【2019-2020】高考數(shù)學二輪復習專題二數(shù)列第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列練習

1、1 / 13【2019-2020】高考數(shù)學二輪復習專題二數(shù)列第1 講等差數(shù)列與等比數(shù)列練習高考定位1.等差、等比數(shù)列基本運算和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.數(shù)列的通項也是高考熱點，常在解答題中的第（1）問出現(xiàn)，難度中檔以下真題感悟考點整合明若向茫雯點真題感悟1.（2017 全國川卷）等差數(shù)列an的首項為 1,公差不為 0.若 電a3,a6成等比數(shù)列，則an 前 6 項的和為（）A. 24B. 3C.3D.8解析根據(jù)題意得a3=a2a6,即（a+2d）2= +d）（a1+5d） ，由a1= 1 及d0解得d=-6X56X52，所以 S6= 6a*1+2d = 1X6+

2、2X（ 2） = 24.答案 A2. （2018 卷）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載埴最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得12到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.2.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為（）33A. 2fB. ,22f1212C. 25fD. 27f12解析 從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.2,第一12個單音的頻率為f.由等比數(shù)列的定義知，這十三個單音的頻率構成一個首項為f,公比為.212 12的等比數(shù)列，記為an

3、.則第八個單音頻率為a8=f（ .2）81= . 27f.答案 D3. （2018 全國I卷）記S為數(shù)列an的前n項和.若 S= 2an+ 1,貝USe=_.解析 因為 S= 2an+ 1，所以當n= 1 時，a1= 2a1+ 1,解得a1= 1,2 / 13當n2時，an= S Si1= 2an+1 （2an1+ 1），所以an= 2an1，所以數(shù)列an是以一 1 為首一 ix（1 2）項，2 為公比的等比數(shù)列，所以an= 2n1,所以S6=- = 63.1 2答案 634.（2018 全國川卷）等比數(shù)列劉 中，ai= 1,a5= 4as.（1）求an的通項公式；記Sn為an的前n項和若Sm

4、= 63,求m解（1）設an的公比為q,由題設得an=qn1.由已知得q4= 4q2，解得q= 0（舍去），q= 2 或q= 2.故an= ( 2)n1或an= 2n一1.(2)若an= ( 2)n1，貝ySn=1(一2-由 63 得（2）m= 188，此方程沒有正整數(shù)解若an= 21，貝ySn= 2 1.由Sm= 63 得 2m= 64,解得 m= 6.綜上，m= 6.考點整合1.等差數(shù)列（1）通項公式：an=a1+ (n 1)d；求和公式：n(a1+an)n(n1)S2na+2d；性質(zhì)：*1若m n, p，q N，且m+ n=p+q，貝Uam+an=ap+ ；2an=am+ (nn)d；3

5、Sm，S2m&1，SamS2m，成等差數(shù)列.2.等比數(shù)列（1）通項公式：n1ana1q(qz0)；求和公式：a1(1qn)a1anq q=1，Sn=na1；qz1，Sn=；1q1q 性質(zhì):3 / 13若m，n, p*i,q N ,且m+n=p+q,貝Uam-nman=am- q； Sm，S2mSm，S3m Sm，（Sm 0）成等比數(shù)列4 / 13溫馨提醒 應用公式an=SS1時一定注意條件n2,n N.烈點聚焦好類突破熱點一等差、等比數(shù)列的基本運算【例 1】（1）（2018 濰坊三模）已知an為等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bi= 2,b2= 5, 且an（bi+1bn） =an+1,則數(shù)列b

6、n的前n項和為（）A.3n+ 1解析 由b1= 2 ,b2= 5，且an(bn+1bn) =an+1. an的公比q=a=b2b1= 3.從而bn+1bn= 3,則數(shù)列bn是首項為 2,公差為 3 的等差數(shù)列n(n 1)12因此bn的前n項和Tn= 2n+x3= (3n+n).答案 C（2018 全國n卷）記 S 為等差數(shù)列an的前 n 項和，已知 a = 7,S=15.1求 an的通項公式；2求 S，并求$的最小值.解 設an的公差為d,由題意得 3a1+ 3d= 15. 由a1= 7 得d= 2.所以an的通項公式為an= 2n 9.2 2由得Sn=n 8n= （n 4） 16.所以當n=

7、 4 時，Sn取得最小值，最小值為16.探究提高 1.等差（比）數(shù)列基本運算的解題途徑：（1）設基本量a1和公差d（公比q）.列、解方程組：把條件轉(zhuǎn)化為關于a1和d（q）的方程（組），然后求解，注意整體計算，以減少運算量.2.第（2）題求出基本量a1與公差 d,進而由等差數(shù)列前n項和公式將結論表示成“n”的函數(shù),求出最小值.【訓練 1】（1）（2018 鄭州調(diào)研）已知等差數(shù)列an的公差為 2,a2,as,a6成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn=（）研熱點析考沬B.3n1C.3n2+n2D.3n2n25 / 13A.n(n 2)C.n(n+ 1)D.n(n+ 2)解析 依題意a3=a2a6,得(a

8、i+ 4)2= (ai+ 2)(ai+10).解得ai= 1.fn(n1)2因此S=na+Jx2=n 2n.答案 A(2017 全國n卷)已知等差數(shù)列a的前n項和為等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,a1=1，b1= 1，a2+b2= 2.1若a3+b3= 5，求bn的通項公式；2若T3= 21,求S3.解 設an公差為d, bn公比為q,1 +d+q= 2,21 + 2d+q= 5解得F=1,或F=3,(舍去),lq= 2q= 0故bn的通項公式為bn= 21 +d+q= 2,1 +q+q2= 21,當d= 1 時，S3= 6;當d= 8 時，S3= 21.熱點二等差（比）數(shù)列的性質(zhì)2【例 2】（

9、1）（2018 石家莊調(diào)研）在等比數(shù)列an中，a6,a10是方程x+ 6x+ 2 = 0 的兩個實 數(shù)根，則as的值為（）A.2B. 2 或.2C 2D. 2（2018xx區(qū)質(zhì)檢）已知數(shù)列an的前n項和為S,且滿足 S= 2an2,若數(shù)列bn滿足bn= 10log2an,則使數(shù)列bn的前n項和取最大值時的n的值為_ .B.n(n 1)由題設得由已知得解得q=4,d= 1-q= 5,d= 8.-6 / 13以a80,所以a8= 解析（1）由題意a6a10= 2,且a6+ ae= 6，所以a60, aeo,S2其中入為常數(shù).(1)證明：S+1= 2S + 入；(2)是否存在實數(shù) 入，使得數(shù)列an為

10、等比數(shù)列，若存在，求出入;若不存在,(1)證明Tan+1=S1+1S1,Sn=an+1入S1+1,若數(shù)列an是等比數(shù)列，則a2= 1 +入=2a1= 2.入=1,經(jīng)驗證得 入=1 時，數(shù)列&是等比數(shù)列.【遷移探究】 若本例中條件“ a = 1”改為“ a1= 2”其它條件不變，試求解第解 由本例(2)，得an+1= 2a(n2,n N*).又S2= 2S+ 入，a2=a1+ 入=2+ 入 0.an=(2+入)2n2(n2).又a1= 2,若an是等比數(shù)列，- a2=(2+入)2 2=2a1=4, 入=2.故存在入=2，此時an= 2n，數(shù)列an是等比數(shù)列an+1入Sn+請說明理由Sn=

11、 ( S+1Sn)入S+1,則 S+1( Si+1 2S入)=0.an0，知 S+10,.S+1 2S 入=0,故Sn+1= 2Sn+ 入.解 由(1)知，S+1= 2S+入，當n2時，Sn= 2Sn1+ 入， 兩式相減，an+1= 2an(n2,n N*),所以數(shù)列an從第二項起成等比數(shù)列，且公比q= 2. 又$ = 2S1+ 入，即a2+a1= 2a1+ 入，a2=a1+ 入=1 + 入 0,得 入 1.因此1,n= 1,(入 +1)問.-210 / 13探究提高 1.判定等差(比)數(shù)列的主要方法： 定義法：對于任意n1,n N,驗證an+1-an或為與正整數(shù)n無關的一常數(shù)；(2)中項公式

12、法.a=+12.=q和a2=an-ian+i(n2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判定時還要看an各項是否為零【訓練 3】(2017 全國I卷)記S為等比數(shù)列an的前n項和.已知$= 2, $=-6.(1) 求an的通項公式；(2) 求 S,并判斷 S+1, S, S+2是否成等差數(shù)列解(1)設an的公比為q,由題設可得a (1+ q)= 2,a1(1 +q+q2)=- 6,故an的通項公式為an= ( 2).a1(1 q) 21 ( 2)由(1)得1- =(-2 2)=3( - 2)n-1,22則 S+1=亍(-2)n+1- 1 , S+2= ( - 2)n+2-1,2224所以S

13、+1+S+2=3(2)1+ 3(2)1= 32(2)2= 3(2)1=2SS+1,S,S+2成等差數(shù)列熱點四等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【例 4】(2018 天津卷)設an是等差數(shù)列，其前n項和為S(n N*) ； bn是等比數(shù)列,比大于 0，其前n項和為Tn(n N).已知b= 1,b3=b2+ 2,b4=a3+a5,b5=a4+ 2a6.(1)求S和Tn；若S+ (T+T2+-+Tn) =an+ 4bn，求正整數(shù)n的值.解(1)設等比數(shù)列bn的公比為q(q0).2由b1= 1,b3= b+ 2,可得q-q 2=0.因為q0,可得q= 2,故bn= 2n112nn所以，Tn= = 2 1.解

14、得q=-2,a1=- 2.11 / 131 2設等差數(shù)列an的公差為d.12 / 13由b4=a3+a5，可得ai+ 3d= 4.由b5=a4+ 2a6，可得 3a+ 13d= 16，從而ai= 1,d= 1, 故an=n.(2)由(1)，有12nT1+T2+-+T= (21+ 22+ 2) n由Sn+ (T1+T2+Tn) =an+ 4bn2整理得n 3n 4 = 0，解得n= 1(舍)，或n= 4.所以，n的值為 4.探究提高 1.等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用 性質(zhì)，可使運算簡便2.數(shù)列的通項或前n項和可以看作關于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列

15、問題 .【訓練 4】(2018 武漢質(zhì)檢)在公比為q的等比數(shù)列an中，已知a1= 16,且 a,比+ 2,a3成等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 若q10 的最小正整數(shù)n的值.解(1)依題意，2(a2+ 2) =a1+a3,且a1= 16.2 2(16q+ 2) = 16+ 16q,即 4q2 8q+ 3= 0.13因此q= 2 或q= .n1當q= 2 時，an= 16 2= 25n;n1t3QI當q= 2 時，an= 16 12.由(1)知，當q2,正整數(shù)n的最小值為 3.曲躺總結思維升華1. 在等差(比)數(shù)列中，ai,d(q),n,an,S五個量中知道其中任意三個，就可以求

16、出其他兩個.解這類問題時，一般是轉(zhuǎn)化為首項ai和公差d(公比q)這兩個基本量的有關運算.2. 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用但在應用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當變形IS,n=1,3. 應用關系式an=時，一定要注意分n= 1,n2兩種情況，在求出結果后，|SnSn-1,n2看看這兩種情況能否整合在一起專題圳練對接高考|求落交迎高淆一、選擇題1. (2018 全國I卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若 3S3=S2+S,a= 2，則a5=()A. 12B. 10C.10D.12解析 設數(shù)列an的公差為

17、d,T3S= $+S4,(3X2、4x33 3|3a1+d= 2a1+d+4a+d,解得d= ;ai.v.2丿22a1=2, d=3,a5=a1+4d=2+4x(3)=10.答案 B1.”I on2. 等差數(shù)列an中的a1,a4 033是函數(shù)f(x) =TX 4x+ 6x 1 的極值點，則 log2a2。仃=()3A.2B.3C.4D.5解析因為f(x) =x2 8x+ 6,探規(guī)律防失誤14 / 132依題意，a1,a4 033是方程f (x) =x 8x+ 6= 0 的兩根，- a1+a4 033= 8,貝Va2 017= 4,故 log2a2 017= log24 = 2.15 / 13答

18、案 A3. 一個等比數(shù)列的前三項的積為2,最后三項的積為 4,且所有項的積為 64,則該數(shù)列的項數(shù)是()A.13B.12C.11D.10解析設等比數(shù)列為an，其前n項積為Tn，由已知得 aa2a3= 2,anan心2= 4,可得(ao)3=2x4,aian=2,Tn=aia2an,.T= (aia2an)4 5=(aian)(a2an1)(anai) = (aian)n=2 = 64 = 22,.n= 12.答案 B4.古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其意思為：“有一個人走 378 里路，第

19、一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地 ”則此人第 4 天和第 5 天共走的路程為()3解析由條件可知：3an+ S= 4, 3an-1+Sn-1= 4（n2）.相減，得an=an-i.又 3ai+Si= 4ai4i=378，解得ai= i92，貝Ua4= i92x：= 24,a5= 24X；= i2,a4+as= 24 + i2 = 36.所以此人82第 4 天和第 5 天共走了 36 里.答案 C5.(20i8 燕博園能力測試)數(shù)列an的前n項和為S,且 3an+ S= 4(n N)，設bn=nan,則數(shù)列bn的項的最大值為()A.60 里B.48 里

20、C.36 里D.24 里16 / 13i由題意，每天走的路程構成公比為 2 的等比數(shù)列設等比數(shù)列的首項為bnbn-1, 設bn中最大的項為bn，則*bnbn+1.=4，故ai= i.貝Uan=n1ni3,bn=nl .解析81A.6427B.正3C.2D.2答案 3 或 417 / 13答案 B、填空題6. (2018 卷)設an是等差數(shù)列，且ai= 3,a2+a5= 36，則an的通項公式為 _.解析 設等差數(shù)列的公差為d,：ai= 3,且a?+a5= 2ai+ 5d= 36,.d= 6,.an= 3+ (n1) 6= 6n 3.答案an= 6n 3ani7. (2018 福州質(zhì)檢)數(shù)列an

21、滿足an+1= ,a3=-,貝Uai=_.2an十 i5an解析 易知anM0,且an+1= 2a+ 1 .11r111 -=2,則是公差為 2 的等差數(shù)列，又a3=2，知一=5, + 2X2= 5,貝yai=an+1ann“5a3ai1.答案 18. (2018 石家莊質(zhì)檢)等差數(shù)列an的公差dM0,且a3,a5,ai5成等比數(shù)列，若a5= 5,S為數(shù)列an的前n項和，則數(shù)列彳警|的前n項和取最小值時的n為_ .(ai+ 2d)(ai+ i4d)= 25,解析由題意知*ai+ 4d= 5,n4,且=0,4數(shù)列n項和取最小值時的n的值為 3 或 4. bn的項的最大值為27b3=b4=話由dM

22、0,解得ai= 3,d= 2,Snnnai+)dn4.解之得 3wnw4.i2 / i3三、解答題9.(2018 卷)設an是等差數(shù)列，且ai= ln 2 ,a?+a3= 5ln 2.(1)求an的通項公式；求 eai+ ea+ ean.解設an的公差為d.因為a2+a3= 5ln 2 ,所以 2ai+ 3d= 5ln 2.又ai= In 2，所以d= In 2.所以an=ai+ (n 1)d= In 2 + (n 1)ln 2 =nln 2.所以ean是首項為 2,公比為 2 的等比數(shù)列r I I _ 2 所以 ei+ e2+-+ en= 2X - =2n+i_2.i _ 2i0.已知數(shù)列an的前n項和為S,且 i,an,S成等差數(shù)列.(i)求數(shù)列an的通項公式；若數(shù)列bn滿足anbn= i + 2門G,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(i)由已知 i,an,S成等差數(shù)列得 2an= i+S,當n= i 時，2ai= i +S= i +ai, ai= i,當n2時，2an_i= i +S_i，一得 2an 2an_i=an,an= 2an_i(n2)，且ai= i.數(shù)列an是以 i 為首項，2 為公比的等