焦點專題8數列求和與不等式的解法證明

1、焦點專題8 數列求和與不等式的解法、證明【基礎盤點】一、數列求和的常用方法1、公式求和法：求得與或與后，代入等差數列或等比數列的前項公式求解. 如在等比數列中，則 ；2、觀察規(guī)律法：當所給具有較強的規(guī)律性或以圖形式出現時，可考慮此法.如已知 ，則 ；3、倒序求和法：在數列中，出現為定值時，可考慮此法. 如數列中，則 ；4、裂項相消法：出現或時可用此法，如 ， ；5、錯位相減法：在數列中，出現，其中為等差數列，為等比數列，可用此法.如 ；二、求解不等式的常用方法1、解一元二次不等式之公式法：先用一元二次方程的求根公式解得， 再結合二次函數的圖象可寫出(或或 或)的解.如不等式的解集為 ；2、解一

2、元二次不等式之十字相乘法：將乘法公式 ？ 逆過來寫有，故只需將中的A、C分別寫成形式，再檢查是否等于，即可，為了把這個過程直觀化，常將該過程寫為如下的“十字相乘”形式，“十字相乘法”由此而得名.如不等式的解集為 ；3、解一般不等式之等價變形法：解不等式的過程就是將不等式等價變形為 或的過程，其中的變形需運用不等式的性質：加、減、乘、除、平方、開方、常數指數化、常數對數化等.如不等式的解集為 ；三、證明不等式的常用方法1、作差(商)法：(或).如比較與的大小；2、配方法：將配方后，可以判斷與0的大小，從而達到判斷A與B的大小的目的.如比較與的大小；3、綜合法：收集、整理已知條件與熟悉公式、定理，

3、得到所求證的不等式的一種方法，也可簡記為“條件結論”的一種證明模式.如證明；4、分析法：從結論出發(fā)，一邊等價變形，一邊收集所需的已知條件，一直到轉化出一個顯 然成立的結論，可簡記為“結論條件”的一種證明模式.如3的不等式的證明；5、構造函數法：通過等價變形后構造函數，運用函數的單調性求其最大(小)值達到證明不等式的一種方法.如當時，證明.【例題精選】焦點1：公式求和法、觀察規(guī)律法、倒序求和法【例1】1、設是由正數組成的等比數列，為其前項和.已知，,則【題情捉摸】由得= (用表示)，然后代入得 ， ，從而得的值.2、已知數列2008,2009, 1,2008,2009,這個數列的特點是從第二項起

4、,每一項都等于它的前后兩項之和,則這個數列的前2011項之和S2011等于 【題情捉摸】多寫幾項，得該數列為 ，可知它是周期為 的周期函數，從而得的值.焦點2：裂項相消法、錯位相減法【例2】1、設等差數列的前n項和為,且(c是常數,N*),.(1)求c的值及的通項公式;(2)證明:.【題情捉摸】(1)當時,得 (用表示),進而由,得 (用表示),又由，得 ；于是可求得公關 ，便得 ；(2)將(1)中的代入，觀察其結構知，可用 解之.2、等比數列的前項和為,已知對任意的,點均在函數且均為常數)的圖像上. w(1)求的值;(2)當b=2時,記求數列的前項和.【題情捉摸】(1)由“點在曲線上”,可建

5、立與的關系為 ,再由“與法”求得 ，當， ,也合適，對比得 ;(2)由，觀察的結構知可用 求得.焦點3：一元二次不等式之公式法、十字相乘法【例3】1、解下列不等式(1) (2) (3) (4)(5) (6)【題情捉摸】用 可求得(1)、(2)、(3)、(4)的解，用 可求得(5)、(6)的解.2、解關于x的不等式:().【題情捉摸】移項整理得 ，即，方程有兩實根 ， ，當 時，解集為 ；當 時，解集為 ；當 時，解集為 .焦點4：一般不等式之等價變形法【例4】1、首項是,從第10項開始比1大的等差數列的公差的取值范圍是A. B. C. D.【題情捉摸】從第10項開始比1大，說明 1， 1，從中

6、可解得的范圍.2、已知數列的通項公式為,設其前n項和為Sn,則使Sn<5成立的自然數n有A.最小值63 B.最大值63 C.最小值31 D.最大值31 【題情捉摸】可得 ，而 ，從中可解得的取值范圍.焦點5：作差(商)法、綜合法、分析法【例5】設是等比數列，則“”是“數列是遞增數列”的A.充分不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【題情捉摸】由 ，若，有 1，若，有 1， ，于是數列是遞增數列；由數列是遞增數列.焦點6：構造函數法【例6】1、在數列中，已知，是的前項和，求證：.【題情捉摸】可得 ，只證 ，設，運用 法，可得證.2、已知且,數列的前項的和

7、,數列滿足,.(1)求證:數列是等比數列;(2)若對于區(qū)間上的任意實數,總存在不小于2的自然數,當時,恒成立,求的最小值.【題情捉摸】(1)當時，得 ，當時,得 ，可得 ；(2)由(1)求得 ，有 ，由 法，可求得 ，代入整理得，令 ，只需考慮在上的最小值即可.【真題回顧】1、(2008廣東文)記等差數列的前項和為，若，則該數列的公差A.2 B.3 C.6 D.7【名模精選】2、(2011惠州二模文)已知條件：，條件：<1，則是成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件3、(2010揭陽一模文)不等式的解集為A. B. C. D.4、(2011惠

8、州二模文)已知等差數列的前項和為，且滿足，則數列 的公差是A. B. C. D.5、(2010揭陽二模文)已知是等差數列，則該數列前13項和等于A.156 B.132 C.110 D.1006、(2010佛山一模文)若數列滿足：，其前項和為，則 7、(2010深圳一模文)設等比數列的公比,前項和為,則= . 8、(2010湛江一模文)已知數列的前項和為，且，(1)求的值；(2)求數列的通項公式；(3)設，求數列的前項和9、(2010揭陽二模文)已知數列和滿足，(1)求數列的通項公式；(2)設，求使得對一切都成立的最小正整數；(3)設數列的前和為，試比較與的大小10、(2010廣州一模文)已知數

9、列滿足對任意的，都有，且(1)求，的值；(2)求數列的通項公式；(3)設數列的前項和為，不等式對任意的正整數恒成立，求實數的取值范圍11、(2010東莞三模文)位于函數的圖象上的一系列點,這一系列點的橫坐標構成以為首項,為公差的等差數列.(1)求點的坐標；(2)設拋物線中的每一條的對稱軸都垂直于軸,對于第 條拋物線 的頂點為,拋物線過點,且在該點處的切線的斜率為.求證:. 12、(2010佛山二模文)設曲線在點處的切線與y軸交于點.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.【參考答案】【例1】1.由得，又，解得或(舍去).得，的前5項分別為，則.2.由數列的特點知數列為2008,2009,

10、 1,2008,2009,1,2008,2009,1,它是以6為周期的周期數列,而,且連續(xù)6項之和為0,等于前1項之和,即為2008.【例2】1.解:因為,所以當時,解得,當時,即,解得,所以,解得;則,數列的公差,所以.(2)因為.因為,所以.2.解:(1)點在函數的圖像上.,當時,;當時,因為為等比數列,所以,公比為,所以;(2)當b=2時,則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 相減,得=所以.【例3】1.解：(1)由得，或；(2)由得，；(3)由得，或；(4)由得，有，；(5)由，解得，原不等式的解為或；(6)由，解得，原不等式的解為.2.由得,即.當,即時,不等式的解集為;當,即

11、時,不等式為,解集為當,即時,不等式的解集為.綜上所述,當時,不等式的解集為;當時,不等的解集為;當時,不等式的解集為.【例4】1.由題意得,即,解得.2.A ,由,得,.【例5】C 由，得，若，有，即，遞增，若，有，得，遞增；反過來，若遞增，必有.【例6】1.解，下先證明，令，只證，令，則，又，得，為增函數，得，即，有，于是.2.解:(1)當時,得.由,得,恒有,從而,故數列是以為首項,公比為的等比數列.(2)由(1)得,.由,得恒成立,其中.令,由,知,有.結合一次函數的圖象有,解得或,又,.綜上所述,自然的最小值為4.15 BADCA 6 715 8解：(1)，ks5uks5uks5uk

12、s5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u(2)，得，即，又，數列自第2項起是公比為3的等比數列，(3)，ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u-得 =9解：(1)由得代入得，整理得，否則，與矛盾,從而得,，數列是首項為1，公差為1的等差數列，即(2)，要使對一切都成立， 必須并且只須滿足，即m5，滿足要求的最小正整數為5(3)，又 10(1)解：當時，有，由于，所以 當時，有，將代入上式，由于，所以 (2)解：由于， 則有 ，得， 由于，所以 同樣有， ，得 所以由于，即當時都有，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列故 (3)解：由(2)知，則所以 ，