24數(shù)形結(jié)合思想

1、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想方法概述： 所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化，將反映問(wèn)題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，也是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)的一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.適用題型適用題型 數(shù)形結(jié)合的常見類型有以下幾種： 12345678 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍； 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍； 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系； 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的

2、最值問(wèn)題和證明不等式； 構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題； 構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題； 構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)； 研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等.242111.1.,1.1,2.1, 244PyxPPPABCD一、選擇題例1.已知點(diǎn) 在拋物線上，那么點(diǎn) 到Q，的距離與點(diǎn) 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， 2:Q 2,114114yyx 解析 定點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，由拋物線定義知，動(dòng)點(diǎn)P到拋物線的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q和到拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然點(diǎn)P是直線和拋物線的交點(diǎn)，解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，,2. 1. 2.2.2

3、a bcacbccABCD例2.已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量 滿足=0,則的最大值是 abbcacc:0acbcacbc解析 ，如圖所示，OBCA,2.ACBC OAOBO A C Bc即所以四點(diǎn)共圓.當(dāng)且僅當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，最大，且最大值為6560,53400,04,3260252. 8.727xyPx yx yxyxyOQOPOQABCD例 3.設(shè) 點(diǎn),變 量滿 足 約 束 條 件,點(diǎn) Q的 坐 標(biāo) 為， O為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ，=,則的 最 大 值 是 5= 43,z43,41,3313.2 06 02 6 02 6 05 2,5=77777M A XO QO PO Qx

4、yxyzzz解 析 ：=， 即設(shè)它表 示 斜 率 為縱 坐 標(biāo)的一 組 直 線 系 ， 如 圖 可 知 ， 當(dāng)直 線 經(jīng) 過(guò) 可 行 域 上 的 M 點(diǎn) 時(shí) ，縱 截 距最 大 ， 即取 得 最 大 值 ，此 時(shí)也 取 得 最 大 值 易 求 得 點(diǎn)M則 Z即， 22 ,0,1,1 ,32,0,.,10,.1,0.0,1.1,0 xx xfxxfxaxxxAaBCD 例4.已知?jiǎng)t 成立的充要條件是 0 xy54 22f xx 32g xxyax 2221,02,2,2xxaxxaxfxx 解析：當(dāng)時(shí)，原不等式可變?yōu)榧吹膱D象如圖 0,132,32xxaxg xx當(dāng)時(shí)，原不等式可變?yōu)榈膱D象如圖 1

5、,0fxaxa當(dāng)恒成立時(shí)，由圖可知的取值范圍是 2= lg. 5. 7. 91 =11,1=. 10fxfxxABCfxfxxfxxD 例5.已知函數(shù)滿足下面關(guān)系. 則方程解的個(gè)數(shù)是 當(dāng)，. 時(shí)C0,60 ,=2,+2_ .a babaab二、填空題例6.已知向量的夾角為且則向量與向量的夾角為ab+2ab03022220,50,40_xyx yxyya xyxya例7.已知實(shí)數(shù)滿足若不等式恒成立，則實(shí)數(shù) 的最小值是222222221.,15 172992,4 ,1=2455xyxyxyaxyxyxyyxyt tx yxttaxytyx 解析：有題意可得設(shè)表示過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率 ，則故，yxO24 2441.34,0,_fxaxxgxxxfxgxa 例8.設(shè)有函數(shù)和已知時(shí)恒有則實(shí)數(shù) 的取值范圍是AT2413yxa 222122212,4413441,344 ,1,32402,0241.3423 0332,5510fxg xaxxxxxxayxx yxayxyyyaaaa 解析：由得變形