精品資料（2021-2022年收藏）江西省公務(wù)員考試備考：排列組合精講

1、2011年江西省公務(wù)員考試備考：排列組合精講排 列 組 合 原 理 思維方法的衍生法或派生法我們在高中數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)了排列組合的基礎(chǔ)知識了，因此大家對“排列組合”這概念應(yīng)該不會是陌生的。宇宙中的萬事萬物嚴(yán)格地說就是元素、分子、細(xì)胞等基本單元排列組合的結(jié)果，如所有分子都是由原子排列組合而成的，復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)也是由簡單的化學(xué)反應(yīng)排列組合而成的；所有生物都是由不同的細(xì)胞排列組合而成的，可見排列組合知識是多么的重要 !為此下面就簡單介紹一下高中代數(shù)中所講到的排列組合的一些基礎(chǔ)知識 元   素 通常人們把被取的對象 (不管它是什么)叫做元素。 如若我們研究對象為數(shù)字 (如1、2、3、4、5等)那

2、么，這些數(shù)字也叫做元素；若我們研究的對象為地名(如：北京、上海、廣州、南京等)，那么這些地名也一樣可叫做元素；若我們研究的對象為字母(如：a、b、c、d等)，那么這些字母也可叫做元素；若我們研究的對象為分子(如：Cl、Br2、H2、HCl等)，那么這些分子也一樣可叫做元素；若我們研究的對象為一個人(如：張三、李四、王五等)，那么這些人也可叫做元素 排   列 那么，一般地說，從 n個不同元素中，任取m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，這就叫做從幾個不同元素中取m個元素的一個排列。 例如：已知 a、b、c、d這四個元素，寫出每次取出3個元素的所有排列。 對于初學(xué)者可以先畫下圖來算

3、出： 看上圖 V所指的字母及第二排字母三個排成一列即可得到下列排列(這就是a、b、c、d這四個元素中每次取3個元素所得的所有排列)： 有共 24個排列，這個數(shù)值24是可以根據(jù)乘法原理算出來的。數(shù)學(xué)中的乘法原理為：做一件事，完成它需要分成幾個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm2×m1×m3××mn種不同的方法。據(jù)此從a、b、c、d這四個元素中每次取出三個排成三位數(shù)的方法共有N××種。 數(shù)學(xué)中有一個排列數(shù)公式： 從 n個不同元素中取出m(m - n)個元素的所有

4、排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)。用符號Pnm表示，(P是“排列”一詞的英文Permatation的第一個字母)，在數(shù)學(xué)課本中根據(jù)乘法原理可推出排列數(shù)的公式為：     Pmnn(n）(n）(nm） 公式中的 n,mN,且m n 例如：從 8個元素中每次取3個元素出來排列，所得的排列數(shù)則為 38×（）（）×× (種) 例如：從 8個元素中每次取5個元素出來排列所得的排列數(shù)為 58×（）×（）×（）×（）×××× 例如：從 8個元素中每次

5、取2個元素出來排列，所得的排列數(shù)為 28×（）× 例如：從 8個元素中每次取4個元素出來排列，所得的排列數(shù)為P48×（）×（）×（） ××× 在排列數(shù)公式中，當(dāng) mn時，有： nnn（n）（n）×× 這表明， n個不同元素全部取出來排列的排列數(shù)等于自然數(shù)1到n的連乘積。n個不同元素，全部取出的一個排列叫做n個不同元素的一個全排列。自然數(shù)1到n的連乘積叫做n的階乘，用n!表示，所以n個不同元素的全排列數(shù)公式則為： nnn! 前面所講的排列數(shù)公式可作如下變形： mnn（n）（n）（nm） 因此排列數(shù)

6、公式還可寫成下列形式： (注意：為了使這個公式在mn時也成立，我們規(guī)定0!1，這時nnn!)例如，從8個元素中全部取出來的排列數(shù)則為：8的階乘。 P88××××××× 從上述幾個例子的分析可見，從 8個元素中分別取2、3、4、5、6、7、8個出來排到所得的排列數(shù)的總和高達(dá)數(shù)萬。要是我們將幾個思維法進(jìn)行排列，也會得出許許多多不同思維順序的新思維法；要是我們思考問題時使用幾種思維法去思維，若這幾種思維法的使用先后順序不同，也會產(chǎn)生許許多多不同的思維效果。可見，排列是一種很重要的方法。組   合 一般地說，從 n個不同元

7、素中，任取m(m n)個元素出來拼成一組，就叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。 從 n個不同元素中取出m(m n)個元素的所有組合的個數(shù)，就叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cmn表示，C是“組合”的英文Combination的第一個字母。 例如，前面講到的從 a、b、c、d這四個元素中取3個元素出來的排列與組合的關(guān)系如下：組合數(shù)           排列數(shù) 由上分析可以看出，對于每一個組合都有 6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取3個元素出來排列的排列數(shù)為P34，可接下列兩

8、步來考慮。 第一步：從 4個不同元素中取出3個元素作組合，共有C34個組合； 第二步：對每一個組合中的 3個不同元素作全排列，各有P336個排列。 這樣，再根據(jù)乘法原理即得： P3434×33； 而從上式得： 將上述公式變成通式： 一般地說，求從 n個不同元素中取出m個元素排列的排列數(shù)為Pmn，可按下列兩步來考慮： 第一步：先求出從這 n個不同的元素中取出m個元素的組合數(shù)為Cmn； 第二步：求每一個組合中 m個不同元素的全排列數(shù)Pmm。根據(jù)乘法原理則得到： Pmnmn×mm 因此而得： 即 注意：這里的 n,mN，且m n，這個公式就叫做組合數(shù)公式。又因為所以上述組合數(shù)公式

9、還可以寫成： 例如：從 8個元素中每次取3個元素出來組合所得的組合數(shù)為：例如：從 4個元素中每次取3個元素出來組合所得的組合數(shù)為： 例如：從 8個不同元素中每次取5個元素出來組合所得的組合數(shù)為： 顯見，這個組合數(shù)與前面從 8個不同元素中每取3個元素出來組合所得的組合數(shù)是相等的，即C5838，同理C1434、C62C46、C52C35、 因此有公式： CnmCn-mn(這為組合數(shù)的性質(zhì)定理1) (注意：為了使這個公式在nm時也成立，我們規(guī)定C0n) 這是組合數(shù)的其中一個性質(zhì)，此外，組合數(shù)還有另一個性質(zhì)為： CmnCmnCm-1n(這為組合數(shù)的性質(zhì)定理2)。 例如：計算 C98100和C320C2

10、20 解：由組合數(shù)的性質(zhì)定理 1可得：而由組合數(shù)的性質(zhì)定理 2可得：下面我們就詳細(xì)算一算從 5個不同元素中每次分別取1、2、3、4、5種元素出來組合所得的組合數(shù)： 這 5個不同元素進(jìn)行不同的組合所得的組合數(shù)共為5我們從5種不同元素中每次分別取出1、2、3、4、5種元素出來排列所得的排列數(shù)分別為：P15 P25×P35××P45××× P55×××× 這樣從 5種不同元素中每次每1、2、3、4、5種元素出來排列所得的排列總數(shù)為：5。 從上分析可見， 5種不同元素進(jìn)行不同形式的組合的組合數(shù)為31，排

11、列數(shù)為325。若是從更多的元素中進(jìn)行不同形式的組合和排列，其組合數(shù)和排列數(shù)都將非常之巨大。要是我們將排列組合方法真正運用到學(xué)習(xí)、科學(xué)研究和創(chuàng)造發(fā)明活動中去，其效果之巨大必定會使人難以想象。 我們在數(shù)學(xué)中從學(xué)過的二元坐標(biāo)中可知，坐標(biāo)平面上的任何一個點都是由 x軸和y軸上的一個點共同組合成的；而在三元坐標(biāo)中，坐標(biāo)的立體空間中的任何一個點都是由x、y、z軸上的一個點共同組合成的；同理，在四元坐標(biāo)，五元坐標(biāo)及多元坐標(biāo)的空間中任何一個點都分別是由4個、5個及多個點共同組合成的。可見二元和三元坐標(biāo)上不過是組合法中的一個范例。前段時間我瀏覽了一下中國思維魔王一書，這本書實為發(fā)明“思維魔球”的發(fā)明人許國泰的傳

12、記，因為許國泰發(fā)明了“思維魔球”而名躁一時。其實，細(xì)心的讀者，一定會發(fā)現(xiàn)，許先生的“思維魔球”也就是我剛才講的多元坐標(biāo)(即多個點共同組合成一個點)的一個應(yīng)用范例；還有在我國策劃界小有名氣的陳放先生著的創(chuàng)意的革命和智能原子彈等書中講的什么拉線相干法等一大堆創(chuàng)意法等等沒一種不是排列組合法的翻板或變形或延伸。在此我要提醒廣大讀者，雖然目前新方法不斷涌現(xiàn)，層出不窮，有的大都是名稱非常玄的，甚至有令人耳目一新的感覺，但細(xì)細(xì)想來都不外是排列組合法的縮影或直接翻板或變形或延伸。認(rèn)真細(xì)想起來，這些方法實質(zhì)上根本沒有一點新意，也沒有一點創(chuàng)意。有的只不過是外表的翻新而已，實為一種換湯不換藥的做法。而在這個重視包裝

13、的年代里，舊方法被人拿來重新包裝，然后隆重推出去，引起一片掌聲也是常有的事。當(dāng)然這對人們重新認(rèn)識一種舊方法也是很有好處的，若舊方法不被人重新包裝，就往往會被人們遺忘了，從而慢慢地被消失在人們的腦海中。從這一角度說，舊方法被重新包裝也是件好事。 在宇宙中，任何事物都可以看成是一種元素，大至銀河系等星系、星球，小至原子和分子等都可以看成是一種種元素。這樣能供我們進(jìn)行各種各樣排列組合的元素就多了，多至無窮無盡，這樣我們將宇宙中萬事萬物進(jìn)行各種各樣不同層次或跨層次的排列組合，產(chǎn)生的組合數(shù)或排列數(shù)就多得數(shù)不勝數(shù)，以到無窮無盡，而在這無窮無盡的排列組合中就必定會產(chǎn)生一些新發(fā)現(xiàn)、新發(fā)明、新創(chuàng)造，提出一些新假

14、說、新原理、新理論等等。如錄音機與收音機組合可產(chǎn)生一種新發(fā)明收錄機，而目前出現(xiàn)的許多方法其實也是由排列組合法產(chǎn)生的，因此我認(rèn)為方法也像化學(xué)中的化學(xué)反應(yīng)方程式一樣，雖然看似千變?nèi)f化、錯綜復(fù)雜，但它們都只不過是幾種簡單反應(yīng)排列組合的產(chǎn)物。我在化學(xué)新思想中講到所有元素看似各不相同，但它們都是由氫元素的三種不同的同位素氕、氘、氚進(jìn)行不同形式的組合的結(jié)果；而所有單質(zhì)和化合物多得數(shù)不勝數(shù)、錯綜復(fù)雜，但它們都無一不是由這百來種元素排列組合的結(jié)果；而我們?nèi)恕游锖椭参锏壬矬w看似各不相同、豐富多彩，實質(zhì)上也只不過是由不同細(xì)胞等元素進(jìn)行各種各樣排列組合的結(jié)果；我們的日常用品也相當(dāng)豐富多彩，如：彩電、冰箱、洗衣機

15、、電飯鍋、電炒鍋、電燙斗、電話、手機、傳真機、電腦、打印機、辦公桌等等，細(xì)細(xì)想起來，無一不是排列組合的產(chǎn)物。嚴(yán)格地說，世界上沒有絕對單一純凈的東西，所有東西都是由不同元素按一定順序排列組合而成的；就是我們現(xiàn)在讀的圖書也是由紙張、文字、膠水、薄膜、線或釘及各種色彩組合而成的；就是我們的漢字，雖然數(shù)以萬計，但無非也是由點、橫、豎、撇、捺等筆畫排列組合而得的；我們學(xué)習(xí)的英文單詞多得數(shù)不勝數(shù)，但無非也是由 26個字母中取某幾個出來進(jìn)行不同排列組合的結(jié)果；其它任何文字也都一樣，都是排列組合的結(jié)果，無一例外?？梢姡澜缟先f事萬物都是排列組合之結(jié)果。 要是我們將我們所見過的萬事萬物 (即各種不同的元素)進(jìn)行

16、各式各樣不同層次的排列組合，我們肯定會在十分有趣的排列組合思維中產(chǎn)生更多更奇的新事物，因此說排列組合是新生事物之源泉。 我們可以從宇宙中 n(無窮多)種元素(即事物)中選取2種、3種、4種、5種、6種m種出來分別進(jìn)行各種各樣的排列組合，其結(jié)果肯定會令人感到驚訝!原來世界是多么的美妙!宇宙中萬事萬物正在不斷地發(fā)生著各種各樣不同層次的排列組合，也正因為這樣，世界才在不斷地發(fā)生變化和發(fā)展。 我認(rèn)為我們這個地球上的生物早已完成了生命自發(fā)的不同排列組合，現(xiàn)在人們正在利用人為的因素將不同事物進(jìn)行不同的排列組合，從而產(chǎn)生出世界本來就沒有的新事物 (如一切創(chuàng)造發(fā)明等)，同時，利用人為的排列組合法我們?nèi)祟愓诓粩嗟卣J(rèn)識各種新生事物(從地球的角度來說，我們認(rèn)識的所謂新生事物，其實也不是新生的，是地球上早已存在的，只不過是我們在此之前尚未認(rèn)識罷了，因此對地球來說實際上并沒有多少是新生事物的，許許多多是早就存在于地球上的，就好像我們現(xiàn)在用的高中課本，對未認(rèn)識的人是新的 ，對已讀過的