弱、 抽象思維能力不足。 而本節(jié)課先采 用的是等積法證明。 對于其他的證明方法， 由于需要合理的發(fā)散思維和聯(lián)想， 沒 有教師的啟發(fā)引領(lǐng)，學(xué)生不容易獨立想到。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析八年級學(xué)生對新事物充滿好奇，他們喜歡動手，勤于思考，樂于探究，已經(jīng) 具備了一定的探索新知的能力。 因此，結(jié)合學(xué)生的實際水平， 我制定如下教學(xué)目 標(biāo)：本節(jié)活動課應(yīng)當(dāng)恰當(dāng) 發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、 推理能力和模型思想的數(shù)學(xué)核心 觀念與數(shù)學(xué)能力，還要注重發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識。A. 知識技能目標(biāo)：經(jīng)歷勾股定理的探索過程，理解并掌握勾股定理；能嘗試從不同角度證明勾股定理。B. 數(shù)學(xué)思考目標(biāo)：讓學(xué)生切實經(jīng)歷“觀

4、察一猜想-驗證-證明”的探索過程； 發(fā)展合情推理能力，分析勾股定理的證明思路； 體會數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般，化歸和方程思想方法。C. 解決問題目標(biāo)：通過拼圖活動，體驗等積法和割補法的應(yīng)用； 在探索證明中，體驗解決問題方法的多樣性； 反思證明的方法和方向，學(xué)會從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。D. 情感態(tài)度目標(biāo)：在具體情境中，通過對科學(xué)家探究歷程的了解，感受 數(shù)學(xué)之美，探究之趣； 在數(shù)學(xué)活動中，通過動手拼圖，培養(yǎng)學(xué)生的交流、合作意識； 在數(shù)學(xué)活動中，了解史實，感受數(shù)學(xué)文化，突出介紹中國古代勾股方 面的成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和對數(shù)學(xué)的熱愛。三、教學(xué)問題診斷分析1、問題診斷對于勾股定理的得出， 首先

5、需要學(xué)生通過動手操作， 在觀察的基礎(chǔ)上， 大膽 猜想數(shù)學(xué)結(jié)論， 而這需要學(xué)生具備一定的分析、 歸納的思維方法和運用數(shù)學(xué)的思 想意識，但學(xué)生在這一方面的可預(yù)見性和耐挫折能力并不是很成熟， 從而形成困 難；勾股定理證明思路的形成，需要結(jié)合等式特征，充分聯(lián)想、結(jié)合已學(xué)知識， 并合情推理出恰當(dāng)?shù)淖C明思路， 從思維上跳出面積法證明的約束， 有利于學(xué)生 創(chuàng) 新意識的培養(yǎng)， 對學(xué)生的綜合能力要求較高， 學(xué)生還較難形成用多樣化的策略思 考問題的習(xí)慣。2、教學(xué)難點用拼圖的方式利用等積法證明勾股定理， 并結(jié)合方程思想嘗試從不同角度理 解、證明勾股定理。四、教學(xué)支持條件分析1、學(xué)情分析八年級學(xué)生已初步具有 幾何圖形

6、的觀察， 幾何證明的理論思維能力 。希望老 師預(yù)設(shè)便于他們進(jìn)行觀察的幾何環(huán)境， 給他們 發(fā)表自己見解 和表現(xiàn)自己才華的機 會，希望老師滿足他們的創(chuàng)造愿望， 讓他們實際操作， 使他們獲得施展自己創(chuàng)造 才能的機會。因此，本節(jié)課首先通過設(shè)置學(xué)生活動、學(xué)生討論來支持教學(xué)。2、教學(xué)策略與教法、學(xué)法【教法選擇】數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維 , 發(fā)展人的思維的重要學(xué)科 , 因此, 在教學(xué)中 , 要展 現(xiàn)獲取知識和方法的思維過程 , 針對八年級學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和心理特征， 本節(jié)課 2采取引導(dǎo)探索法，由淺入深，由特殊到一般地提出問題。以導(dǎo)為主，采用設(shè)疑的 形式，讓學(xué)生通過觀察、分析、討論、操作、歸納，理解定理，提高學(xué)生

7、動手操 作能力，以及分析問題和解決問題的能力。學(xué)生得到獲得新知的成功感受，從而激發(fā)學(xué)生鉆研新知。這種教學(xué)理念緊隨新課改理念， 也反映了時代精神?；?的教學(xué)程序包含“提出問題-實驗操作-歸納驗證-解決問題-課堂小結(jié)-布置作業(yè)” 六個環(huán)節(jié)?！緦W(xué)法指導(dǎo)】我們常說：“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學(xué)習(xí)方法的人”，因 而在教學(xué)中要特別重視學(xué)法的指導(dǎo)，我采用了如下的學(xué)法指導(dǎo)：新課標(biāo)明確提出要培養(yǎng)“可持續(xù)發(fā)展的學(xué)生”，因此本節(jié)課在教師的組織引 導(dǎo)下，采用自主探索、合作交流的研討式學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生思考問題，獲取知識， 掌握方法，借此培養(yǎng)學(xué)生動手、動腦、動口的能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體?！窘虒W(xué)輔助

8、手段】為了擴大課堂容量節(jié)省時間提高課堂效率，擬采用多媒體和幾何畫板工具輔助教學(xué)。具體教具為：多媒體PPT課件，幾何畫板工具，三角板，彩色粉筆，直角三角形紙板模具，每位學(xué)生制作四個全等的直角三角形。五、教學(xué)過程設(shè)計根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)心理，本節(jié)課分六個活動進(jìn)行學(xué)習(xí)，具體時間分 配如下；1、觀察生活，情境引入（3分鐘）-2、回眸歷史，探究體驗（7分鐘）-3、動手實踐，展示交流（10分鐘）-4、深入思考，合情推理（10分鐘）-5、文化育人，情感教育（10分鐘）-6、溫故反思，思維升華（5分鐘）問題與情景師生行為設(shè)計意圖活每個人身上都隱藏著“勾股”模型，首先，師生從生活情動一起展示“彎曲呈直角”的

9、手臂，這就是源自中國古境和歷史-一一文的“勾股”。入手，抽情把它想象成封閉圖形是什么？就是勾股定理得象出數(shù)學(xué)境研究對象“直角三角形”。問題，引顯示圖片：在我國古代，把直角三角形的短直角激發(fā)學(xué)習(xí)入邊稱為“勾”，長直角邊稱為“股”；在中國現(xiàn)代，華 羅庚先生曾提議將勾股定理的典型圖一一弦圖送上 太空，作為和外星人溝通的工具，勾股定理也被稱作“幾何學(xué)的基石”。在本次活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注：學(xué)生對勾股定理的歷史和勾股定理內(nèi)容是否感興 趣。興趣?；仨鴼v史探 究 體 驗古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家畢達(dá)哥 拉斯，他在一次朋友家做客吃飯時，發(fā)現(xiàn)朋友家地磚 中的圖形刻畫出了某種數(shù)學(xué)規(guī)律（顯示圖片）問題1:

10、請同學(xué)們一起來觀察圖中的地面，正方 形地磚被對角線分割成什么三角形？學(xué)生活動：觀察、聽取老師講述的故事，從中發(fā) 現(xiàn)圖片中每個正方形地磚被分割成四個等腰直角三 角形。問題2：觀察以其三邊分別畫出的正方形，有什 么性質(zhì)？學(xué)生活動：與同伴合作探討，圖中不難直觀發(fā)現(xiàn) 下面的現(xiàn)象：Si = Si ， Sii =S+Si，即以等腰直角三 角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以 斜邊為邊長的正方形的面積。問題3：可能有同學(xué)覺得畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個結(jié) 論并不困難，那我們再想想，接著可以研究圖中的什 么關(guān)系？為什么？生：可以研究正方形邊長之間的關(guān)系， 因為正方 形的面積公式與邊長有關(guān)。問：請大家思考由這三

11、個正方形的邊長構(gòu)成的等 腰直角三角形，它的三邊有什么關(guān)系？生：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方但有學(xué)生提出不同看法，能不能猜想直角邊平方 的兩倍等于斜邊的平方？ 老師問：從圖中我們發(fā)現(xiàn)，等腰直角三角形的三邊之 間可能具有一種特殊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角 邊的平方和；但如果根據(jù)這個例子來分析，關(guān)系并不 唯一？問題4：這是由什么原因造成的呢？如果你是畢 達(dá)哥拉斯，你這時會接著研究什么呢？學(xué)生討論：等腰直角三角形是特殊的三角形， 我 會研究一般的直角三角形是否也有同樣的特點？教師顯示網(wǎng)格圖片，設(shè)定每個小方格的邊長均為1，（1）分別計算圖中正方形 A,B,C的面積；（2）正方形A,B,C的面積之間有

12、什么關(guān)系？ （3）以上結(jié)論與直角三角形又有什么關(guān)系？與同伴交流。學(xué)生：分小組討論，并踴躍發(fā)表自己的看法。鼓勵學(xué) 生勇于面 對數(shù)學(xué)活 動中的困 難，嘗試 從不同角 度尋求解 決問題的 有效方 法，并通 過對方法 的反思， 獲得解決 問題的經(jīng) 驗。通過 探究活 動，調(diào)動 學(xué)生的積 極性，激 發(fā)學(xué)生探 求新知的 欲望。給 學(xué)生充分 的時間與 空間討 論、交流， 鼓勵學(xué)生老師參與小組活動，指導(dǎo)、傾聽學(xué)生交流。針對不同認(rèn)識水平的學(xué)生，引導(dǎo)其用不同的方法（割補法） 得出大正方形C的面積，并進(jìn)一步地猜想直角三角形 的三邊關(guān)系。問題5：以上兩個例子中的三角形是否能代表一 般情形？生1不能。因為第一個例子是通過

13、研究特殊的 等腰直角三角形得到的結(jié)論，第二個例子背景在網(wǎng)格 中，三角形邊長是整數(shù)。生2:我有補充說明。我認(rèn)為第二個例子中三角 形邊長不一定是是整數(shù)，因為一個單位長度可以代表 任意實數(shù)，這個例子只能代表三邊比例固定的的情 形。師：因此，這不是最一般的三角形，還需要我們 繼續(xù)進(jìn)行研究。在本活動中，老師應(yīng)重點關(guān)注：（1）給學(xué)生留出足夠的時間思考和交流，鼓勵學(xué) 生大膽說出自己的看法。（2）學(xué)生能否準(zhǔn)確挖掘出圖形的隱含條件，計算 各個正方形的面積。（3）學(xué)生能否用不同的方法得到大正方形的面積， 引導(dǎo)學(xué)生注意分割方法。（4）學(xué)生能否將三個正方形面積轉(zhuǎn)化為直角三角 形三邊之間的關(guān)系，并用自己的語言敘述出來。

14、（5）學(xué)生能否主動參與探究活動，在討論中發(fā)表 自己的見解，傾聽他人的意見，對不同的觀點進(jìn)行質(zhì) 疑，從中獲益。敢于發(fā)表 自己的見 解，感受 合作的重 要性?；顒尤齽邮謱嵺`，展示交流大家經(jīng)歷了勾股定理的發(fā)現(xiàn)歷程，思考一下 是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就 需要對一個一般的直角三角形進(jìn)行證明。 下面請大家 一起動手體會一下：請同學(xué)們與同桌合作，運用準(zhǔn)備好的4個全等的 直角三角形拼成一個大的正方形（中間可以有空白）； 你能拼出幾種不同的情形？學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上以小組為單位， 動手拼 接。教師深入小組參與活動，關(guān)注學(xué)生能否進(jìn)行合理 拼接，傾聽學(xué)生的交流，對不同層次學(xué)生給予幫助、利用拼 圖

15、驗證勾 股定理是 一種開放 性探究活 動，起點 低，學(xué)生 易于下 手，每個 學(xué)生都有 解決問題 的機會，指導(dǎo)學(xué)生完成拼圖活動。教師盡量不干擾學(xué)生獨立思 考與交流。對分工合作不合理的小組給出恰當(dāng)引導(dǎo)性 建議。學(xué)生在教師協(xié)助下將拼接的結(jié)果展示在黑板上：b a問題1:對于拼出的這兩個圖形，我們研究圖形 哪方面的性質(zhì)？學(xué)生：研究與面積有關(guān)的性質(zhì)師：具體如何研究呢？生：以拼圖2為例，大正方形的面積有兩種表示 方式，我們將其寫成等式，即2 1 2s正方形二嚴(yán)c.a2 2ab b2 二 2ab c2.a2 b2 c2問題2:請將推導(dǎo)出的結(jié)果，分別用文字語言和 符號語言描述。生1:文字語言為直角三角形兩直角邊

16、的平方和 等于斜邊的平方生2:符號語言為在Rt ABC中，.C = 90， 兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那么a2 b2 c2這個結(jié)論就是勾股定理思路點撥：實際上，以斜邊為邊長的正方形的 面積等于某個大正方形的面積減去4個直角三角形的面積。以斜邊為邊長的正方形的面積等于 4個直 角三角形的面積加上某個小正方形的面積。注意到三個正方形是分別“生長”在直角三角形 的三邊上，發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在聯(lián)系： 設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，體驗成功 的喜悅， 激發(fā)學(xué)生 探索創(chuàng)新 意識。使 “不同的 學(xué)生在數(shù) 學(xué)上得到 不同的發(fā) 展”。以兩個 拼圖游戲 為探究素 材，幫助

17、學(xué)生對勾 股定理證 明的掌 握，培養(yǎng) 學(xué)生的數(shù) 形結(jié)合思 想。為學(xué) 生提供從 事數(shù)學(xué)活 動的機 會，建立 初步的空 間觀念， 發(fā)展形象 思維。可用三角形的三邊長表示三個正方形的面積。 于是猜想：如果直角三角形的兩直角邊長分別為 a,b，斜邊長為c，那么a2 b2二c2命題1)即勾股定理。順勢指出什么是定理引導(dǎo)學(xué)生，將正方形的面積與三角形的邊長聯(lián)系 起來。通過分析，歸納，發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的關(guān)系 在本次活動中，老師應(yīng)重點關(guān)注：1）學(xué)生對拼圖活動是否感興趣。2）學(xué)生能否進(jìn)行合理的分析拼圖，對不同層次 的學(xué)生有針對性地給予分析、幫助。3）學(xué)生能否用自己的語言發(fā)表自己的觀點，總 結(jié)得到的結(jié)論?；钏伎?

18、：在推導(dǎo)過程中，用了什么數(shù)學(xué)方法？用鼓勵學(xué)生動了哪些數(shù)學(xué)思想？分別體現(xiàn)在哪里？自己主動四生：用了等積法和割補法；數(shù)形結(jié)合的思想，體 現(xiàn)在將圖形的面積關(guān)系用式子表達(dá)出來尋找用數(shù)深生2:還用了方程思想，體現(xiàn)在將面積用兩種方學(xué)知識和入法表示，形成了方程。數(shù)學(xué)思想思教師補充：還用了從特殊到一般的思想，從特殊方法解決考的等腰直角三角形的三邊關(guān)系探究出了一般三角形 的三邊關(guān)系。問題的機合思考2：在證明之后我們回頭想一想，剛才其會，并努情實是被老師“忽悠”去拼的正方形，那么，為什么證力去完推明勾股定理需要構(gòu)造正方形？成。理生1:因為公式中的c2，可以聯(lián)想到以c為邊長的正方形面積公式。一一這是一個從“數(shù)”聯(lián)想

19、到“形”給學(xué)生留的過程。有繼續(xù)學(xué)師：能不能從公式中的a2+b2結(jié)構(gòu)來進(jìn)行聯(lián)想習(xí)的空間呢？生2：聯(lián)想到完全平方公式；或者以 a和b為邊 長的正方形面積之和。師：此時展示幾何畫板，體現(xiàn)兩個“弦圖”如何 變形為面積為a +b的圖形，看成兩個正方形拼接的 結(jié)果。師：那么，方程a2+b2=c2的兩倍各有幾何的直觀 將方程移項處理，則c2- b2能否作為一種證明思路呢？ 它可以想到平方差？同學(xué)們可以回去思考一下。總結(jié)：本質(zhì)上說，（1）幾種思路都用到了方程來 建立幾何模型；（2）都通過數(shù)形結(jié)合思想來體現(xiàn)“數(shù)” 和“形”的互化；思考3： 一定要用正方形來證明嗎？生：可以將弦圖截成一半，即梯形，同樣用等積 法證

20、明。師：這就是總統(tǒng)證法，你和美國總統(tǒng)加菲爾德有 同樣敏銳的眼光！其實，迄今為止，已經(jīng)有 400多種和興趣。證法，大多數(shù)是通過面積來證明的，我們這節(jié)課只是 拋磚引玉。希望同學(xué)學(xué)了新的知識之后，能嘗試其他 的方法。在本次活動中，老師應(yīng)重點關(guān)注：1）學(xué)生是否懂得思考“為什么這么做”。2）學(xué)生能否將公式中的代數(shù)式做充分、恰當(dāng)?shù)?聯(lián)想和聯(lián)系。3）對不同層次的學(xué)生有針對性地給予分析、幫 助。4）學(xué)生能否用自己的語言發(fā)表自己的觀點。問題與情景師生行為設(shè)計意圖:活動5 文化育人，情感教育師：課前，學(xué)生已經(jīng)通過書本、網(wǎng)絡(luò)等渠道了解了一 些勾股定理得歷史和文化，請他們來說一說： 生1:公元前30世紀(jì)的古巴比倫的一

21、塊泥石板，記 錄了一些勾股數(shù)；公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了 這個定理，他的學(xué)派殺了一百只牛慶祝，勾股定理也 叫做“百牛定理”。師：事實上，西方至今仍將“勾股定理”稱為“畢達(dá) 哥拉斯定理”。有同學(xué)知道是什么原因嗎？請同學(xué)說 說我國與勾股定理有關(guān)的歷史。生2:公元前11世紀(jì)，西周的商高提出“勾廣三， 股修四，徑隅五”，是世界上有記載的最早的勾股出 處，是我們值得自豪的榮耀一筆。師：是的，但是，當(dāng)時的商高并沒有提出勾股定理的 證法，相當(dāng)于只提出了滿足勾股定理的一個特例。因此這正是被西方所詬病的地方。生3:三國時期，趙爽在周髀算經(jīng)中給出了趙爽 弦圖，作為勾股定理的注解和證明。生4:公元前4世紀(jì)，歐幾

22、里得在幾何原本中提 出了一個很有代表性的歐幾里得證法。師：這個證法非常的經(jīng)典，除此之外，還有比如達(dá)芬 奇證法等經(jīng)典證法，勾股定理的證明方法，迄今已經(jīng) 有四百多種。同學(xué)們說了古時候國內(nèi)外的勾股定理方方面面， 再說說現(xiàn)代吧。生5： 2002年，在北京舉辦的國際數(shù)學(xué)家大會上，趙 爽弦圖作為大會的會徽。師：這也充分說明了勾股定理的地位， 我國相當(dāng)于用 趙爽弦圖來代表我國國家的數(shù)學(xué)形象。師總結(jié)：我們學(xué)習(xí)一個知識，一定要知道它“從哪里 來”，也就是它發(fā)現(xiàn)和研究的歷史，也要知道它“到 哪里去”，也就是它如何應(yīng)用，這是接下來的課程的 內(nèi)容。讓學(xué)生感 受古代我 國數(shù)學(xué)文 化的燦爛 輝煌，增 添學(xué)生的 民族自豪 感，培養(yǎng) 其愛國情 懷，從而 達(dá)到情感 態(tài)度與價 值觀目 標(biāo)，從中 得到深層 次的發(fā) 展。設(shè)計意圖：1、課件中用形象的時間軸同時呈現(xiàn)了勾股定理 在中西方產(chǎn)生的背景和發(fā)展史。 在教師的引導(dǎo)下，學(xué) 生的回答將相關(guān)的歷史事件重新整合， 在這個過程中 教師和學(xué)生共同感受數(shù)學(xué)中的人文精神。2、中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)總體框架中談到， “文化是人存在的根和魂”，文化基礎(chǔ)包括“人文底蘊”、“科學(xué)精神”，本部分內(nèi)容承載著這兩個要素， 勾股定理體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的核心思想，是幾何學(xué)的基 石文化育人環(huán)節(jié)通過讓學(xué)生自主查閱資料拓展視 野，了解數(shù)學(xué)史，