定積分的概念定積分應(yīng)用課件

1、定積分的概念定積分應(yīng)用6.1 定積分的概念第6章 定積分及其應(yīng)用二. 定積分的定義一. 曲邊梯形的面積三. 定積分的性質(zhì)定積分的概念定積分應(yīng)用6.1 定積分的概念定積分的概念 在我國(guó)古代南北朝（公元在我國(guó)古代南北朝（公元 429 500 年）時(shí)，年）時(shí)，南朝的科學(xué)家祖沖之運(yùn)用逐漸增加圓內(nèi)多邊形的邊南朝的科學(xué)家祖沖之運(yùn)用逐漸增加圓內(nèi)多邊形的邊數(shù)，算出正多邊形的面積，逼近相應(yīng)的圓的面積，數(shù)，算出正多邊形的面積，逼近相應(yīng)的圓的面積，得到了得到了 近似值近似值. 在初等幾何中，計(jì)算任意多邊形面積時(shí)，常采在初等幾何中，計(jì)算任意多邊形面積時(shí)，常采用如下方法：首先將任意多邊形劃分為若干個(gè)小三用如下方法：首先

2、將任意多邊形劃分為若干個(gè)小三角形，分別計(jì)算各個(gè)三角形的面積，然后求和，得角形，分別計(jì)算各個(gè)三角形的面積，然后求和，得到任意多邊形的面積。到任意多邊形的面積。定積分的概念定積分應(yīng)用 阿基米德運(yùn)用這種方法，求得拋物線阿基米德運(yùn)用這種方法，求得拋物線 與與 x 軸及直線軸及直線 x =1 所圍成的平面圖形面積的近似值所圍成的平面圖形面積的近似值.2xy 就是說，在計(jì)算復(fù)雜圖形的面積時(shí)，可以先將就是說，在計(jì)算復(fù)雜圖形的面積時(shí)，可以先將它劃分為若干個(gè)容易算得面積的小塊，并分別求出它劃分為若干個(gè)容易算得面積的小塊，并分別求出各小塊圖形的面積，然后求和，即得到原圖形的面各小塊圖形的面積，然后求和，即得到原圖

3、形的面積的近似值（邊界線為直線時(shí)，可得精確值）積的近似值（邊界線為直線時(shí)，可得精確值）. 如果在上述方法中引入極限過程如果在上述方法中引入極限過程, 會(huì)產(chǎn)生什么效果會(huì)產(chǎn)生什么效果?定積分的概念定積分應(yīng)用6.1.1 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 曲邊梯形：三邊為直線，其中有兩邊相互曲邊梯形：三邊為直線，其中有兩邊相互平行且與第三邊垂直（底邊），第四邊是一條平行且與第三邊垂直（底邊），第四邊是一條曲線，它與垂直于底邊的直線至多有一個(gè)交點(diǎn)曲線，它與垂直于底邊的直線至多有一個(gè)交點(diǎn)（這里不排除某直線縮成一點(diǎn)）（這里不排除某直線縮成一點(diǎn)）.1. 曲邊梯形曲邊梯形定積分的概念定積分應(yīng)用2. 求曲邊梯形的面積

4、求曲邊梯形的面積 首先，我們重復(fù)阿基米德的做法：首先，我們重復(fù)阿基米德的做法： 分劃分劃代替代替求和求和得到曲邊梯形的近似值，然后，引入極限過程，得到曲邊梯形的近似值，然后，引入極限過程，求出曲邊梯形的精確值求出曲邊梯形的精確值.定積分的概念定積分應(yīng)用Oxyab1x1ixix)(xfy , 0)( xf設(shè) . ),()(baCxf , 1110bxxxxxxannii任意引入分點(diǎn) )., 2 , 1( , , 1nixxnbaii個(gè)小區(qū)間成分將 . 1個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度表示第用ixxxiii稱為區(qū)間的一個(gè)分法 T定積分的概念定積分應(yīng)用1ixixi ,1則iiixx . )( :iiixfS小曲邊梯

5、形面積對(duì)每個(gè)小曲邊梯形均作上述的代替 . 的選擇有關(guān)與iiS定積分的概念定積分應(yīng)用Oxyab1x1ixix)(xfy . )( :11niiiniixfSS曲邊梯形面積 . T 的選擇有關(guān)及點(diǎn)與分法iS 極限過程是什么？如何求精確值？定積分的概念定積分應(yīng)用Oxyab1x1ixix)(xfy , max | 1則令inixx . )(lim :10niiixfS曲邊梯形面積 . T 的選擇無關(guān)及點(diǎn)與分法極限存在與否，i定積分的概念定積分應(yīng)用 ，雜平面圖形面積的方法該過程告訴了我們求復(fù) . 形面積的定義同時(shí)，也告知了平面圖 想方法是：解決曲邊梯形面積的思 . 取極限求和代替分劃 處理的問題的結(jié)果，

6、即通常人們把這類方法所 . , )( 上的定積分在區(qū)間這種極限值，稱為函數(shù)baxf定積分的概念定積分應(yīng)用6.1.2 定積分的定義定積分的定義 . , , )( 且有界上有定義在設(shè)函數(shù)baxf , 1110bxxxxxxannii任意引入分點(diǎn)任意引入分點(diǎn) )., 2 , 1( , , 1nixxnbaii個(gè)小區(qū)間成分將區(qū)間 , . 11iiiiiixxixxx個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度表示第用 , , )(lim 10 |的且該極限值與對(duì)區(qū)間存在若baxfniiix , , )( , T 上可積在則稱函數(shù)的選擇無關(guān)及點(diǎn)分法baxfi的定上在極限值稱為記為 , )( ), , ()( baxfbaRxf .

7、)max| ( )(limd)( :110|ininiiibaxxxxfxxf 積積分分值值定積分的概念定積分應(yīng)用定積分符號(hào)： . )(limd)(10|niiixbaxfxxf 定積分號(hào)；ba 積分下限；a 積分上限；b d)(被積表達(dá)式；xxf )(被積函數(shù)；xf d積分變量；中的xx . ,積分區(qū)間ba ) ( 積分變量的取值范圍定積分的概念定積分應(yīng)用關(guān)于定積分定義的幾點(diǎn)說明 . , )( , T ),( d)( ) 1 (有關(guān)區(qū)間及只與的選擇無關(guān)及點(diǎn)它與分法具體的數(shù)是一個(gè)極限值定積分baxfxxfiba . d)(d)(d)( )2(bababattfyyfxxf號(hào)無關(guān)：定積分與積分變

8、量的記定積分的概念定積分應(yīng)用時(shí)，規(guī)定：當(dāng)ba(3) .d)(d)( abbaxxfxxf時(shí)，規(guī)定：當(dāng)ba(4) . 0d)( baxxf 0. | , , , , 0 | )5(xnnx卻不一定有時(shí)個(gè)數(shù)當(dāng)分點(diǎn)但是分點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)定積分的概念定積分應(yīng)用例例6.1.1存存在在，試試用用定定積積分分的的假假設(shè)設(shè)定定積積分分 102d xx定定義義求求其其積積分分值值。解解存存在在，從從而而可可用用特特殊殊的的因因?yàn)闉槎ǘǚe積分分 102d xx。劃劃分分和和取取點(diǎn)點(diǎn)來來計(jì)計(jì)算算 102d xx,/10nixni 等等份份，即即取取分分點(diǎn)點(diǎn)為為劃劃分分為為，將將區(qū)區(qū)間間;, 2 , 1ni ,/1 nxi,

9、/ nii 再再取取則則有有, 2 , 1ni niiixf1)( niiix12 ninni121)(定積分的概念定積分應(yīng)用 ninni121)( niiixf1)( niin12316)12)(1(13 nnnn26)12)(1(nnn 所以所以iniixfxx 10102)(limd26)12)(1(limnnnn )12)(11(61nn .31 定積分的概念定積分應(yīng)用 . ),()( ),()( baRxfbaCxf則若 , , )( 上單調(diào)、有界在若baxf . ),()( baRxf則6.1.3 定積分存在的條件定積分存在的條件定積分的概念定積分應(yīng)用)( , , )(一類且僅有有

10、限個(gè)上有界在baxf . ),()( ,baRxf則間斷點(diǎn)Oxyabc定積分的概念定積分應(yīng)用 . ),(| )(| ),()( baRxfbaRxf則若 . 3 的逆不真定理 . 1, , 1 )( ,為無理數(shù)，為有理數(shù)例如xxxf.)(, 1)(;)(, 1)(1111baxxffabxxffniiniiiiiniiniiiii 全全取取無無理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)全全取取有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，有有無無理理數(shù)數(shù)。當(dāng)當(dāng)數(shù)數(shù)，又又個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)都都既既有有有有理理因因?yàn)闉?，?duì)對(duì)任任意意劃劃分分，每每定積分的概念定積分應(yīng)用, , , ),()( badcbaRxf則若 . ),()(dcRxfOxya

11、bc d定積分的概念定積分應(yīng)用6.1.4定積分的幾何意義Oxyab)(xfy 1A2A3A ,d)(1caxxfAcd .d)(3bdxxfA , d)( 2dcxxfA由極限保號(hào)性：由極限保號(hào)性： , 0d)(caxxf, 0d)(dcxxf . 0d)(bdxxf面積：面積： .d)(321AAAxxfba定積分的概念定積分應(yīng)用例6.1.2（見教材）定積分的概念定積分應(yīng)用6.2 定積分的性質(zhì) 由于定積分是一種和式的極限, 所以極限的某些性質(zhì)在定積分中將有所反映. 在以下的敘述中, 假設(shè)所出現(xiàn)的函數(shù)均可積, 所出現(xiàn)的定積分均存在. 定積分的概念定積分應(yīng)用.數(shù)乘以積分區(qū)間的長(zhǎng)度常數(shù)的定積分等于

12、該常 ).(d為常數(shù)即有：kabkxkba 1 性質(zhì)定積分的概念定積分應(yīng)用證證 )( 2 線性性質(zhì)性質(zhì) , d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf . ,為常數(shù)、式中由定積分定義及極限運(yùn)算性質(zhì)：niiiixbaxgfxxgxf10|)()(limd)()(niiixniiixxgxf10|10|)(lim)(lim . d)(d)(babaxxgxxf定積分的概念定積分應(yīng)用 )( 3 對(duì)區(qū)間的可加性對(duì)區(qū)間的可加性性質(zhì)性質(zhì)bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)( . ,bca其中證證 . ),()( , ),()( ),()( bcRxfcaRxfbaRxf , , T

13、則成為分點(diǎn)使點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆址╟,)()()(bciicaiibaiixfxfxf , 0 | 由可積性即得的極限取xbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(定積分的概念定積分應(yīng)用證 )( 4 保保號(hào)號(hào)性性性性質(zhì)質(zhì) . 0d)( , , 0)( baxxfbaxxf則若(小于零的情形類似. )由極限的保號(hào)性立即可知.Oxyab0A0)(xfy定積分的概念定積分應(yīng)用 )( 5 單單調(diào)調(diào)性性性性質(zhì)質(zhì) . d)(d)( , , )()( babaxxgxxfbaxxgxf則若Oxyab)(xfy )(xgy 0gfAA定積分的概念定積分應(yīng)用 5 的推論的推論性質(zhì)性質(zhì)babaxxfxxfd| )

14、(| |d)(|Oxyab)(xfy | )(| xfy 定積分的概念定積分應(yīng)用例1證證 , 0d)( . 0)( , ),()( baxxfxfbaCxf若且設(shè) . , , 0)( baxxf證明： , 0)( 0 xf , , , 0)( baxxf設(shè)/ . )U( 2)()( 00 xxxfxf . 0)(2)(d)( , )U(, 00 xfxxfx則則取取 , 0d)( , 0d)( 故又baxxfxxf. 0d)(d)(d)(d)(babaxxfxxfxxfxxf . , , 0)( baxxf該矛盾說明： , 0使則至少bax , )U( , ),()( 0使由xbaCxf0d)

15、(baxxf0)(xf/有什么結(jié)論？換成定積分的概念定積分應(yīng)用例2證證 , )()( , ),()( ),( xgxfbaCxgxf且設(shè) . 1 ),()()( 的討論即可證得由對(duì)例令xgxfxF . d)( d)( . , )()(babaxxgxxfbaxxgxf證明：/定積分的概念定積分應(yīng)用 )( 6 估估值值定定理理性性質(zhì)質(zhì) , , )( , 則最小值上的最大在分別為設(shè)baxfmM . )(d)()(abMxxfabmba證證. , )( ),()( baxMxfmbaRxf由于baxxfd)(所以abxbadbaxmabmd)( . )(dabMxMba定積分的概念定積分應(yīng)用例4 .

16、 22dsin 21 24xxx證明： ,tan , 2,4 sin)( 則由令xxxxxxf證證0cos)tan(sincos)(22xxxxxxxxxf , 2)2( ,22)4( , 2,4)( fmfMxf且故得運(yùn)用估值定理由 , ,)2,4()( , 0)( Cxfxf . 22)42(22dsin )42(221 24xxx定積分的概念定積分應(yīng)用例例6.2.2 . d 212的值的值估計(jì)定積分估計(jì)定積分 xex 2-1, 2 , 1 )(2上上可可積積。，故故在在上上連連續(xù)續(xù)在在 xexf解解 ,2)(2xxexf 0., 0)( xxf得得令令, )2(, 1)0(,)1(41

17、effef而而,1 2 , 1 )(42 eexfx，最最小小值值為為上上的的最最大大值值為為在在故故所以所以 ),1(2( 1d )1(2(2142 xeex 3d 32142。即即 xeex定積分的概念定積分應(yīng)用例例6.2.3 . d d 10310的大小的大小與與比較定積分比較定積分 xxxx2解解, 1 , 0 3232xxxx 且且至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)使使上上有有在在 . d d 10310 xxxx2定積分的概念定積分應(yīng)用 , , 21其算術(shù)平均值來說對(duì)于有限個(gè)量naaa .21naaaan )( ), , ()( 在區(qū)間現(xiàn)需求函數(shù)設(shè)xfbaCxf )( , ,的算處函數(shù)值任意的無

18、窮多個(gè)點(diǎn)上iixfxba ? , 你認(rèn)為應(yīng)該怎么做術(shù)平均值 f : a是數(shù) 下下面面看看看看另另一一個(gè)個(gè)問問題題定積分的概念定積分應(yīng)用 :很自然的做法是 , ) , 2 , 1 ( , ,計(jì)算出函數(shù)相應(yīng)首先nibaxi 的算術(shù)平均值 ,)()()(21nxfxfxffnn , , ,且與點(diǎn)如果該極限值存在的極限取然后n , , 則可以認(rèn)為該極限上的分布狀況無關(guān)在區(qū)間baxi :值為所求的算術(shù)平均值 .)()()(limlim21nxfxfxfffnnnn定積分的概念定積分應(yīng)用 ).,()( , ),()( baRxfbaCxf所以由于 , , 則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為等分分成將區(qū)間nba ). , 2 , 1 ( )(1niabnxi )( , , ,21算術(shù)平均值作為求函數(shù)取分點(diǎn)此外xfxxxn , , 得到于是的計(jì)算點(diǎn)nf ,)(1)()()(121iiinnxxfabnxfxfxff , , 得由定積分的定義的極限取n定積分的概念定積分應(yīng)用 .d)(1)(lim 1 1baiiinxxfabxxfabf .d)( 1 )( , )( ),()( , baxxfabfbaxfbaCxf平均值為算術(shù)上的在則就是說 .d d)( babaxxxff通常也將它記為定積分的概念定積分應(yīng)用 , ),()( babaCxf故至少存在一點(diǎn)由于 ,)( 即有使得f