1035反函數(shù)(一)

1、課 題：3.5 反函數(shù)（一）教學(xué)目的：掌握反函數(shù)的概念和表示法，會求一個函數(shù)的反函數(shù)教學(xué)重點：反函數(shù)的定義和求法教學(xué)難點：反函數(shù)的定義和求法授課類型：新授課課時安排：1課時教材分析：反函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個很重要的概念，它是我們以后進一步研究具體函數(shù)類即五大類基本初等函數(shù)的一個不可缺少的重要組成部分本節(jié)是一節(jié)概念課，關(guān)鍵在于反函數(shù)概念的建立反函數(shù)是函數(shù)中的一個特殊現(xiàn)象，對反函數(shù)概念的討論研究是對函數(shù)概念和函數(shù)性質(zhì)在認識上的進一步深化和提高反函數(shù)概念的建立，關(guān)鍵在于讓學(xué)生能從兩個函數(shù)關(guān)系的角度去認識它，從而深化對函數(shù)概念的認識本節(jié)是反函數(shù)的第一節(jié)課圍繞如何理解反函數(shù)概念這個重難點展開教學(xué)過程：一、復(fù)

2、習(xí)引入：我們知道，物體作勻速直線運動的位移s是時間t的函數(shù)，即s=vt,其中速度v是常量,定義域t 0,值域s 0；反過來，也可以由位移s和速度v（常量）確定物體作勻速直線運動的時間，即，這時，位移s是自變量，時間t是位移s的函數(shù),定義域s 0,值域t 0.又如，在函數(shù)中，x是自變量，y是x的函數(shù)，定義域xR，值域yR. 我們從函數(shù)中解出x，就可以得到式子. 這樣，對于y在R中任何一個值，通過式子，x在R中都有唯一的值和它對應(yīng). 因此，它也確定了一個函數(shù)：y為自變量，x為y的函數(shù)，定義域是yR，值域是xR.綜合上述，我們由函數(shù)s=vt得出了函數(shù)；由函數(shù)得出了函數(shù)，不難看出，這兩對函數(shù)中，每一對

3、中兩函數(shù)之間都存在著必然的聯(lián)系：它們的對應(yīng)法則是互逆的；它們的定義域和值域相反：即前者的值域是后者的定義域，而前者的定義域是后者的值域. 我們稱這樣的每一對函數(shù)是互為反函數(shù).二、講解新課：反函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=(y). 若對于y在C中的任何一個值，通過x=(y)，x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=(y) (yC)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作,習(xí)慣上改寫成開始的兩個例子：s=vt記為，則它的反函數(shù)就可以寫為，同樣記為，則它的反函數(shù)為：.探討1：所有函數(shù)都有反函數(shù)嗎？為什

4、么？反函數(shù)也是函數(shù)，因為它符合函數(shù)的定義，從反函數(shù)的定義可知，對于任意一個函數(shù)來說，不一定有反函數(shù)，如,只有“一一映射”確定的函數(shù)才有反函數(shù)，,有反函數(shù)是探討2：互為反函數(shù)定義域、值域的關(guān)系從映射的定義可知，函數(shù)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)的定義域正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域正好是它的反函數(shù)的定義域（如下表）：函數(shù)反函數(shù)定義域AC值 域CA探討3：的反函數(shù)是？若函數(shù)有反函數(shù)，那么函數(shù)的反函數(shù)就是，這就是說，函數(shù)與互為反函數(shù)三、講解例題：例1求下列函數(shù)的反函數(shù)：； ； .解：由解得函數(shù)的反函數(shù)是，由解得x=,函數(shù)的反函數(shù)是由y=+1解得x=, x

5、0，y1. 函數(shù)的反函數(shù)是x= (x1);由解得 xcxR|x1，yyR|y2函數(shù)的反函數(shù)是小結(jié)：求反函數(shù)的一般步驟分三步，一解、二換、三注明反函數(shù)的定義域由原來函數(shù)的值域得到，而不能由反函數(shù)的解析式得到求反函數(shù)前先判斷一下決定這個函數(shù)是否有反函數(shù)，即判斷映射是否是一一映射例2求函數(shù)（）的反函數(shù)，并畫出原來的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖像解：由解得函數(shù)的反函數(shù)是，它們的圖像為：例3求函數(shù) （-1<x<0）的反函數(shù)解： -1<x<0 0<<1 0<1 -< 1 0 << 1 0 < y <1由： 解得： ( -1< x < 0 )(-1<x < 0)的反函數(shù)是：(0<x<1 )例4 已知= -2x(x2),求.解法1：令y=-2x，解此關(guān)于x的方程得，x2，即x=1+-, x2，由式知1，y0-,由得=1+（x0，xR）；解法2：令y=-2x=-1，=1+y，x2，x-11，x-1=-,即x=1+, x2，由式知1，y0,函數(shù)= -2x(x2)的反函數(shù)是=1+（x0）；說明：二次函數(shù)在指定區(qū)間上的反函數(shù)可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但開方時必須注意原來函數(shù)的定義域.四、課堂練習(xí)：已知函數(shù)，求它的反函數(shù) （1） （xR） （2） (xR