1336函數(shù)應用舉例(一)

1、課 題：3.6函數(shù)應用舉例1教學目的： 1了解數(shù)學建模，會根據(jù)實際問題確定函數(shù)模型；2掌握根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式；3.培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識. 教學重點：根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式教學難點：數(shù)學建模意識.授課類型：新授課課時安排：1課時教學過程： 一、復習引入：1數(shù)學是預測的重要工具，而預測是管理和決策的依據(jù)，就像汽車的明亮的前燈一樣，良好的預測展示的前景有助于決策者根據(jù)這些條件來采取行動在我們考察不同的預測方法之前，必須指出：預測既是一門科學，也是一門藝術(shù)科學預測的力量在于：經(jīng)過長期的實踐，職業(yè)的預測者勝過那些沒有受過專業(yè)訓練的、非系統(tǒng)的、或使用非科學方法例如根據(jù)月亮的盈虧來預測的人我國

2、數(shù)學工作者在對天氣、臺風、地震、病蟲害、海浪等的研究方面進行過大量的統(tǒng)計，對數(shù)據(jù)進行處理，擬合出一些直線或曲線，用于進行預測和控制例如，中科院系統(tǒng)對我國糧食產(chǎn)量的預測. 連續(xù)11年與實際產(chǎn)量的平均誤差只有1二、新授內(nèi)容：數(shù)學模型與數(shù)學建模數(shù)學模型就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學描述.數(shù)學模型方法，是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數(shù)學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數(shù)學方法.三、講解范例：例1 用長為m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長為2x，求此框架的面積y與x的函數(shù)式，并寫出它的定義域

3、.分析：所求框架面積由矩形和半圓組成，數(shù)量關(guān)系較為明確，而且題中已設(shè)出變量，所以屬于函數(shù)關(guān)系的簡單應用. 解：如圖，設(shè)AB=2x，則CD弧長=x,于是AD=因此y=2x·,即y=-再由解之得0x即函數(shù)式是y=-·+mx定義域是：（0，）小結(jié)：（1）數(shù)學應用題的能力要求閱讀理解能力；抽象概括能力；數(shù)學語言的運用能力；分析、解決數(shù)學問題的能力；（2）解答應用題的基本步驟合理、恰當假設(shè)；抽象概括數(shù)量關(guān)系，并能用數(shù)學語言表示；分析、解決數(shù)學問題；數(shù)學問題的解向?qū)嶋H問題的還原.例2 如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是O的直徑，上底C

4、D的端點在圓周上，寫出這個梯形周長y和腰長x間的函數(shù)式，并求出它的定義域.分析：要用腰長表示周長的關(guān)系式，應該知道等腰梯形各邊的長，下底長已知為2R，兩腰長為2x,因此，只須用已知量（半徑R）和腰長x把上底表示出來，即可寫出周長y與腰長x的函數(shù)式.解：如圖所示，AB=2R，C、D在O的半圓周上,設(shè)腰長AD=BC=x，作DEAB，垂足為E，連結(jié)BD，那么ADB是直角，由此RtADERtABD.AD2=AE·AB，即AE=CD=AB-2AE=2R-所以，y=2R+2x+(2R-),即y=-+2x+4R.再由,周長y與腰長x的函數(shù)式為：y=-(+2x+4R),定義域為：（0，R）評述：例4

5、是實際應用問題.解題過程是從問題出發(fā)，引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實際意義做出回答，這個過程實際上就是建立數(shù)學模型的一種最簡單的情形.四、練習：1.將一個底面圓的直徑為d的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱，若這個長方形截面的一條邊長為x,對角線長為d,截面的面積為A,求面積A以x為自變量的函數(shù)式,并寫出它的定義域.解：如圖，截面的一條邊為x，對角線AC=d,另一條邊BC=,所以S=x,定義域為：x|0xd2.如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式，并討論這個函數(shù)的定義域

6、.解：底面邊長為a-2x,底面積為(a-2x)又長方體高為x,長方體體積V=x(a-2x)由a-2x0,得x又x0,函數(shù)定義域為x|0x五、小結(jié)通過本節(jié)學習，大家應對數(shù)學建模有所了解，并能根據(jù)已知條件建立函數(shù)關(guān)系式，逐步掌握解決實際問題的能力.六、課后作業(yè)：1.建筑一個容積為8000 m3，深為6 m的長方體蓄水池，池壁的造價為a元/m2,池底的造價為2a元/m2,把總造價y(元)表示為底的一邊長為x(m)的函數(shù).解：設(shè)底面的另一邊長為z(m)，則根據(jù)題意有6xz=8000,z=池壁造價為a·(2x+2z)·6=12a(x+)池底造價為2a·a所以，總造價：y=12a(x+)+a(元) 2.如圖，灌溉渠的橫截面是等腰梯形，底寬2 m，邊坡的傾角為45°，水深h m，求橫斷面